Palavras-Chave: Ruptura, Envoltória, Elastoplástico, Mohr-Coulomb, Hoek-Brown.

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1 UTILIZAÇÃO DO CRITÉRIO DE RUPTURA DE HOEK-BROWN EM MECÂNICA DE ROCHA Arlindo J. Bazante, Aarão A. Lima, Maroni E. Alântara & Natanael V. Oliveira Departamento de Mineração e Geologia, Departamento de Engenharia Meânia, Centro de Ciênias e Tenologia, UFPB. CEP , Campina Grande, PB, bazante@dmg.ufpb.br, aarao@dmg.ufpb.br, natanael@dem.ufpb.br. Resumo. A Meânia das rohas tem sido enarada mais seriamente nas obras de engenharia omo aberturas subterrâneas, sendo uma das iênias responsáveis pela solução de problemas relaionados aos maiços rohosos omo sua lassifiação, estado de tensão in situ bem omo o dimensionamento de vãos, pilares e áreas de subsidênia. A resente omplexidade dos projetos de mineração e o avanço a níveis ada vez mais profundos de exploração exigem ténias ada vez mais preisas de dimensionamento. A utilização e teorização da Meânia dos Sólidos nos regimes elástio e elastoplástio, apliada à Meânia das Rohas, são uma realidade. Nesse sentido, tem-se experimentado um extraordinário avanço, apesar de ser um ramo relativamente novo da iênia apliada. Proura-se investigar neste trabalho, a orrelação entre os ritérios de ruptura de Hoek- Brown e o de Mohr-Coulomb. As ténias de omputação numéria, entre as quais os métodos dos elementos finitos e dos elementos de fronteira, têm dado uma grande ontribuição à solução de problemas de engenharia alados na análise de tensões, substituindo os modelos analítios e físios. Um programa, no ambiente MATLAB, foi odifiado para estabeleer o ampo de distribuição das tensões prinipais e a evolução das superfíies de esoamento, utilizando-se estes dois ritérios. Em seguida, apresentam-se resultados em onjunção om o método dos elementos finitos em regime elástio e elastopástio do ampo de distribuição de tensões ao longo do túnel em função do fator de segurança. Palavras-Chave: Ruptura, Envoltória, Elastoplástio, Mohr-Coulomb, Hoek-Brown.. INTRODUÇÃO As tentativas de uma formulação matemátia dos proessos de dimensionamento das esavações deparam om os obstáulos deorrentes da difiuldade e da omplexidade dos omportamentos meânios das rohas, além da influênia das estruturas geológias e das irregularidade da geometria das avidades, as quais tornam os álulos lássios de estabilidade muito impreiso e de apliabilidade disutível por métodos lássios entendem-se aqueles baseados nas Teorias da Elastiidade e da Resistênia dos Materiais, que assumem omportamentos ideais para os maiços rohosos. Em toda obra de engenharia, as fases que

2 anteedem o seu projeto pressupõem o onheimento, om erto grau de onfiança dos fatores que ondiionam sua onstrução, sejam eles físios ou eonômios. A omplexidade dos projetos de mineração e o avanço a níveis ada vez mais profundos de exploração e extração, exigem ténias ada vez mais preisas de dimensionamento. As ténias de omputação numéria, entre as quais os métodos dos elementos finitos e dos elementos de fronteira, têm dado uma grande ontribuição à solução de problemas de engenharia alados na análise de tensões, substituindo os modelos analítios e físios. Como em esavações é omum se enontrar o maiço rohoso em regime de pós-ruptura, é importante generalizar-se o Critério de Hoek-Brown para este regime. Pode-se, portanto, entender a araterização de maiços rohosos à luz da Meânia de Roha, omo o onheimento das araterístias que determinam seu omportamento meânio em função das soliitações do seu entorno físio. Este Critério, foi onebido através de uma base de dados experimentais sobre ruptura de roha em estado triaxial de tensões e análise estatístia. É importante observar que a roha onstitui um aso partiular de material de engenharia, e os problemas assoiados são bastante peuliares. Nas onstruções om materiais artifiiais, a resistênia dos materiais é omposta em função das neessidades de resistênia e esforços que lhe são apliados. Já na roha, a resistênia lhe é intrínsea e as tensões existem independentemente de outras argas externas que lhe são apliadas. O que oorrerá será uma redistribuição das tensões atuantes, deorrentes da partiular estrutura superfiial ou subterrânea onstruída na roha. Na natureza é muito raro se enontrar massa de roha om propriedades meânias uniformes, normalmente, as ondições dos maiços rohosos variam de loal a loal. A estrutura meânia da roha apresenta várias aparênias diferentes, de aordo om a esala, suas propriedades dependem de todas as feições estruturais. Contudo, aspetos individuais têm variados graus de importânia em diferentes irunstânias. Muitas vezes é neessário se atribuírem valores numérios para as propriedades, sendo estes dados obtidos em testes de laboratório. Os projetos de esavações para mineração em roha são freqüentemente desenvolvidos levando-se em onsideração o regime de pós ruptura do maiço rohoso, haja visto ser essa a ondição de ampo que possibilita a viabilidade eonômia da mina.. TENSÕES NOS MACIÇOS ROCHOSOS Para avaliação do estado de tensão do maiço rohoso, deve-se onsiderar dois aspetos: o primeiro, antes da exeução de uma obra em roha existe um estado de tensão deorrente das ondições naturais dos maiços; o segundo aspeto é que após a exeução da esavação o estado de tensão preexistente sofrerá uma redistribuição em função da forma da esavação e sua disposição espaial. Na araterização da resistênia dos materiais são utilizados os ritérios de ruptura ou esoamento, para materiais friáveis ou dúteis, respetivamente. Os parâmetros geomeânios são obtidos através de ensaios de laboratório e no ampo, bem omo da experiênia dos profissionais envolvidos, que forneem os dados de oesão, ângulo de atrito interno, módulo de deformabilidade do maiço, et. O número e a diversidade de lassifiações geomeânias de materiais, maiços e estruturas rohosas estão relaionados às diferenças existentes entre materiais e propriedades, além dos objetivos visados pela lassifiação e das dimensões da obra de engenharia a ser onstruída (Ojima,98 & Pinus, 988). Os resultados de uma lassifiação normalmente não são universalmente apliáveis, restringindo-se, a priori, àqueles asos para os quais a lassifiação foi originalmente determinada (Ojima,98 & Pinus,988). A lassifiação geomeânia é uma ferramenta que pretende, a partir da apliação de determinados ritérios, zonear o maiço rohoso em regiões de omportamentos meânios semelhantes. Algumas são ditas universais, ou seja, lassifiam o maiço rohoso pelo maiço sem se importar om a

3 obra de engenharia que nele vai ser implantada. Outras são onsideradas dirigidas, onsideram o tipo da obra e em onseqüênia disso, os esforços soliitantes a que o maiço será submetido durante a exeução da obra. Quanto aos parâmetros geomeânios é possível dispor de softwares que elaboram boa parte das fases da análise de estabilidade de quedas de bloos, lajes ou de pilares de obras subterrâneas.. CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB Os ritérios de ruptura determinam em que nível de tensões as partíulas de um material entram em estado de esoamento plástio. O de Mohr-Coulomb é um dos mais antigos, e o mais usado ao longo dos tempos om a finalidade de representar o omportamento de materiais quanto a ruptura em regime poliaxial de tensões, usando sinal positivo para a ompressão, sendo estabeleido pela seguinte equação linear (Obert & Duvall,967, Jaeger & Cook,976): τ tanφ onde: τ - tensão de isalhamento φ - ângulo de atrito interno da roha - oesão da roha e - tensão normal (.) O ritério de Mohr-Coulomb pode também ser definido om relação às tensões prinipais (Obert, L. & Duvall,967), na seguinte forma: tan β (.) osφ senφ (.) tan β tan ( 45 ) φ (.4) onde tensão prinipal máxima tensão prinipal mínima resistênia à ompressão uniaxial 4. CRITÉRIO DE HOEK-BROWN Hoek e Brown,980 a partir de um grande número de dados experimentais de ensaios em roha intata, desontinuidade nos maiços rohosos, e análises estatístias, estabeleeram uma relação empíria entre as tensões prinipais na ruptura definida pela equação: m s (4.)

4 onde : m, s onstantes que dependem do tipo e araterístias geológios-geotetônias do maiço rohoso Para estimar, por exemplo, a resistênia a tração de maiço rohosos, faz-se 0 e t na equação (4.) obtendo-se: ( m m t 4s (4.) Os parâmetros m e s refletem a qualidade (ou lasse) do maiço rohoso analisado, segundo a equação: m s (4.) Os valores de m e s são tabelados para diversas lasses de roha. A urvatura da envoltória expressa pela equação (4.), depende do valor de m, e sua distânia em relação ao eixo depende do valor de s. Obtém-se a resistênia à ompressão uniaxial do maiço rohoso a partir da resistênia de uma amostra de laboratório fazendo-se 0 na equação (4.), aarretando: Para roha intata (quando s ), M. Por outro lado, para roha fraturada, (s < ) om pressão de onfinamento zero, a resistênia é dada pela equação (4.4), sendo a resistênia à ompressão uniaxial da roha intata. Este valor é uma medida da ontribuição da oesão da roha para om a resistênia total do maiço rohoso. s M s (4.4) Similarmente, obtém-se a resistênia à tração fazendo-se 0 na equação (4.), neste aso t, ou seja: m s 0 ou m s 0 t M t M t M t M O ritério de Hoek-Brown é utilizado de forma mais onveniente para análise de estabilidade de taludes, seguindo a equação (4.4). ( m m 4s ) M t (4.5) τ A t B (4.6) 5. CORRELAÇÃO ENTRE OS CRITÉRIOS DE MOHR-COULOMB E HOEK- BROWN A importânia de se orrelaionarem diferentes ritérios de ruptura advém da possibilidade de determinação dos parâmetros de um a partir dos parâmetros do outro, omo oorre entre os ritérios lássios de Mohr-Coulomb e Druker-Prager (Owen & Hinton,980). Como a maioria das análises utilizadas em estabilidade de esavações subterrâneas ou para álulo da estabilidade de taludes têm sido tradiionalmente formuladas

5 em função do ritério de ruptura de Mohr-Coulomb, uma questão relevante é omo determinar valores equivalentes para o ângulo de frição interna φ e a oesão do ritério de Mohr-Coulomb a partir da tangente à envoltória definida pelo ritério de Hoek-Brown (Lima,99 ). O ângulo que a tangente forma om a horizontal (φ') pode ser interpretado omo o ângulo de atrito interno instantâneo ou aparente. Para determinarmos o ângulo β' ' deriva-se a equação (4.) em relação a, de onde se obtém: tan β' m s (5.) Sendo assim, substituindo-se por Mohr-Coulomb assume a seguinte forma: tanβ e β por β, a equação da envoltória de (5.) Por outro lado, deve satisfazer a equação (4.). Portanto: ( tan β' ) m s ' (5.) Prosseguindo, de aordo om as equações (.4) e (.), podemos alular φ' e ' em função de tanβ e, ou seja: φ' [artan( tan β' ) 45 $ ] (5.4) ' senφ' ' (5.5) osφ' Onde tanβ e são forneidos pelas equações (5.) e (5.), que tem omo variável apenas. A partir daí onluímos que para ada valor de a envoltória de Hoek-Brown possui valores diferentes para o ângulo de atrito interno e a oesão aparentes. 6. IMPLEMENTAÇÃO DOS CRITÉRIOS DE ESCOAMENTOS EM COMPUTADOR A formulação mais adequada para implementação numéria dos ritérios de esoamento em omputador é através dos invariantes de tensões. Sua prinipal vantagem é permitir a odifiação em omputador da função de esoamento e da regra de fluxo, neessitando apenas as espeifiações de algumas onstantes. A superfíie de esoamento para um determinado sólido, referente a um ritério de ruptura ou de esoamento, é obtida utilizando as três ombinações de tensões prinipais. Para plotagem de uma superfíie de esoamento deve-se onheer a origem e uma seção genéria da mesma, gera-se então a superfíie utilizando todas as ombinações de tensões prinipais possíveis. Um software no ambiente MATLAB foi odifiado para estabeleer o ampo de distribuição das tensões prinipais e a evolução das superfíies de esoamento utilizando os dois ritérios em análise. 6. Critério de Esoamento de Mohr-Coulomb Este ritério de esoamento é uma generalização da lei de ruptura por frição de Coulomb, definida pela equação (.), pode-se também equaioná-lo em função das tensões

6 prinipais máximas e mínimas através da equação (.). Sua utilização em meânia de rohas é mais adequada na sua abordagem tradiional. max min tanβ ou tanβ (6.) onde: é a resistênia à ompressão axial do material, dada pela equação (.) e β obedee à equação (.4). Portanto a equação (6.) assume a seguinte forma: osφ senφ senφ senφ (6.) onde: é a tensão prinipal máxima, responsável pela distorção; osφ é a onstante de senφ resistênia do material; senφ é o oefiiente de frição interna do material e é a senφ tensão prinipal mínima, responsável pelo onfinamento. A superfíie de esoamento para este ritério é obtida onsiderando-se todas as ombinações de tensões possíveis. 6. Critério de Esoamento de Hoek-Brown O ritério de esoamento de Hoek-Brown é definido pelas tensões prinipais máximas e mínimas e pela resistênia à ompressão. Sua superfíie de esoamento é obtida de maneira similar ao de Mohr-Coulomb, onsiderando, também, as possíveis ombinações de tensões. Com raioínio similar ao adotado para o ritério de Mohr-Coulomb em relação à onvenção de sinais (ompressão positiva), e a partir da equação (4.), obtém-se: m s ou ( - ) logo, a função esoamento terá a seguinte forma: m - s 0 (6.) F(, ) ( - ) m - s (6.4) 7. DISCUSSÕES E CONCLUSÕES A utilização de resultados baseados em soluções que assumem o omportamento puramente elástio do maiço rohoso é bastante generalizada para o dimensionamento de esavações subterrâneas. Observa-se entretanto que as esavações destinadas à extração de bens minerais geralmente exibem omportamento de pós-ruptura (modelo elastoplástio no presente estudo) em porções onsideráveis do domínio de interesse. Uma omparação entre os fatores de segurança de soluções baseadas em modelo elástio e no modelo elastoplástio aqui proposto se torna oportuna para o ritério de Hoek-Brown, haja vista que este ritério tem sido extensivamente adotado nas implementações de programas omeriais para análise de tensões assoiadas a esavações em roha. Vale ressaltar que fator de segurança igual a unidade sugere o estado limite de equilíbrio, quando menor que a unidade estado de ruptura e quando maior que a unidade sugere estabilidade. Quando for menor que a unidade o sistema

7 de sustentação nos pilares torna-se instável. Portanto, sugere-se fatores de segurança maior do que a unidade dentro de erto limite eonômio. Nesta pesquisa onluímos que pode-se inferir as propriedades do de resistênia do maiço a partir da resistênia da roha intata, alulada em laboratório, em onjunção om sistemas de lassifiação de maiço rohoso ou urva de efeito esala. Estabeleeu-se a orrelação entre as propriedades, φ, e β do ritério de Mohr-Coulomb om s, m e do ritério de Hoek-Brown, tendo sido onstatada a sua exatidão numeriamente através dos exemplos usando-se ambos os ritérios. Observou-se ainda que através de exemplos baseados na solução aproximada pelo método tangente ao ritério de Mohr-Coulomb, que a implementação elastoplástia do ritério de Hoek-Brown está orreta. A formulação aqui detalhada foi implementada numeriamente em programa de elementos finitos (Owen & Hinton,980), tendo sido obtidos resultados ompatíveis om soluções empírias para pilares em minas de arvão (Lima et alli,997). Com isto fia demonstrada a utilidade de implementações om base teória na soluções de problemas prátios. Por outro lado, para uma apliação em túnel irular fiou evidente que o ritério de Mohr-Coulomb super estima a resistênia do maiço rohoso (Alântara,997) 8.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Alântara, M. E., Implementação Elastoplástia do Critério de Ruptura de Hoek-Brown para Maiço Rohoso. Dissertação de Mestrado - Universidade Federal da Paraíba - CCT- DEM-UFPB. Setembro de 997 Hoek, E. & Brown, E. T., The Hoek-Brown failure riterion a 988 update. Pro. 5th Can. Rok Meh. Symp, University of Toronto, pp. -8, 988. Hoek, E. & Brown, E. T., Underground exavations in rok. London, UK. The Institution of Mining & Metallurgy, 57p., 980. Hoek, E., Tehnial Note. Estimating Mohr-Coulomb Frition and Cohesion Values from the Hoek-Brown Failure Criterion. Int. J. Rok Meh. Min. Si. & Geomeh. Vol. 7, N., pp. 7-9, Great Britain, 990. Hudson, J. A.; Arnold, P. N. & Tamai, A., Rok engineering mehanisms information tehnology (REMIT), Part I - The basi method; Part II - Ilustrative ase examples. 7th. International Congress on Rok Mehanis. Aahen, Germany, ISRM, Vol., pp., -9, 99. Jaeger, J. C. & Cook, N. G. W., Fundamentals of rok mehanis, nd ed. Chapman and Hall, London, 976. Lima, A. A. Gopinath, T. R. &Alantara, M. E. Comparison of Pillar Strengths Using Empirial Equations and Finite Elements. 6th International Conferene on Ground Control in Mining, pp.74-8, 997 Obert, L. & Duvall, W. I., Rok Mehanis and Design of Strutures in Rok. John Wiley, New York, 967. Ojima, L. M., Metodologia de Classifiação de Maiços Rohosos Apliável a Túneis. Síntese de Pós-Graduação N., ABGE, 98. Owen, D. R. J. & Hinton, E., Finite Elements in Plastiity. Pineridge Press, Swansea, 980. Pinus, H. J., Opening remarks, in Engineering pratie, Kirkaldie. L. (ed). Rok lassifiation system for engineering purposes (STP 984). Philadelphia, USA, ASTM, pp. 0-0, 988.