Análise Termodinâmica da aceleração de uma massa

Transcrição

1 Análise Termodinâmia da aeleração de uma massa Rodrigo de Abreu Centro de Eletrodinâmia e Departamento de Físia do IST Abstrat We analyse the aeleration of a mass with a simple struture taking o aount Thermodynamis. Two situations are analysed. The first one for the appliation of a loalied fore to a po of the mass. The seond one for the appliation of a fore to the entire mass. The two situations are not equialent. For the first situation we hae an inrease of temperature of the mass, resulting from an ernal damping, during a transient. Resumo A neessidade de onsiderar a termodinâmia em problemas geralmente tratados omo puramente meânios tem dado origem a diersos artigos. A análise termodinâmia da aeleração de uma massa é sobre esta mesma matéria. Atraés de duas análises, mostra-se em que ondições a aeleração de uma massa extensa, uma aixa om um no seu erior, que parte do repouso, neessita de um tratamento termodinâmio. Numa ª análise, a aeleração é prooada por uma força apliada num ponto. A ação desta força altera a distribuição da densidade do e origina um aumento de temperatura. Proa-se que este aumento de temperatura dá origem a um aumento de massa do. Na ª análise onsidera-se que a aeleração é deida a um ampo graitaional onstante. Mostra-se que neste aso a temperatura não aria e desta forma as duas situações analisadas não são equialentes. Da ª análise onlui-se que uma massa submetida a uma força ariáel no tempo dissipa onstantemente energia no seu erior, om aumento de entropia, omo se existisse uma força de atrito erno. A neessidade de onsiderar a termodinãmia Introdução A síntese entre meânia e termodinâmia tem indo a ser feita em diersos artigos [-3]. As duas análises que são aqui apresentadas pretendem ontribuir para eslareer, apliadas a um modelo onreto, aspetos oneptuais deliados: o problema da alidade da meânia do ponto apliada a um orpo extenso []; o problema do signifiado de massa [4] e o problema da ariação da massa própria, apenas omo resultado da ação de uma força - sem emissão ou absorção de partíulas [5]. Considera-se, em ambas as análises, uma massa aelerada, no áuo, por uma força F onstante. Esta massa é onstituída pela massa M de um inóluro rígido, uma aixa, que ontém um, om N partíulas, ada uma das quais om massa m. Demonstra-se que embora a força que atua sobre a aixa e o tenha igual módulo, F, o resultado da ação desta força difere. No º aso, a força está apliada num ponto da aixa, e no º a força atua simultaneamente sobre todas as massas que onstituem a aixa e o.

2 Na ª análise, a aixa é aelerada a partir do repouso por uma força que atua longitudinalmente, apliada a uma das suas bases (Fig.). Esta força que é apliada instantaneamente, aelera a aixa e altera a distribuição da densidade de partíulas no erior que, iniialmente, era uniforme. Determina-se em. a distribuição final de equilíbrio que se estabelee no erior da aixa e, em., alula-se o aumento de temperatura do resultante da aeleração. Este aumento de temperatura está assoiado a um aumento de energia erna e também, mostra-se em., a um aumento de massa. Deste modo se a massa for submetida a uma força que aria onstantemente e brusamente de sentido, omo quando se agita um tubo de ensaio que ontém no seu erior um liquido, dissipa onstantemente energia no seu erior, om aumento de entropia e om aumento de massa - existe uma força de atrito erno resultante das olisões das partíulas do nas bases da aixa. Esta análise mostra que só durante a deformação do é que o onjunto aixa- não é equialente a um ponto material []. Em., numa ª análise, onsidera-se que a mesma aixa está agora suspensa por um fio, na presença de um ampo graitaional onstante. O módulo da força exerida pelo fio no estado de equilíbrio iniial é F, e portanto o peso da aixa e do tem também módulo F. A distribuição do no erior da aixa no estado de equilíbrio iniial é a mesma que no estado final da ª análise. Cortado o fio, a aixa e o sofrem a aeleração do ampo graitaional. Mostra-se que neste aso a temperatura do não aria e desta forma as duas situações analisadas não são equialentes. Neste segundo aso, tudo se passa omo se de um ponto material se tratasse. Embora exista deformação, o entro de massa do onjunto omporta-se omo um ponto material dado o trabalho da força resultante ser a soma dos trabalhos das forças que atuam nos entros de massa dos sub-sistemas e aixa []. Estas duas análises ontradiem algumas ideias orrentes, e.g. as expostas em [].. A ª Análise Consideremos uma massa submetida a uma força F = onst. de aordo om a Fig.. A massa da aixa é M e o é onstituído por N partíulas em que ada uma tem massa m. A aixa iniialmente está em repouso e o está distribuído uniformemente no seu erior. O exterior da aixa é áuo. M Nm F Váuo Fig. - A massa da aixa é M e a massa de ada partíula que se enontra no erior da aixa é m. O número de partiulas é N. A força F é apliada numa das bases da aixa.

3 Quando se aplia a força F o módulo da aeleração a do entro de massa do onjunto aixa - satisfa a equação, em qualquer instante, De () a F () ( Nm M ) F ( M Nm) () em que e são respetiamente a posição e a omponente da eloidade do entro de massa. Para um ponto material o entro de massa oinide om o próprio ponto. Se o ponto tier massa (M+Nm), da equação (), deria-se, omo é bem onheido, que o trabalho da força que atua sobre o ponto é igual á ariação da energia inétia, eq. (), e, portanto, para o entro de massa de um onjunto de pontos materiais, deria-se relação idêntia, embora neste aso o produto da força pelo desloamento do entro de massa não seja o trabalho da força, omo se erá adiante. O produto da força pelo desloamento do entro de massa não é igual ao trabalho da força F, porque o no erior da aixa deforma-se e, onsequentemente, o entro de massa desloa-se no erior da aixa. Desta forma o desloamento do entro de massa não oinide om o desloamento da aixa e portanto o produto da força pelo desloamento do entro de massa não é igual ao trabalho da força. Este trabalho da força F é o produto da força pelo desloamento da aixa, CX. Por outro lado o trabalho da força F é igual à ariação da energia inétia da aixa e do FCX ( M Nm) U (3) dado estarmos a admitir que a ariação da energia erna U do é apenas inétia. Quando o atinge um noo estado de equilíbrio o entro de massa permanee numa posição onstante no erior da aixa, passamos a ter F CX CX F ( M Nm) ( M Nm). (4) A ariação de energia erna do apenas se dá durante o regime transitório em que há deformação, ou seja durante o eralo de tempo em que o entro de massa se desloa no erior da aixa. Das equações () e (3) temos que F (5) ( CX ) Fd U em que d é a distânia perorrida pelo entro de massa durante a deformação no referenial da aixa (Fig.) 3

4 d ( ). (6) / é a posição do entro de massa antes da deformação e é a posição do entro de massa depois da deformação, no referenial da aixa. (Note-se que se o orpo estier em moimento retilíneo e uniforme e se o estier iniialmente om uma distribuição uniforme e se for apliada à aixa uma força de módulo F, mas om sentido ontrário ao moimento, o entro de massa desloa-se de d mas no mesmo sentido do moimento. Deste modo onlui-se que se a força F inerter periódiamente de sentido, o entro de massa desloa-se simétriamente em relação ao entro da aixa om aumento de energia erna do.) d F Fig. - O entro de massa do desloa-se no sentido ontrário ao moimento até atingir uma posição de equilíbrio. O entro de massa da aixa que é rígida está fixo em relação ás paredes da aixa e oinide om o entro geométrio, dado estarmos a admitir que a distribuição de massa da aixa é uniforme. é a ordenada do entro de massa, do onjunto aixa-, no referenial da aixa. é a ordenada no referenial da aixa. A posição do entro de massa no erior da aixa é M Nm g (7) M Nm em que g é a posição do entro de massa do no referenial da aixa. De (6) e (7) temos Nm d ( g ). (8) Nm M 4

5 Se onsiderarmos que o é monoatómio, de (5), temos 3 F( CX ) Fd U N k( T T ) (9) em que k é a onstante de Boltmann e T e T são respetiamente as temperaturas iniial e final do. Da equação (9) temos que a determinação de d em função da temperatura final T permite alular essa mesma temperatura, o que faremos a seguir.. Determinação da temperatura final do O no referenial do entro de massa está submetido a uma aeleração onstante de módulo a que resulta do entro de massa ter uma aeleração onstante de módulo a. Mas no referenial do entro de massa a aeleração tem sentido ontrário ao moimento. É omo se o estiesse submetido a um ampo graitaional de aeleração g= a. Desta forma a densidade de partíulas do no erior da aixa, após o entro de massa deixar de se desloar em relação á aixa, é dada por n kt ( ) n() e () em que é a "altura" medida em relação á base da aixa e n() é a densidade de partíulas para =. De () determinamos o alor de n(), dado que o número de partíulas no erior da aixa é N kt d n() kt n( ) d N n() e e d () n() e N kt d N ( e kt O entro de massa do no referenial da aixa é dado por ) kt () g m n( ) d Nm (3) e de () e (), em g e e kt kt kt (4) 5

6 De (8), (9) e (4) temos kt Nm e kt 3 F ( ) N k( T T ) (5) Nm M kt e De (5), finalmente, determina-se o alor de T. Para N e m onheidos, a temperatura T é tanto maior quanto maior for F e e menor M. Este efeito de aumento de temperatura também se erifia se o orpo estier em moimento e for traado por uma força F. Neste aso também podemos ter aelerações muito eleadas se o orpo tender para o repouso num urto eralo de tempo, numa distânia muito pequena. Por exemplo se a eloidade da aixa for 3 km/h ou seja 83,3 m/s e ariar para ero num entésimo de segundo a aeleração é 833 m/s. Se ariar para ero num milésimo de segundo passa a ser 833 m/s que é uma aeleração da mesma ordem de grandea da que é neessária para imprimir uma eloidade de 8 km/s num segundo, eloidade neessária para oloar uma massa em órbita da terra, a baixa altitude.. A ariação de massa Nas ondições desta ª análise amos demonstrar que a ação da força F implia neessariamente uma ariação de massa do e portanto uma ariação de massa do onjunto -aixa. De fato, a teoria da relatiidade mostra que a energia e a massa estão assoiadas atraés da fórmula de Einstein E = m. Para baixas eloidades, esta fórmula é uma boa aproximação do resultado que se obtém atraés da análise lássia, que na ª análise deu o resultado expresso na equação (3). Essa equação pode portanto ser esrita na forma F CX m m m m ( M Nm) ( ) U (6) em que m e m representam, respetiamente, a massa do onjunto aixa -, em dois estados: após o entro de massa do ter atingido a posição de equilíbrio dada por (4) e, portanto, quando as eloidades dos entros de massa da aixa e do forem ; no iníio da atuação da força F em que a eloidade do entro de massa era ero e portanto m= m. Por outro lado se a eloidade do entro de massa for muito inferior a podemos esreer F CX m ( ) m m m m. (7) Comparando, (7) e (6), pode-se afirmar que darão alores numérios aproximados se m m U (8) 6

7 e m ( M Nm) (9) m em que U ( M Nm ) () ( M U Nm) () Da expressão () onlui-se que, nas ondições da ª análise, a ação de uma força sobre a massa deformáel do fa om que a massa do onjunto -aixa arie de U. Esta ariação resulta da energia erna da massa deformáel ariar durante o regime transitório, até que a distribuição de massa do atinga um noo estado de equilíbrio, imposto pela aeleração no referenial próprio, no referenial do entro de massa. De fato quando a força atua no instante iniial sobre a aixa, não atua imediatamente na totalidade da massa do. As forças exeridas pelo sobre as duas bases da aixa ainda são iguais porque o ainda está distribuido uniformemente. Só quando o atinge a distribuição final de equilíbrio é que a força F atua sobre a massa total do, "sente" a massa total da aixa-. Esta erpretação do oneito de massa é omplementar (alternatia) da erpretação eletromagnétia [4]. Durante esse eralo de tempo, em que o entro de massa se desloa no erior da aixa, o trabalho realiado pela força F em parte ai para energia inétia da aixa, de translação. Em parte para a energia inétia de translação do. E em parte para energia erna do. Desta forma, para um orpo extenso, a ariação de massa resulta do efeito da aeleração, dado que não existe emissão ou absorção de partíulas (omo é impliitamente admitido num artigo reentemente publiado - "the term dm keeps trak, among other things, of emission and absortion of radiation (or partiles)" - sublinhado nosso [5]). Após o atingir a distribuição de equilíbrio o trabalho da força F ai egralmente para energia inétia de translação da aixa e do. É omo se de um ponto material se tratasse.. A ª Análise Consideremos que a aixa está suspensa por um fio num ampo graitaional de aeleração de módulo g (Fig. 3). O alor de F, módulo da força exerida pelo fio, é F ( M Nm) g Fig.3 - Uma aixa de massa M enontra-se presa por um fio que exere uma força (M+Nm)g. N é o peso do que se enontra no seu erior. ( ) Fio F Váuo g 7

8 Neste aso, omo é bem onheido, a força peso de módulo F, é equialente a uma força apliada no entro de massa. Cortado o fio a aeleração do entro de massa é g e o trabalho da força peso é dada por (). A ariação da energia inétia erna do é ero. Embora a distribuição da densidade do no erior da aixa se altere fiando uniforme, a ariação da energia inétia do é ero. De fato temos que durante a deformação do no erior da aixa as energias inétias e poteniais da aixa, EinCX e EpotCX e as energias inétias e poteniais do, Eing e Epotg satisfaem a lei de onseração da energia E incx E potcx E ing E potg onst. (3) ou E incx E potcx E ing E potg. (4) Como após a deformação as eloidades dos entros de massa da aixa e do são iguais à eloidade do entro de massa do onjunto aixa-, temos, de (4) U M Nm ( E potcx E potg ) (5) De (5), omo se demonstra à frente, temos que U (6) (6) resulta da definição de entro de massa e da força F estar apliada no entro de massa. De fato, o entro de massa define-se por M CX Nm ( M Nm) g (7) e, portanto, ( M Nm) g Mg CX N g E potx E potg (8) Como o trabalho da força F é dado por ( M Nm) g ( M Nm) E potx E potg (9) 8

9 dado a força F estar apliada no entro de massa e dado (8). Comparando (9) om (5) temos (6). Conluimos que não há ariação de energia erna. A força peso da aixa atua no entro de massa da aixa. A força peso do atua no entro de massa do. E a força peso resultante atua no entro de massa do onjunto. Neste aso, embora tenhamos um sistema deformáel, o trabalho da resultante das forças exteriores é igual à soma dos trabalhos das forças exteriores que estão apliadas nos entros de massa dos respetios sub-sistemas. Contrariamente ao que se passa na ª análise, o trabalho da força F ontribui egralmente para o aumento da energia inétia do onjunto aixa-, que, neste sentido, se omporta omo se fosse um ponto material. Conlusão O estudo da atuação de forças sobre orpos om estrutura exige duas análises distas, a que se proedeu no presente artigo, e relaionadas om diferentes ondições iniiais, a que se enontram assoiadas ou não regimes transitórios. Na primeira análise, Análise I, estudou-se a ação duma força apliada na fronteira exterior dum orpo. Conluiu-se que quando o orpo se põe em moimento a aeleração duma tal força altera a temperatura no erior do orpo, a sua energia erna e a massa. Isto é onsequênia de a força no iníio da sua ação estar simplesmente apliada na fronteira exterior do orpo, e neessitar de um regime transitório para estender a sua ação ao erior do orpo deformando-o. Quando o orpo pára de se deformar, tudo se passa omo se a força atuasse sobre a massa total do orpo, omo se fosse uma partíula material. Porém o ampo graítio exige uma análise diersa, aqui exposta na Análise II. Conluiu-se que neste aso não há ariação da temperatura do orpo e da sua energia erna, pois omo o orpo sempre estee mergulhado no ampo graítio, a respetia força-peso atuou sempre sobre todas e ada uma das suas omponentes. Este fato mostra a não neessidade de qualquer regime transitório. Tudo se passa omo se de uma partíula material se tratasse. Estas onlusões ontradiem algumas ideias orrentes, e.g. as expostas em []. Assim o oneito de trabalho meânio tal omo é orrentemente leionado tem mais generalidade do que a sua simples apliação ao ponto material e ao orpo rígido em translação pura. Na erdade no aso ontemplado na análise II, embora o orpo não seja rígido, o trabalho da resultante está bem definido e é igual à ariação da energia inétia do orpo. Este omporta-se omo um ponto material. Mas mesmo no aso da Análise I o trabalho da resultante F das forças, também está bem definido pois é o produto da força F pelo desloamento do inóluro. E a partir do orpo estar deformado é igual à ariação da energia inétia do orpo globalmente onsiderado, exatamente omo num ponto material, ou um orpo rígido em moimento de translação. Esta abordagem aplia-se ainda a outras situações om as neessárias adaptações, e.g. um orpo a desliar ao longo dum plano inlinado e no aso dum automóel. 9

10 No aso dum orpo a desliar num plano inlinado a força de atrito (na qual se dee inluir a resistênia do ar) não ondu a um aumento, mas sim a uma diminuição da energia inétia marosópia do orpo, em relação à que teria se não houesse atrito, e a um aumento da energia erna do orpo. Trata-se da ombinação da Análise I om a Análise II. Quando o orpo iniia o seu moimento a força de atrito é uma força exterior que ao ser transportada para o erior requer um regime transitório. Se o plano for sufiientemente extenso e se o regime transitório for sufiientemente urto, quando este termina e deixa de haer deformação a energia erna do orpo é onstante, passando o orpo a omportar-se omo um ponto material. Então o trabalho da força de atrito é em módulo o produto da força de atrito pelo desloamento do orpo, igual ao desloamento do entro de massa. Donde se onlui que o desloamento efetio só é menor que o desloamento do entro de massa durante o regime transitório, pela ação da força de atrito, sem neessitar de quaisquer expliações adiionais. O aso dos automóeis também é eressante. Quando um automóel está em moimento retilíneo e uniforme, isso signifia que o seu motor produ uma força que ontraria a força de resistênia do ar, e a de atrito nas rodas. Donde a força global é nula e a ariação de energia inétia é igualmente nula. Neste aso a ariação da posição do entro de massa do arro, é igual à ariação da posição do arro, e tudo se trata omo se fosse um ponto material. Não existe deformação. Porém no aso de existir aeleração onstante, e após dar-se a deformação, há que ter em onta não só a alteração da energia erna dos pneus, mas também a ariação da energia inétia marosópia de rotação dos pneus. Não se trata de deformação do orpo em regime estaionário [], mas sim de um problema de massas aeleradas, em rotação om ariação de energia erna, problema este a exigir um tratamento próprio. O presente artigo mostra de forma lara a importânia do estudo de regimes transitórios no estudo da meânia dos orpos extensos. Mostra ainda que este estudo força a inlusão da termodinâmia nos estudos de meânia tradiional. Esta ombinação, que exige uma reflexão profunda por parte dos formadores, não pode ser esamoteada. Embora pareça mais omplexa, poderá reelar-se mais eressante aos olhos dos alunos, por eideniar fenomenologia insuspeita. Este é o aminho formatio a seguir. Referênias. Tremoço, João J. e de Sousa, Célia A. "Sobre alguns problemas de meânia do º ano", Gaeta de Físia, Vol. 3, Fas. 4, -5 ().. Abreu, R. (). 3. Abreu, R. (). 4. Abreu, R. (). 5. Abreu, R. (). 6. Abreu, R. (). 7. Penhina, C. Am. J. Phys. 46, 95 (978). 8. Erlihson, H. Am. J. Phys. 45, 769 (977). 9. Arons, A. B. The Physis Teaher 7, 56 (989).. Sherwood, B. A. e Bernard, W. H. Am. J. Phys. 5, (984).. eff, H. S. e Mallinkrodt, A. J. Am. J. Phys. 6, (993).. Mallinkrodt, A. J. e eff, H. S. Am. J. Phys. 6, 356 (99). 3. eff, H. S. Am. J. Phys. 6, (994). 4. Haish, B. Rueda, A. Puthoff, H. Phys Re. A, 49, (994).

11 5. Antippa, A.F. On the onept of kineti energy Can. J. Phys. 78, (). Agradeimentos Agradeço aos Professores A. A. da Costa e Jorge oureiro, do IST, as rítias, sugestões e reisão do texto.