FLEXÃO SIMPLES: ANÁLISE COMPARATIVA REBAP VS. EC2

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1 1 FLEXÃO SIMPLES: ANÁLISE COMPARATIVA REBAP VS. EC J. Sena Cruz Prof. Auxiliar Univ. do Minho Guimarães Paulo B. Lourenço Prof. Assoiado Univ. do Minho Guimarães SUMÁRIO O Euroódigo reomenda a utilização de relações tensões-extensões de álulo quer para o betão quer para o aço, diferentes das propostas pelo REBAP. Com o objetivo de analisar a influênia desta alteração normativa no dimensionamento à flexão simples de seções retangulares, efetuou-se um estudo omparativo em termos de grandezas adimensionais. Na omuniação desreve-se o estudo efetuado, assim omo, as prinipais onlusões obtidas. Palavras-have: Euroódigo ; REBAP; flexão simples; seções retangulares 1. INTRODUÇÃO No ontexto atual naional, o dimensionamento de estruturas de betão armado tem sido maioritariamente efetuado de aordo om a norma naional, o Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré Esforçado (REBAP) [1]. Reentemente foi aprovado o Euroódigo (EC) [] a nível europeu que possui inúmeras diferenças fae à versão anterior, omo pré-norma europeia [3]. Prevê-se para breve a atribuição do estatuto de norma naional, através da publiação de um texto idêntio ou da sua validação. O EC quando omparado om o REBAP, apresenta diferenças signifiativas na forma e onteúdo do dimensionamento de estruturas de betão armado. Perante este enário torna-se imperioso efetuar estudos omparativos entre as duas normas aos mais diferentes níveis. O dimensionamento de seções transversais à flexão, em que se admite a hipótese de Navier-Bernoulli das seções planas antes e após a deformação, reorre a leis tensão extensão, σ-, de álulo dos materiais intervenientes: betão e aço. As propostas do REBAP e EC para definir estas leis são distintas. Com o objetivo de analisar a influênia destas

2 diferenças no dimensionamento de seções retangulares à flexão simples, foi efetuado um estudo omparativo. Neste trabalho desreve-se o estudo omparativo efetuado, assim omo, as prinipais onlusões obtidas.. MATERIAIS.1 Betão No dimensionamento de seções transversais, o EC propõe três leis distintas para as relações tensões-extensões, σ -, de álulo do betão à ompressão. No presente trabalho utilizou-se a relação tensão-extensão definida pelas equações (1) e () (ver Figura 1). n σ = f 1 1 se d (1) σ = f se () d em que: f d é valor de álulo da tensão de rotura do betão à ompressão; n é o expoente da equação (1); é a extensão neessária para se atingir a tensão de rotura do betão à ompressão; e, u é a extensão última. Os valores dos parâmetros n, e u dependem da lasse do betão e enontram-se indiados no Quadro 3.1 do EC. O presente estudo restringiu-se apenas a betões até à lasse C5/6. Nestas irunstânias n =, =. e u = 3.5. σ fk fd u Figura 1: Diagrama parábola-retângulo para o betão à ompressão. Para as lasses de betão em estudo, o diagrama tensão-extensão proposto pelo REBAP é igual ao do EC, desde que valor de álulo da tensão de rotura do betão à ompressão seja substituída por.85f d.

3 3. Aço Dois tipos distintos de diagramas tensão-extensão de álulo para a armadura ordinária são referidos no EC, a saber (ver Figura ): diagrama bi-linear om o segundo ramo horizontal. Com a adopção deste diagrama não é neessário verifiar a extensão limite, o que representa uma alteração signifiativa à prátia naional; diagrama bi-linear, om o segundo ramo inlinado até uma extensão limite ud. O delive do segundo ramo é definido pelos pontos (, f ) e ( uk, kf yk/γ s). A forma analítia para o diagrama tensão-extensão, σ-, do aço para o primeiro aso é dada por, Es se σ = f se > (3) No aso do aço om endureimento a forma analítia do diagrama tensão-extensão, σ-, é dada por, Es se σ = f + E ( ) se h ud (4) em que: E s é o módulo de Young do aço, igual a GPa; é o valor de álulo da extensão orrespondente à tensão de edênia do aço dada pela relação f /E s; f é o valor de álulo da tensão de edênia do aço; ud é o valor de álulo da extensão limite, que se assumiu ser igual a 9% do valor araterístio da extensão última, i.e.,.9 uk; E h é o módulo de elastiidade longitudinal para o segundo ramo do diagrama σ ; γ s é o fator parial para o aço, igual a 1.15; e, f yk é o valor araterístio da tensão de edênia. σ A kfyk fyk kfyk kfyk/γs f = fyk/γs B k = (f t /f y) k A Diagrama idealizado B Diagrama de álulo f/ Es ud uk Figura : Diagramas tensão-extensão para o aço (à tração e à ompressão).

4 4 Os valores de f yk, f,, uk, ud, k e E h para as diferentes lasses de aço (S4, S5 e S6) enontram-se indiados no Quadro 1. Na elaboração desta tabela onsideram-se os valores mínimos sugeridos pelo EC na determinação dos parâmetros uk e k. Aço Classe Quadro 1: Propriedades do aço de aordo om EC. f yk [MPa] f [MPa] [ ] uk [ ] ud [ ] k [-] E h [MPa] S S5 A S S S5 B S S S5 C S No que diz respeito ao REBAP, o diagrama tensão-extensão de álulo proposto para o aço é o bi-linear sendo o segundo ramo horizontal até uma extensão limite,, igual a 1. Neste trabalho, e nos estudos omparativos om o REBAP, apenas serão analisados os aços das lasses A4 (S4) e A5 (S5). 3. AÇO SEM ENDURECIMENTO Num primeiro estudo adoptou-se para diagrama tensão-extensão de álulo do aço segundo o EC, aquele em que o segundo ramo é horizontal. Nestas irunstânias, a rotura da seção dá-se sempre pelo betão, i.e., a extensão na fibra de betão mais omprimida é igual a 3.5. A armadura poderá estar em regime elástio ou em regime plástio. Assim, a posição do eixo neutro, x, enontra-se no intervalo <x<d (ver Figura 3). u f d λx F d x A s b Deformações Tensões no betão Figura 3: Configuração da seção transversal. F s

5 5 Nestas ondições, as equações de equilíbrio e de ompatibilidade de deformações apresentam o seguinte aspeto formal, Rd A σ = b x f ψ (5) s d d ( λ ) M = b x f ψ d x (6) u = x d x (7) em que: xf dψ é a área do diagrama de ompressões do betão; e, λx é a distânia do entro de gravidade do diagrama de ompressões à fibra de betão mais omprimida. Os parâmetros ψ e λ podem definidos em função da posição relativa do eixo neutro, ξ=x/d, i.e., ψ = (8) 1 3 u 6 λ = u u u (9) As equações (5), (6) e (7) podem ser reesritas de forma adimensional, a saber, ( 1 ) µ = ξψ λξ (1) f ω = ξψ (11) σ u ξ = (1) 1 ξ em que: MRd ( bd fd ) e, ( As bd ) ( f fd ) µ = é o valor reduzido do valor de álulo do momento fletor resistente; ω = é a perentagem meânia de armadura; σ = f para < ξ < ξlim ; σ E 1 ξ 1 para ξ ξ 1 ξ = 1 1+ f E. = ( ) < < ; ( ) s u lim ( ) lim s u Um aspeto relevante do estudo à flexão simples prende-se om a neessidade determinar o valor limite de µ a partir do qual seções duplamente armadas são mais eonómias. Este valor pode ser determinado admitindo uma extensão na armadura igual à sua extensão de edênia. Esta situação orresponde a uma posição relativa do eixo neutro igual a ξ lim. Assim, na Quadro apresentam-se os valores de µ, ξ, ω a partir dos quais são mais eonómias vigas duplamente armadas de aordo om o REBAP e o EC. Com base neste quadro onstata-se que os valores de µ sofrem uma alteração signifiativa (era de 17%), para ambos os aços analisados.

6 6 Quadro : Valores de µ, ξ, ω a partir dos quais são mais eonómias vigas duplamente armadas. Aço REBAP EC µ ξ lim ω µ ξ lim ω S S Na Figura 4 representa-se a relação momento reduzido versus perentagem meânia de armadura para as três lasses resistênia do aço: S4, S5 e S6. Estas relações foram elaboradas a partir das equações (1), (11) e (1). Como se pode onstatar todas as urvas apresentam omportamento similar até se atingir o orrespondente ξ lim.. Perentagem meânia de armadura, ω S4 S5 S Figura 4: Momento reduzido vs. perentagem meânia de armadura. Na Figura 5 apresentam-se relações momento reduzido versus perentagem meânia de armadura para as lasses de aço S4 e S5 determinadas de aordo om o EC e om o REBAP. Os fundamentos neessários para a determinação da relação momento reduzido versus perentagem meânia de armadura segundo o REBAP, podem ser enontrados na bibliografia da espeialidade, e.g., Montoya et al. [4]. Com base nestas relações observa-se que para valores de µ superiores a aproximadamente. o EC apresenta menores neessidades de armadura. Este resultado seria expetável, pois a ontribuição do betão para o momento resistente aumenta om o aumento de µ. Nestas figuras também se inlui a evolução da neessidade de armadura om o valor de µ. Esta foi definida om base na expressão, ( ) REBAP ( ) ω ( µ ) ω EC µ ω µ 1 (13) REBAP

7 7 Assim, é possível onluir que no dimensionamento de seções à flexão simples em onformidade om o EC, se obtêm quantidades de armadura inferiores àquelas que se obtinham om o REBAP. Em partiular, para µ=.5 a eonomia de armadura é de era de 4%, e para µ lim=.33 a eonomia é de 7.5%... Perentagem meânia de armadura, ω Neessidade de armadura REBAP (a) EC Neessidade de armadura [%] Perentagem meânia de armadura, ω Neessidade de armadura REBAP Figura 5: Análise omparativa entre o EC vs. REBAP: (a) aço S4; (b) aço S5. (b) EC Neessidade de armadura [%] 4. AÇO COM ENDURECIMENTO No segundo estudo, onsiderou-se para diagrama tensão-extensão de álulo do aço reomendado pelo EC aquele em que o segundo ramo apresenta endureimento. Nestas irunstânias a rotura da seção poderá oorrer pelo betão, pelo aço ou em ambos em simultâneo. Foram definidos quatros domínios distintos [4], a saber (ver Figura 6): Domínio a: rotura pelo aço e a extensão máxima de ompressão no betão enontra-se no intervalo [, ]; Domínio b: rotura pelo aço e a extensão máxima de ompressão no betão enontra-se no intervalo [, u]; Domínio 3: rotura pelo betão e a extensão de tração no aço enontra-se no intervalo [, ud]; Domínio 4: rotura pelo betão e a extensão de tração no aço enontra-se no intervalo [, ]. A variação da posição relativa do eixo neutro em função do domínio enontra-se indiada na Quadro 3. Nesta tabela também se inluem as expressões para os parâmetros ψ e λ assoiados às equações (1) e (11), assim omo, a expressão da tensão no aço, para os diferentes domínios. Nos domínios a e b os parâmetros ψ e λ são função da extensão na fibra mais omprimida de betão, sendo esta dada por, ξ 1 ξ = ud (14)

8 a 4 as Jornadas Portuguesas de 8 u b 3 d 4 ud Figura 6: Definição dos domínios. Quadro 3: Posição relativa do eixo neutro e expressões para os parâmetros ψ, λ e σ em função do domínio. Domínio Eixo neutro ψ λ σ a b < ξ 1+ ud 1 1 < ξ ud ud u f f + E Es h ud 1 1 < ξ 1 f ud f 1 f 1+ + Eh u 1+ ξ E s u Es u 6 u u 4 u 1 u < ξ < 1 1 f Es 1 u 1+ ξ E s u Tal omo na seção anterior, é possível elaborar gráfios relaionado os parâmetros ξ e ω em função de µ, para ada lasse de resistênia do aço (S4, S5 e S6) e nível de dutilidade (A, B e C), utilizando as equações (1), (11) e (14) e as expressões apresentadas no Quadro 3. Adoptou-se o método de Newton-Raphson na resolução da equação (1). Na Figura 7(a) representam-se, para diferentes lasses de dutilidade do aço (A, B e C), as relações momento reduzido versus perentagem meânia de armadura para o aço S4. Como seria de esperar, os resultados obtidos são similares para todas as lasses de dutilidade. Para valores muito baixos do momento reduzido (µ<.5) observam-se diferenças ligeiras diferenças entre as três lasses de dutilidade, nuna superiores a 8%. Resultados idêntios a estes podem ser enontrados para as lasses S5 e S6.

9 9 Na Figura 7(b) representa-se, para diferentes lasses de resistênia do aço (S4, S5 e S6), as relações momento reduzido versus perentagem meânia de armadura para a lasse de dutilidade A. Iguais resultados são obtidos até oorrer a passagem do regime plástio para o regime elástio da armadura... Perentagem meânia de armadura, ω S4-A S4-B S4-C Perentagem meânia de armadura, ω S5-A S6-A S4-A (a) Figura 7: Relação ω µ para diferentes lasses de dutilidade do aço (a) e diferentes lasses de resistênia do aço (b). (b) Com o objetivo de avaliar as neessidades de armadura om a utilização dos dois tipos de diagramas σ- do aço previstos no EC, elaboram-se gráfios de neessidade de armadura versus momento reduzido (ver Figura 8). Esta neessidade de armadura foi definida om base na seguinte expressão, ( ) DIAG ( ) ( ) ω DIAG µ ω 1 µ 1 (15) ω µ DIAG1 em que ω DIAG1 e ω DIAG é a perentagem meânia de armadura obtida quando se usa o diagrama do aço sem e om endureimento, respetivamente. Na Figura 8(a) apresenta-se a evolução da neessidade de armadura om o momento reduzido para diferentes lasses de dutilidade do aço S4. A partir desta figura é possível onluir que, de uma forma geral, o diagrama do aço om endureimento onduz a menores neessidades de armadura. Esta menor neessidade aumenta om a diminuição do valor de µ, atingindo 1% para a lasse de dutilidade C. Contudo, para valores orrentes do momento reduzido em vigas, próximos de.5, a eonomia é inferior 1.5%. Verifia-se, também, que existem variações signifiativas das neessidades de armadura om o aumento da dutilidade. Na Figura 8(b) apresenta-se a evolução da neessidade de armadura om o momento reduzido para as diferentes lasses de resistênia do aço da lasse de dutilidade C. Assim, om base nesta figura é possível onluir que a variação da lasse de resistênia não onduz a variações signifiativas da neessidade de armadura.

10 1 Neessidade de armadura, ω S4-B S4-C S4-A Neessidade de armadura, ω S4-C S5-C S6-C (a) Figura 8: Evolução da neessidade de armadura om o momento reduzido (omparação entre uma lei de omportamento para o aço sem endureimento e om endureimento): (a) para diferentes lasses de dutilidade do aço S4; (b) para as diferentes lasses de resistênia da lasse de dutilidade C. (b) No intuito de fazer uma análise omparativa entre os resultados obtidos entre o REBAP e o EC quando se adopta o diagrama σ- para o aço om endureimento, elaboram-se relações neessidade de armadura versus momento reduzido. Estas relações estão representadas na Figura 9 para a lasse de dutilidade C. A neessidade de armadura foi determinada om base na expressão (13). Na determinação de ω DIAG(µ) da expressão (13) utilizou-se o diagrama σ- para o aço em que o segundo ramo apresenta endureimento. A partir do gráfio da figura é possível onluir que, qualquer que seja o valor do momento reduzido, a eonomia de armadura é sempre superior a 4%, atingindo valores na ordem dos 6 a 8% para seções normalmente armadas, quando o EC é utilizado no dimensionamento da seção. Não se verifiam diferenças signifiativas quando se varia a lasse de resistênia do aço. 5. CONCLUSÕES No presente trabalho analisou-se a influênia dos diagramas tensão-extensão de álulo do betão e do aço propostos pelo EC e pelo REBAP no dimensionamento à flexão simples de seções retangulares. A partir deste estudo foi possível onluir que: 1. não se verifiam diferenças signifiativas entre o diagrama do aço om patamar e om o endureimento mínimo previsto pelo EC (máximo de 1% na lasse de dutilidade C mas para valores orrentes de µ a diferença é era de 1%);. as diferenças entre o EC e REBAP são reduzidas (8% em termos médios om diagrama om endureimento, e valores de 4 a 6% para seções normalmente armadas). O máximo é era de 13% para µ's muito baixos; 3. o EC permite utilizar seções simplesmente armadas para perentagens de armadura era de % mais elevadas que o REBAP (valores de momentos reduzidos na ordem de.37 a.39). Nestes asos, o EC não pode ser omparado om o REBAP no aso de seções om armadura simples, porque as seções já saturaram de aordo om o REBAP.

11 11 Neesidade de armadura, ω S4-C S5-C Figura 9: Evolução da neessidade de armadura om o momento reduzido (omparação entre o EC e o REBAP para um lei de omportamento do aço om endureimento). 6. REFERÊNCIAS [1] REBAP - Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado. Impressa Naional Casa da Moeda, [] Euroode - Euroode : Design of onrete strutures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. Comité Européen de Normalisation (CEN), EN :4: E, 4, Brussels [3] pren Euroode : Design of Conrete Strutures Part 1: General rules and rules for buildings. 1st draft, Dezembro, [4] Montoya et al. - Hormigon armado. Tomo I. 11ª edition. Editorial Gustavo Gili, 1981, Barelona.