Sistemas Fraccionários

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1 Sistemas Fraionários J.. Mahado (), Ramiro Barbosa (), Isabel Jesus (), Fernando Duarte () Nuno Ferreira (3), Alexandra Galhano () () Departamento de Engenharia Eletroténia do Instituto Superior de Engenharia do Porto, Rua Dr. António Bernardino de Almeida, Porto, Portugal, () Departamento de Matemátia da Esola de enologia de Viseu, Viseu, Portugal, (3) Departamento de Engenharia Eletroténia do Instituto Superior de Engenharia de Coimbra, Coimbra, Portugal, Resumo O álulo integral e diferenial de ordem não-inteira ou Cálulo Fraionário (CF), remonta ao iníio do próprio álulo diferenial. Contudo, somente nas últimas três déadas é que esta teoria onheeu uma verdadeira apliação devido, não só a uma maior ompreensão das suas potenialidades por parte da omunidade ientífia omo também pelo impulso dado por outras áreas, nomeadamente os sistemas aótios e fratais, que revelaram algumas relações importantes om o CF. Neste artigo, o CF é analisado no ontexto do ontrolo de sistemas dinâmios sendo apontadas as perspetivas de apliação e desenvolvimento. Palavras-have: Sistemas Fraionários, Derivadas de Ordem Não-Inteira, Controlo, Modelização, Sistemas Robótios.. Introdução A generalização do oneito de derivada d α f(x)/dx α para valores não inteiros de α remonta ao iníio do desenvolvimento do álulo diferenial [ 4]. Na orrespondênia de Leibniz om Bernoulli e, posteriormente, om L Hôpital (695) e Wallis (697) enontram-se alguns apontamentos relativamente à derivada de ordem α = /. No entanto, deveu-se a Euler (738) o primeiro passo, quando este analisou o álulo de derivadas fraionárias (DFs) para a função potênia. No seguimento deste resultado Laplae (8), Laroix (80) e Fourier (8) sugeriram, também, algumas ideias relativas ao álulo de DFs. O verdadeiro iníio da teoria relativa ao álulo de derivadas e integrais fraionários (DIFs) deu-se om os trabalhos de Abel e Liouville. Abel (83) investigou ertas expressões fora do ontexto do álulo de DIFs, mas os resultados foram de importânia onsiderável para o desenvolvimento da teoria. Por seu lado, Liouville (8-837) estudou, expliitamente, várias questões nomeadamente a definição e o álulo de DFs para valores omplexos e a sua apliação a ertos tipos de equações difereniais lineares ordinárias, o efeito de uma mudança de variável no álulo de DIFs e a definição de uma DF omo o limite do quoiente D α h f/h α, onde D α h f é uma diferença de ordem fraionária. Riemann (847), Holmgren ( ) e Letnikov (868) tiveram, também, papéis de relevo no prosseguimento da teoria. Entre outros resultados, Holmgren onsiderou, pela primeira vez, a derivação e a integração fraionárias omo operações inversas e generalizou a expressão de d α (u v)/dx α. No

2 toante a Letnikov, este desenvolveu a DF omo limite da expressão lim D α h f/h α e demonstrou que as expressões propostas por Liouville e Riemann estavam de aordo om esta definição, assim omo generalizou a teoria dos DIFs para valores omplexos. Mais próximo dos nossos dias, são de referir numerosas ontribuições tais omo as de Hadamard (89), Weyl (97) e Marhaud (97), que tem vindo a ampliar o âmbito desta teoria.. Apliações do Cálulo Fraionário Nesta seção são apresentadas algumas apliações do CF em diversas áreas. Estas apliações são o resultado do trabalho desenvolvido no GRIS Group of Roboti and Intelligent Systems ( que se enontra integrado no ISEP.. Função Desritiva de Sistemas Meânios om Folgas Dinâmias A função desritiva (FD) é um dos métodos possíveis que podem ser adoptados para a análise de sistemas não-lineares. A ideia básia deste método é apliar um sinal sinusoidal na entrada do elemento não-linear e onsiderar apenas o omponente fundamental do sinal que aparee na sua saída. Então, a razão dos dois sinais sinusoidais (saída/entrada) representa a FD do elemento não-linear. O uso deste oneito permite a adaptação do teste de estabilidade de Nyquist para a deteção de um ilo limite de um sistema não-linear, nomeadamente uma predição aproximada da sua amplitude e frequênia. A abordagem lássia no estudo das folgas (folga estátia) é baseada na adopção de um modelo geométrio que despreza os fenómenos dinâmios envolvidos durante o proesso de impato [7]. Devido a esta razão, usualmente os resultados reais diferem signifiativamente dos obtidos através deste tipo de modelo. Nesta seção, utiliza-se o método da função desritiva para analisar sistemas om folgas e impatos, normalmente designadas de folgas dinâmias. O sistema meânio onsiderado onsiste em duas massas (M e M ) sujeito aos fenómenos de folga e de impato, tal omo ilustrado na Fig.. A olisão entre as massas M e M oorre quando x = x ou x = hx. Neste aso, podemos alular as veloidades das massas M e M após o impato ( x & e x & ) relaionando-as om os valores anteriores ( x& e x& ) através da regra de Newton: ( x x& ) = ε ( x& x& ), 0 ε & () em que ε é o oefiiente de restituição. No aso de uma olisão totalmente plástia (i.e. inelástia) ε = 0, enquanto que no aso de uma olisão elástia ideal ε =. x, x& x, x& f(t) M Side A M h Side B Fig. Sistema om duas massas sujeito a folga dinâmia.

3 Por apliação do prinipio de onservação do momento M x& M x& = Mx& M x& e da expressão (), hegamos às seguintes expressões para as veloidades ( x & e x & ) após o impato: ( M εm ) x& ( ε) x& M x& =, M M ( ε) M x& ( M εm ) x& x& = () M M O diagrama da função /N(F,ω) foi alulado numeriamente para uma força de entrada f(t) = F os(ωt) apliada à massa M e onsiderando omo saída a posição x (t) da massa M. A Fig. mostra os gráfios em esala log-log da parte real, Re{ /N}, e imaginária, Im{ /N}, da função /N(F,ω) versus a frequênia de entrada ω om F = 50 N e ε = {0., 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}, para os asos da folga estátia e dinâmia. O modelo lássio da folga estátia orresponde à função desritiva de um sistema linear om uma massa únia de valor M M seguida de uma folga geométria tendo omo entrada e saída as variáveis de posição Stati ε =0.7, 0.9 ε =0.5 ε = Stati ε =0. ε =0.3 ε =0.5 ε =0.7 ε =0.9 Re(-/N) 0 0 ε =0. Im(-/N) Dynami Dynami ω (rad/s) Fig. Gráfios em esala log-log da função /N(F,ω) versus a frequênia de entrada ω, para F = 50 N e ε = {0., 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} para: a) Re{ /N} e b) Im{ /N}. É interessante verifiar que apesar de terem sido adoptados modelos de ordem inteira para a desrição do sistema, o delive resultante é de ordem fraionária devido à variação dinâmia que resulta das olisões entre as massas.. Controlo de rajetórias de Manipuladores Redundantes Um manipulador redundante é um braço robótio que possui mais graus de liberdade que os neessários para estabeleer uma orientação e posição arbitrária da garra. Os manipuladores redundantes ofereem várias vantagens sobre os braços não redundantes. Num espaço de trabalho om obstáulos, os graus de liberdade adiionais podem ser utilizados para ontornar ou transpor esses obstáulos servindo para manipular objetos em situações que de outro modo seriam inaessíveis [9]. Consideremos um manipulador om k graus de liberdade, onde as variáveis das juntas são designadas por q = [q,q,...,q n ], e um onjunto de tarefas desritas por m variáveis x = [x,x,...,x m ], m < n. A relação entre o vetor das juntas q e o vetor de manipulação x orresponde à inemátia direta: ( q) ω (rad/s) x = f (3)

4 Difereniando a expressão (3) em relação ao tempo, obtém-se x & = J( q)q&. Assim, é possível alular o trajeto q(t) em função de uma trajetória pré-definida x(t). A solução em termos das veloidades das juntas é dada por: # q & = J ( q)x& (4) em que J # é uma das inversas generalizadas de J. As posições das juntas podem ser aluladas através da integração das veloidades (4) de aordo om o diagrama de bloos desrito na Fig. 3. x ref x x q q J # (q) atraso inemátia direta Fig. 3 Diagrama de bloos do algoritmo CLP. Para araterizar a resposta em frequênia adoptaram-se dois sinais de exitação alternativos: um sinal em doblete e um sinal em ruído brano distribuído ao longo de 500 ilos de trajetórias irulares. A Fig. 4 mostra o diagrama de Bode das amplitudes para uma exitação de entrada sobreposta em x ref (t): Q( s) X ref ( s) = K ( s z) ( s p) α α (5) onde K é o ganho, z e p são o zero e o pólo, respetivamente, e α é a ordem fraionária. Para uma exitação em doblete resulta α.0 enquanto que para uma exitação em ruído brano se obtém o valor fraionário α.3. Este fato é devido à propriedade de memória que os sistemas de ordem fraionária possuem, pois apturam os fenómenos dinâmios envolvidos durante todo o historial da experiênia, ao ontrário das derivadas de ordem inteira que apenas apturam a dinâmia loal. Fig. 4 Resposta em frequênia do robô 3R om ω 0 = 3 rad/s, r = m e ρ = {0.0, 0.30, 0.50} m para uma perturbação: a) tipo doblete e b) ruído brano durante toda a trajetória..3 Controlo de Posição/Força de Manipuladores Esta seção estuda o ontrolo de posição/força de robôs envolvendo o ontato entre a garra e o meio ambiente usando ontroladores de ordem fraionária (COFs) na estrutura híbrida proposta por Raibert and Craig [5].

5 A equação dinâmia de um robô om n elos interagindo om o meio ambiente (Fig. 5a) é dada por: τ = H(q)q& C(q,q) & G(q) J (q)f (6) em que τ e q são os vetores dos binários e posições das juntas (n ), H(q) é a matriz inéria (n n), C(q, q& ) e G(q) são os vetores (n ) dos termos entrífugos/coriolis e gravitaionais e F é o vetor (m ) da força que o meio ambiente exere sobre a garra do robô. A trajetória de ontato x da garra do robô om a superfíie de restrição é modelizada por um sistema linear de massa M, amorteimento B e rigidez K de aordo om a equação diferenial: F = Mx & Bx& Kx (7) A Fig. 5b mostra a estrutura do algoritmo de ontrolo híbrido de posição/força. y Y Cinemátia y J g l q x Y d S J q es Controlador de posição q J g l q J m θ I S J τ ff τ P Robô e ambiente J m x F d I S J τ es τ F Controlador de força F Fig. 5 a) Robô R e a superfíie de restrição do meio ambiente; b) Controlador híbrido de posição/força. Para efeitos de omparação om os ontroladores fraionários, foram usados ontroladores lássios do tipo PID. Foi adoptado um ontrolador PD de posição e um ontrolador PI de força definidos pelas seguintes equações: τ es q es J S( Yd Y ) ( I S)( F F) =, τp = a Pq& es bpqes (8a) = J, τf = a F τ es dt bfτ es (8b) d O ontrolador fraionário de posição C P (s) e de força C F (s) são dados através das seguintes expressões: C P () z K rp k ( ) Γ( αp ) k! Γ( α k ) P k = P z k, C () z F K rf k ( ) Γ( αf ) k! Γ( α k ) F k = F z k (9) onde K P e K F são os ganhos do ontrolador de posição e de força, respetivamente.

6 A Fig. 6 apresenta a resposta a um degrau na referênia de força efetuado para algoritmos de ontrolo PID e COF. Constata-se que os ontroladores fraionários apresentam um desempenho superior ao dos ontroladores PID lássios. Realizaram-se também experiênias para robôs om vários fenómenos dinâmios nas juntas, tais omo atrito não-linear, folga e flexibilidade, tendo-se verifiado em todos os asos, um melhor desempenho dos ontroladores fraionários [8] F (N). 0.8 F (N) t (s) Fig. 6 Resposta nos tempos da força F do robô R sobre a ação de um: a) ontrolador PD/PI e b) ontrolador fraionário COF (om α P = /5 e α F = /5). t (s) 3. Conlusões A teoria do CF é ainda pouo divulgada mas apresenta fortes potenialidades de apliação nas várias áreas ientífias. No ampo do ontrolo de sistemas foi já desenvolvido algum trabalho e os resultados onseguidos revelam numerosas possibilidades de apliação. Nesta perspetiva, enontra-se em urso investigação relativa à apliação das DIFs, de ferramentas de análise e de métodos efiientes de simulação e de identifiação. Referênias [] K. B. Oldham, J. Spanier, he Frational Calulus: heory and Appliation of Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Aademi Press, 974, New York. [] K. S. Miller, B. Ross, An Introdution to the Frational Calulus and Frational Differential Equations, John Wiley and Sons, 993, New York. [3] Igor Podlubny, Frational Differential Equations, Aademi Press, 999, San Diego. [4] Alain Oustaloup, La Dérivation Non Entière: héorie, Synthèse et Appliations, Hermes, 995, Paris. [5] M. H. Raibert, J. J. Craig, Hybrid Position/Fore Control of Manipulators, ASME Journal of Dynami Systems, Measurement, and Control, vol. 0, no., pp. 6 33, 98. [6] J. A. enreiro Mahado, Analysis and Design of Frational-Order Digital Control Systems, SAMS Systems Analysis, Modelling and Simulation, vol. 7, pp. 07, 997. [7] Ramiro S. Barbosa, J. A. enreiro Mahado, Desribing Funtion Analysis of Systems with Impats and Baklash, Nonlinear Dynamis, vol. 9, no. 4, pp , 00. [8] J. A. enreiro Mahado, Ramiro S. Barbosa, N. M. Fonsea Ferreira, Frational-Order Position/Fore Control of Mehanial Manipulators, CIFA 00 - Conférene Internationale Franophone d'automatique, pp , 00, Nantes, Frane. [9] Fernando Duarte, J. A. enreiro Mahado, Chaoti Phenomena and Frational-Order Dynamis in the rajetory Control of Redundant Manipulators, Nonlinear Dynamis, vol. 9, no. 4, pp , 00.