Prof. Alberto Ricardo Präss

Transcrição

1 Prof. Alberto Riardo Präss 1 ALBERT EINSTEIN Já num artigo apresentado há quatro anos eu prourei responder à questão da possível influênia da gravidade sobre a propagação da luz. Volto agora a este tema, porque não me satisfaz a forma porque então tratei o assunto e, mais ainda, porque vejo agora que uma das mais importantes onsequênias daquelas onsiderações pode ser submetida à verifiação experimental. Refiro-me ao fato de os raios de luz que passam na proximidade do Sol sofrerem no seu ampo de gravidade, segundo a teoria que se vai apresentar, um desvio tal, que a distânia angular entre o Sol e uma estrela fixa observada na sua proximidade é vista om um aumento aparente de quase 1 segundo de aro. No deurso destas reflexões surgem ainda outros resultados que se relaionam om a gravitação. Como, porém, uma exposição ompleta do assunto seria um pouo difíil de seguir, aqui só serão apresentadas algumas onsiderações muito elementares, para que o leitor possa failmente tomar onheimento das bases e da linha de pensamento da teoria. As relações que aqui se deduzem são válidas apenas em primeira aproximação, onquanto seja válido o seu fundamento teório. 1- Hipótese sobre a natureza físia do ampo gravitaional. Imaginemos num ampo de gravidade homogêneo ( uja aeleração designaremos por y ) um sistema de oordenadas em repouso K, de tal modo orientado que as linhas de força do ampo fiquem dirigidas no sentido negativo do eixo de z. Imaginemos também que num espaço isento de ampos de gravidade se enontra um segundo sistema de oordenadas K' animado de um movimento uniformemente aelerado ( de aeleração y ) na direção do eixo de z e no seu sentido positivo. para não ompliar inutilmente o raioínio, dispensaremos por agora a teoria da relatividade e onsideraremos os dois sistemas segundo o ponto de vista da inemátia tradiional e o movimento que os anima segundo a perspetiva da meânia usual. Os pontos materiais que não estejam sujeitos à influênia de outros movem-se, tanto em relação a K omo a K, de aordo om as equações: d x d t d y d z = 0, = 0, = y d t d t v v v 1

2 Em relação ao sistema aelerado K' isto resulta diretamente do prinípio de Galileu, mas em relação ao sistema K, que está em repouso num ampo de gravidade homogêneo, resulta do fato experimental de todos os orpos terem, em tal ampo, movimentos idêntios uniformemente aelerados. Esta lei da queda idêntia de todos os orpos no ampo da gravidade é uma das mais gerais que a observação da Natureza nos oferee, mas, apesar disso, não lhe foi dado nenhum lugar nos fundamentos da nossa representação do mundo físio. 1 Reproduzido de Ann. d. Phys 35 (1911). A. Einsteins, Jahrb. f. Radioakt. u. Elektronik 4 (1907)

3 Chegaremos, porém, a uma interpretação muito satisfatória de tal lei experimental, se admitirmos que os sistemas K e K' se equivalem ompletamente do ponto de vista físio, isto é, se admitirmos que o sistema K pode, igualmente bem, onsiderar-se oloado num espaço isento de ampo de gravidade; mas então, teremos de o onsiderar animado de um movimento uniformemente aelerado. Com esta onepção não pode mais falar-se de aeleração absoluta do sistema de referênia, do mesmo modo que na teoria da relatividade habitual não tem sentido falar-se de veloidade absoluta de um sistema 3. Aeite a hipótese que aabamos de fazer, a identidade de queda de todos os orpos num ampo gravitaional torna-se imediatamente inteligível. Enquanto nos ingirmos aos fenômenos puramente meânios abrangidos pelo domínio de validade de meânia newtoniana, não oferee dúvida a equivalênia dos sistemas K e K'; mas essa equivalênia só atingirá um signifiado de maior profundidade se a admitirmos para todos os fenômenos físios, isto é, se as leis de natureza referidas a K oinidirem inteiramente om as leis referidas a K'. Com a aeitação disto, teremos adquirido um prinípio que, se for realmente verdadeiro, terá um grande valor heurístio, porque nos permitirá, através da onsideração teória dos fenômenos que se passam em relação a um sistema de referênia uniformemente aelerado, obter informação aera do urso dos fenômenos num ampo de gravidade homogêneo. Nas páginas seguintes omeçaremos por mostrar até que ponto é que a nossa hipótese atinge, dentro do ponto de vista da teoria da relatividade habitual, uma onsiderável plausibilidade. - Sobre a ponderabilidade da energia A teoria da relatividade estabeleeu que a massa inerte dum orpo rese om o seu onteúdo energétio: se o valor do arésimo de energia for E, o arésimo de massa inerte será igual a E/, sendo a veloidade da luz. Mas orresponderá a este aumento de massa inerte também um aumento na massa gravitaional? Se assim não for, a queda dum orpo num mesmo ampo de gravidade deverá efetuar-se om aeleração diversas, dependentes do onteúdo energétio do orpo. O resultado tão satisfatório da teoria da relatividade, segundo o qual a lei da onservação da massa se funde om a lei da onservação da energia, não se poderia manter, porque então a lei da onservação da massa teria realmente que ser abandonada, na sua forma antiga, para a massa inerte, mas teria que ser mantida para a massa gravitaional. Ora isto deve onsiderar-se muito pouo provável. Por outro lado, a teoria habitual da relatividade não nos fornee nenhum argumento do qual se possa inferir que o peso dum orpo está dependente do seu onteúdo energétio. Vamos mostrar, porém, que a nossa hipótese da equivalênia dos sistemas K e K' aarreta, omo onsequênia neessária, a ponderabilidade da energia. Suponhamos que os dois sistemas materiais S 1 e S, munidos de instrumentos de medida, se enontram sobre o eixo do z do referenial K, à distânia h um do outro 4, de tal modo que o potenial gravitaional em S exede em y. h o potenial gravitaional em S1. Imaginemos que S emite para S 1 uma erta quantidade de energia E sob a forma de readiação. admitamos ainda que as quantidades de energia são medidas em S1 e S om dispositivos que se mostram ompletamente idêntios quando são levados a um mesmo loal do sistema z e aí omparados. Quanto ao proesso por que se faz 3 É laro que não é qualquer ampo de gravidade que pode substituir-se por um estado de movimento do sistema privado de ampo de gravidade, do mesmo modo que não é possível, por meio de uma transformação relativista, reduzir ao repouso todos os pontos de qualquer meio em movimento 4 S1 e S onsideram-se infinitamente pequenos em relação a h. 3

4 este transporte de energia em forma de radiação nada estabeleeremos "a priori", dado que ainda não onheemos a influênia do ampo de gravidade sobre a radiação e sobre os instrumentos de medida em S1 e S. De aordo, porém, om o nosso postulado da equivalênia de K e K', podemos estabeleer, em vez do sistema K oloado no ampo de gravidade homogêneo, um sistema K', que não está sujeito à gravidade, mas está animado de movimento uniformemente aelerado no sentido positivo do eixo do z do sistema K. Os sistemas materiais S1 e S supor-se-ão então rigidamente ligados ao eixo do z de K'. z S h y y S1 O proesso da transferênia de energia de S para S 1 por radiação será apreiado a partir de um sistema S o desprovido de aeleração. Admitamos que é nula a veloidade de K' em relação a K o no instante em que é emitida de S para S 1 a energia de radiação E. A radiação atingirá S 1 quando tiver deorrido o tempo h/ (em primeira aproximação). Nesse instante, porém, S 1 possui, em relação a K o, a veloidade y. h/ = v. Por esse motivo, e atendendo à teoria da relatividade habitual, a radiação que hega a S 1 não possui a energia E, mas sim uma energia maior, E 1, que em primeira aproximação está ligada om E pela equação 5 : v b (1 ) E1 = E 1 + E 1 = + De aordo om a nossa hipótese, a mesma relação é rigorosamente válida se o mesmo proesso deorrer no sistema K desprovido de aeleração, mas dotado de um ampo de gravidade. neste aso, podemos substituir yh pelo potenial do vetor de gravitação em S desde que a onstante arbitrária de em S 1 se tome igual a zero. Teremos então a equação: E (1 a) E1 = E + Esta equação exprime a lei da energia no proesso que estamos a onsiderar. A energia E1 que hega a S 1 é maior que a energia E, medida om os mesmos meios, que foi emitida em S, exedendo-a no valor da energia potenial da massa E / no ampo de gravidade. Mostra-se assim que a validade do prinípio da energia exige que se atribua à energia E, antes de ela ser emitida em S, uma energia potenial de gravidade, orrespondente à massa (gravitaional) E/. A nossa hipótese de equivalênia de K a K' remove assim a difiuldade menionada no prinípio deste parágrafo, que a teoria habitual da relatividade tinha deixado sem solução. x 5 A. Einstein, Ann d. Phys. 17 (1905),

5 O signifiado deste resultado ressalta om partiular lareza quando se onsidera o seguinte proesso ílio: 1 - Emite-se de S para S1, sob a forma de radiação, a energia E (medida em S ). Em S1 será estão reebida, de aordo m o resultado que aabamos de obter, a energia E (medida em S ). Em S1 será então reebida, de aordo om o resultado que aabamos de obter, a energia E ( 1 + yh/ ) (medida em S 1 ). - De S para S 1 faz-se deser um orpo W, de massa M, o que tem por efeito forneer ao exterior o trabalho Myh. 3 - Transfere-se de S1 para o orpo W a energia E, enquanto ele se enontra em S 1. Em virtude dessa transferênia a massa gravitaional de W modifia-se, passando a ter o valor M'. 4 - Eleva-se outra vez o orpo W para S, o que exige o dispêndio do trabalho M 'y h. 5 - Restitui-se a S a energia E, retirando-a de W. O únio efeito deste proesso ílio onsistiu em que S1 reebeu um arésimo de energia igual a E ( y h/ ) e ainda em se ter transferido para o sistema, em forma de trabalho meânio, a quantidade de energia. M ' yh myh Deve então ter-se, de aordo omo prinípio da energia, ou E b ' = M h M h (1b) M ' M = E O arésimo de massa gravitaional é assim igual a E/ e, portanto, igual àquele que a teoria da relatividade atribui à massa inerte. Este resultado pode deduzir-se mais diretamente ainda, da equivalênia dos sistemas K e K ', segundo a qual a massa gravitaional referida a K é exatamente igual à massa inerte referida a K '; pelo que a energia deve possuir uma massa gravitaional que é igual à sua massa inerte. Suponhamos então que, no sistema K ', se suspende de um dinamômetro uma massa M o : o dinamômetro ausará, em virtude da inéria de M o, o peso aparente M o y. Se agora se transferir para M o a quantidade de energia E, o dinamômetro, em virtude da inéria da energia, passará a E indiar MO +. De aordo om a nossa hipótese fundamental, exatamente o mesmo deverá aonteer se a experi6enia for repetida no sistema K, isto é, no ampo da gravidade. 3 - Tempo e veloidade da luz no ampo da gravidade Suponhamos que a radiação emitida de S para S1 no sistema K ', uniformemente aelerado, tem a frequênia v, avaliada om um relógio oloado em S. Quando essa radiação hegar a S1 a sua frequênia, avaliada om um relógio idêntio ao primeiro mas oloado em S1, não terá já o valor v mas sim um valor maior, dado em primeira aproximação por v h = v

6 Com feito, se voltarmos ao sistema de referênia desprovido de aeleração, K o, em relação ao qual o sistema K ' não tem ainda veloidade no instante da emissão da luz, então S1 terá em relação a Ko, no instante da hegada da radiação a S1, a veloidade y ( h/), onde resulta diretamente, pelo prinípio de Doppler, a relação indiada. Em onformidade om a nossa hipótese de equivalênia dos sistemas K e K, esta equação também é válida para o sistema imóvel K, dotado de um ampo de gravidade uniforme, aso nele se efetue a transferênia de radiação que foi desrita. Resulta daqui que, se u raio de luz for emitido em S, sob um determinado potenial gravitaional, e apresentar no instante da emissão a frequênia v determinada om um relógio oloado em S então ele apresentará, quando hegar a S1, uma outra frequênia v1 medida om um relógio idêntio ao anterior oloado em S1. Substituamos yh pelo potenial gravitaional de Sreferido a S1 omo origem de poteniais, e admitamos que a relação que foi estabeleida para o ampo de gravidade homogêneo ontinua a ser válida para outras formas de ampo. Teremos então ( a ) v = v 1 + h 1 Este resultado (que, segundo a dedução que fizemos, é válido em primeira aproximação) permite fazer desde já a seguinte apliação: Seja vo a frequênia de uma fonte elementar de luz, medida om um relógio U situado junto dela. Sendo tal frequênia independe do loal em que a fonte se enontra oloada omo relógio, imaginemo-los situados algures sobre a superfíie do Sol (onde então se enontrará o nosso S ). Da luz que é emitida desta superfíie há uma parte que atinge a Terra (S1 ): façamos a medição da frequênia v dessa parte, usando um relógio U rigorosamente idêntio ao que em ima menionamos. De aordo om ( a ), enontraremos v = v O 1 + onde designa a diferença (negativa) de potenial gravitaional entre a superfíie do Sol e a da Terra. Vemos deste modo que o ponto de vista que adaptamos os leva à previsão de que as risas espetrais da luz solar apresentam, em relação às orrespondentes risas de fontes luminosas terrestres, um erto desvio para o lado do vermelho, ujo valor relativo é v O v 6 = =. 10 v o Se fossem onheidas om exatidão as ondições em que se formam as risas solares, este desvio seria aessível à medição. Mas, omo há outras influênias (pressão, temperatura) que afetam a posição dos "entros de gravidade "das risas espetrais, é difíil verifiar se existe de fato a influênia do potenial gravitaional que aqui foi deduzida. 7 7 L.F.Jewell (Journ. de phys. 6 (1897), 84) e em espeial Ch. Fabry e H. Boisson ( Compt. rend. 148 (1909), ) observaram efetivamente tais desvios de risas espetrais finas para o extremo vermelho do espetro, e om uma grandeza da ordem daquela que aqui foi alulada. Atribuíram-nos, porém, a um efeito da pressão na amada absorvente. 6

7 Numa análise superfiial, a equação () e a equação orrespondente ( a ) pareem exprimir um absurdo: omo é que num proesso permanente de transferênia de luz S para S1 pode hegar a S1 um número de períodos por segundo diferente daquele que foi emitido em S1? mas a resposta é fáil. Nós não podemos onsiderar v e v1 omo frequênia tomadas de modo simplista omo números de períodos por segundo, visto que ainda não definimos um tempo para o sistema K, v signifia o número de períodos referido à unidade de tempo do relógio U em S; e v1 o número de períodos referido à unidade de tempo do relógio idêntio, U, situado em S1. mas nada nos força a admitir que os dois relógios U, que se enontram submetidos a diferentes poteniais gravitaionais, tenham de ser tomados om idêntios ritmos de funionamento: pelo ontrário, o que nós por erto teremos que fazer é que definir o tempo de tal forma que o número de ristas e de vales de onda que se enontram entre S e S 1 fique independente do valor absoluto do tempo, dado o aráter estaionário do proesso que estamos a onsiderar. Se não satisfizéssemos esta ondição, hegaríamos a uma definição do tempo que faria intervir expliitamente esta grandeza nas leis da natureza, o que ertamente não seria natural nem onveniente. Sendo assim, os dois relógios que oloamos em S1 e S não podem dar ambos uma indiação orreta de "tempo": se medirmos o tempo em S1 om o relógio U, então teremos de medir o tempo em S om um relógio ujo ritmo se apresenta 1 + / vezes mais lento que o de u, quando a omparação dos ritmos se faz om os dois relógios oloados no mesmo loal. Com efeito, quando se medir om tal relógio a frequênia do raio de luz aima onsiderado, no instante em que é emitido em S, enontrar-se-á. v 1 +, igual portanto, omo mostra ( a ), à frequênia v1 do mesmo raio de luz quando hega a S. Daqui deriva a seguinte onsequênia que é de fundamental importânia para esta teoria: Quando medimos a veloidade da luz em diferentes loais do sistema aelerado e isento de ampo gravitaional K', utilizando nessa medição relógios U de idêntia onstrução, obteremos sempre o mesmo valor. Em onformidade om a nossa hipótese fundamental, isso deve aonteer também n sistema K; mas aqui, segundo o que aabamos de dizer, teremos de utilizar relógios diferentes para medir o tempo nos loais em que seja diferente o potenial gravitaional: assim, para medir o tempo num loal em que o potenial gravitaional, tenha o valor relativamente à origem das oordenadas, deveremos utilizar um relógio que apresente quando oloado naquela origem um ritmo ( 1 + / ) vezes mais lento que o do relógio utilizado para medir o tempo na referida origem. Sendo assim, se designarmos por Co a veloidade da luz na origem das oordenadas, então a veloidade da luz,, num loal de potenial gravitaional será dada por (3) = o 1 +. O prinípio da onstânia da veloidade da luz não é, pois, segundo esta teoria, válido na forma que usualmente se pões na base da teoria habitual da relatividade. 4 - Enurvamento dos raios de luz no ampo da gravidade. 7

8 Da proposição aabamos de provar de que a veloidade da luz do ampo da gravidade é função do loal deduz-se failmente, por meio do Prinípio de Huygens, que um raio de luz que se propaga através de um ampo de gravidade deve sofrer um enurvamento. Com efeito, seja uma frente de onda (plano desigual fase) de uma onda luminosa plana no instante t e sejam P1 e P dois pontos desse plano, situados à distânia l um do outro. Estes pontos estão situados sobre o plano do papel, e este foi esolhido por forma a que seja nula a derivada de, e portanto também a de, segundo a direção que lhe é normal. Para se obter a posição da frente de onda orrespondente ao instante t + dt, ou melhor, a da sua interseção om o plano do papel, basta traçar om entros em P1 e P irunferênias de raios respetivamente iguais a 1dt e dt, sendo 1 e as veloidades da luz nos pontos P1 e P, e traçar em seguida a tangente a estas irunferênias. O ângulo de enurvamento do raio de luz ao longo do perurso dt é assim ( ) dt 1 l = ' n dt se onsiderarmos positivo o ângulo de enurvamento quando o raio de luz for enurvado para lado do n' resente. O ângulo de enurvamento por unidade de omprimento do perurso do raio de luz é então 1 1 ' ou, segundo ( 3), igual a '. n n Finalmente, para a deflexão eu um raio de luz sofre sobre qualquer perurso (s) para o lado n' teremos a expressão 1 (4) = ' ds. n Chegaríamos ao mesmo resultado se tivéssemos onsiderado diretamente a propagação de um raio de luz no sistema uniformemente aelerado K 1 e transpuséssemos depois o resultado para sistema K, e deste para o aso de um ampo de gravidade de forma arbitrária. De aordo om a equação (4), um raio de luz que passa na proximidade de um orpo eleste sofre uma deflexão para o lado em que o potenial gravitaional diminui, isto é, para o lado voltado para o orpo eleste, que tem o valor, 1) 8

9 = + 1 k M k M = os. ds =, r = onde k representa a onstante de gravitação, M a massa do orpo eleste, a distânia do raio de luz ao entro do orpo eleste. Um raio de luz que passasse junto do Sol sofreria assim uma deflexão de = 0,83 segundos de aro. A distânia angular entre uma estrela e o entro do Sol apresenta-se aresida deste valor. Como as estrelas fixas das regiões do éu que são vizinhas do Sol se tornam visíveis quando há elipses solares, esta onsequênia da teoria pode onfrontar-se om a experiênia. para o planeta Júpiter, o desvio previsto atinge era de 1/100 do valor que atrás se indiou. Seria de extrema onveniênia que os astrônomos se oupas sem da questão que aqui fia esboçada, ainda que ela se apresente insufiientemente fundamentada om os raioínios anteriores, ou até inteiramente aventurosa. Porque, independentemente de qualquer teoria, levanta-se a questão de saber se os meios de que atualmente se dispõe são apazes de registrar uma influênia dos ampos de gravidade sobre a propagação da luz. Nota do Tradutor: 1) Visto que ~ 1 + l ' n P 9

10 No texto alemão, ertamente por erro tipográfio, em vez da letra l aparee uma vez l aparee uma vez 1, e outra vez a letra. Além disso na fig. não aparee a indiação de n '. 10