Sobre a teoria quântica da radiação

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1 Revista Brasileira de Ensino de Físia, v. 27, n., p , (2005) Sobre a teoria quântia da radiação (Zum Quantum Theorie der Strahlung) A. Einstein Publiado em Physikalishe Zeitshrift 8, 2 (97) A similaridade formal entre a urva de distribuição romátia da radiação de orpo negro e a distribuição de veloidades de Maxwell é impressionante demais para ter permaneido esondida por muito tempo. De fato, quando em seu importante artigo teório Wien deduziu sua lei do desloamento ρ = ν 3 f( ν ), () T ele, onduzido por esta similaridade, foi além e determinou uma fórmula mais geral para a radiação. É bem sabido que ele obteve a fórmula ρ = αν 3 e hν kt, (2) a qual hoje ainda é reonheida omo orreta no limite de altos valores de ν/t (lei da radiação de Wien). Hoje nós sabemos que não há onsideração baseada na meânia e na eletrodinâmia lássias que possa forneer uma fórmula para a radiação que seja utilizável, mas que na verdade a teoria lássia neessariamente onduz à fórmula de Rayleigh ρ = kα h ν2 T. (3) Quando então Plank em sua investigação fundamental riou sua fórmula de radiação ρ = αν 3 e hν kt, (4) pressupondo elementos disretos de energia, e da qual em rápida seqüênia se desenvolveu a teoria quântia, aquela idéia de Wien que havia onduzido à Eq. (2) naturalmente aiu de novo no esqueimento. Eis que reentemente eu elaborei uma dedução para a fórmula da radiação de Plank[], que se relaiona às reflexões originais de Wien e se apoia no pressuposto básio da teoria quântia; nesta dedução teve papel importante a relação entre a distribuição de Maxwell e a distribuição romátia da radiação de orpo negro. Esta dedução é interessante não apenas porque é simples, mas espeialmente porque paree que ela eluida fenômenos até então inexpliáveis de emissão e absorção de radiação pela matéria. A partir de pouas suposições aera da emissão e absorção de radiação pelas moléulas, as quais são intimamente relaionadas om a teoria quântia, mostrei que moléulas que são distribuídas em estados de equilíbrio térmio ompatíveis om a teoria quântia, enontram-se em equilíbrio dinâmio om a radiação de Plank. Assim, deduzi a fórmula de Plank (4) de uma maneira impressionantemente simples e geral. Isso foi onseqüênia da ondição que a distribuição das moléulas entre seus estados de energia interna, o que é exigido pela teoria quântia, deve ser estabeleida tão somente pela absorção e emissão da radiação. Se as hipóteses introduzidas sobre a interação entre radiação e matéria forem orretas, elas devem forneer mais do que a orreta distribuição das energias internas das moléulas. De fato, na absorção e emissão de radiação, transfere-se momento para as moléulas; isto implia que através da mera interação de radiação om moléulas, estas adquirem uma erta distribuição de veloidades. Claramente, esta distribuição deve ser igual àquela adquirida pelas moléulas através de suas interações mútuas, isto é, ela deve ser igual à distribuição de Maxwell. Deve-se exigir que a energia inétia média (por grau de liberdade) adquirida por uma moléula no ampo de radiação de Plank a uma temperatura T, seja igual a kt/2; isto deve ser verdadeiro independentemente da natureza das moléulas onsideradas e independentemente das freqüênias por elas emitidas ou A presente versão resultou dos seguintes proedimentos: (i) C.A. dos Santos (Instituto de Físia, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, Brasil) traduziu a versão inglesa que apareeu em The Old Quantum Theory, editada por D. Ter Haar (Pergamon, Nova York, 967), p Existe outra versão em The World of the Atom, editada por H.A. Boorse (Basi Books, Nova York, 966), v. 2, p (ii) R. Axt (Departamento de Físia, Estatístia e Matemátia, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, RS, Brasil) e C.A. dos Santos ompararam a versão traduzida om o original em alemão e fizeram as orreções neessárias para garantir a fidelidade ao texto original No presente trabalho são repetidas as onsiderações dadas naquele artigo. Copyright by the Soiedade Brasileira de Físia. Printed in Brazil.

2 94 Einstein absorvidas. No presente trabalho, desejamos mostrar que essa exigênia abrangente é de fato plenamente atendida; através disso nossas simples hipóteses sobre proessos elementares de emissão e absorção ganham novo suporte. Para obter o resultado menionado aima devemos, ontudo, ompletar as hipóteses sobre as quais nosso trabalho anterior foi baseado, visto que as hipóteses anteriores foram onebidas somente om a troa de energia. Surge a questão: a moléula reebe um impulso quando ela absorve ou emite uma energia ε? Consideremos alguns exemplos de emissão, do ponto de vista da eletrodinâmia lássia. Se um orpo emite a energia ε, ele reebe o reuo (momento) ε/ se toda a radiação é emitida na mesma direção. Se, no entanto, a emissão resultar de um proesso espaialmente simétrio, por exemplo ondas esférias, não haverá reuo nenhum. Esta alternativa também desempenha um papel na teoria quântia da radiação. Quando durante uma transição de um estado quântio teoriamente possível para outro, uma moléula reolhe a energia ε a forma de radiação, ou se ela emite essa energia na forma de radiação, então um tal proesso elementar pode ser imaginado omo sendo parial ou ompletamente direionado no espaço, ou também omo um proesso simétrio (não-direional). Então, o que se onstata é que só atingiremos uma teoria onsistente se assumirmos que os proessos elementares são ompletamente direionais; nisso onsiste o prinipal resultado das onsiderações que se seguem.. Hipóteses básias da teoria quântia. Distribuição anônia de estados De aordo om a teoria quântia, uma moléula de determinado tipo, independentemente da sua orientação e movimento translaional, pode assumir apenas um onjunto disreto de estados Z, Z 2,... Z n,... ujas energias (internas) são ε, ε 2,... ε n,... Se moléulas deste tipo formam um gás om temperatura T, a quantidade relativa W n desses estados Z n é dada pela fórmula da distribuição anônia da meânia estatístia: W n = p n e ε n kt. (5) Nesta equação k = R/N é a onheida onstante de Boltzmann, e p n é um número araterístio do n-ésimo estado quântio da moléula, independente de T, que pode ser denominado o peso estatístio desse estado. A fórmula (5) pode ser deduzida a partir do prinípio de Boltzmann ou através de ténias puramente termodinâmias. A Eq. (5) é a expressão da mais ampla generalização da lei da distribuição de veloidades de Maxwell. Os últimos progressos importantes da teoria quântia estão relaionados om a determinação teória dos possíveis estados quântios Z n e seus pesos estatístios p n. Para o que é mais importante na presente investigação, não é neessária uma determinação mais detalhada dos estados quântios. 2. Hipóteses sobre troa de energia através da radiação Sejam, no sentido da teoria quântia, Z n e Z m dois estados quântios possíveis da moléula de um gás, om energias ε n e ε m satisfazendo a desigualdade ε m > ε n. Suponhamos que a moléula esteja em ondições de passar do estado Z n para o estado Z m mediante a absorção da energia radiante ε m ε n ; suponhamos também possível uma transição do estado Z m para o estado Z n mediante emissão dessa mesma energia de radiação. Na radiação assim absorvida ou emitida pela moléula, seja ν a freqüênia araterístia para a ombinação de índies (m, n) em questão. Sobre as leis que determinam esta transição, introduzimos algumas hipóteses resultantes da transferênia das onheidas relações de um ressonador de Plank 2 baseadas na teoria lássia, para as ainda desonheidas relações baseadas na teoria quântia. Emissão espontânea. É bem sabido que um ressonador de Plank emite energia onforme a previsão de Hertz, independentemente se ele é exitado ou não por um ampo externo. Neste sentido, onsideremos a possibilidade de que, sem estímulo externo, uma moléula apresente uma transição do estado Z m para o estado Z n, em razão do que emite energia radiante ε m ε n, om freqüênia ν. Seja dw, a probabilidade de que esta transição oorra no intervalo de tempo dt, dw = A n mdt (A) na qual A n m é uma onstante araterístia da ombinação de índies onsiderados. A lei estatístia onsiderada aqui orresponde à lei de uma reação radioativa, pressupondo-se que no proesso elementar de uma tal reação apenas raiosγ sejam emitidos. Não é neessário assumir que este proesso deva ser instantâneo; é apenas neessário que o tempo em que ele oorre seja desprezível omparado om o tempo durante o qual a moléula permanee no estado Z, Z 2,..., Z n. Proessos de radiação induzida. Se um ressonador de Plank enontra-se em um ampo de radiação, a energia deste ressonador pode ser mudada pela transferênia de energia do ampo eletromagnétio para o ressonador; esta energia pode ser positiva ou negativa, dependendo das fases do ressonador e do ampo osilante. De aordo om isso, introduzimos a seguinte 2 Einstein usa a expressão Plankshen Resonator. Literalmente seria Ressonador de Plank. Embora a expressão não seja usada na literatura brasileira, a manteremos por questões de fidelidade ao original (N.T.).

3 Sobre a teoria quântia da radiação 95 hipótese quântia. Sob a influênia de uma densidade de radiação ρ, de freqüênia ν, uma moléula pode passar do estado Z n para o estado Z m, no que ela absorve a energia radiativa ε m ε n de aordo om a lei de probabilidade dw = B m n ρdt. (B) De modo análogo, que seja possível a transição Z m Z n sob a influênia da radiação em que a energia radiativa ε m ε n será liberada de aordo om a lei de probabilidade dw = B n mρdt. (B ) na qual Bn m e Bm n são onstantes. Denominaremos esses dois proessos de mudança de estado induzida por radiação. Pergunta-se então: qual é o momento transferido para a moléula nessas mudanças de estado em questão? Iniiemos pelos proessos de emissão induzida. Se um feixe de radiação om uma direção bem definida realiza trabalho em um ressonador de Plank, então será extraída do feixe a orrespondente energia. De aordo om a lei de onservação do momento, esta energia transferida orresponde também a uma transferênia de momento do feixe para o ressonador. Este último é então submetido à ação de uma força na direção do feixe. Se a energia transferida é negativa, a ação da força sobre o ressonador também se dará na direção oposta. No aso da hipótese quântia, isto signifia evidentemente o seguinte. Se através da irradiação por um feixe de luz oorrer a transição Z n Z m, então será transferido para a moléula o momento (ε m ε n )/, na direção de propagação do feixe. Na transição induzida Z m Z n o momento transferido tem o mesmo módulo mas está na direção oposta. Para o aso em que a moléula é simultaneamente submetida a diversos feixes de radiação, nós pressupomos que a energia total ε m ε n de um proesso elementar é absorvida de, ou eventualmente adiionada a um desses feixes, de modo que também neste aso, o momento (ε m ε n )/ é transferido para a moléula. No aso de um ressonador de Plank, quando a energia é emitida através de um proesso de emissão espontânea, não há transferênia de momento para o ressonador, visto que de aordo om a teoria lássia a emissão se dá sob a forma de ondas esférias. No entanto, já foi notado que só podemos obter uma teoria quântia onsistente na medida em que estabeleemos que o proesso de emissão espontânea também é direional. Neste aso, em ada proesso elementar de emissão espontânea (Z m Z n ) momento om módulo (ε m ε n )/ é transferido para a moléula. Sendo esta última isotrópia, devemos assumir que todas as direções de emissão são igualmente prováveis. Se a moléula não é isotrópia, hegaremos à mesma onlusão se a variação temporal da direção for aleatória. De resto, devemos fazer uma onsideração similar para as leis estatístias (B) e (B ) para os proessos induzidos, porque aso ontrário as onstantes dependeriam da direção, o que podemos evitar mediante a suposição de que a moléula seja isotrópia ou pseudo-isotrópia (através de uma média temporal). 3. Dedução da lei de radiação de Plank Agora perguntamos por aquela densidade de radiação ρ a qual deve estar presente de modo que a troa de energia entre radiação e moléulas, onforme as leis estatístias (A), (B) e (B ), não perturbe a distribuição de estados das moléulas prevista pela Eq. (5). Para isto é neessário e sufiiente que por unidade de tempo, em média, o número de proessos do tipo (B) seja igual ao número de proessos (A) e (B ) ombinados. Essa ondição, em virtude de (5), (A), (B) e (B ), fornee para os proessos elementares orrespondendo à ombinação de índies (m, n), a equação p n e ε n kt B m n ρ = p m e ε m kt (B n m ρ + A n m). Se, além disso, ρ reser infinitamente om T, o que iremos admitir, então, a relação p n B m n = p m B n m (6) deve manter-se entre as onstantes B m n e B n m. Obteremos então, da nossa equação, a seguinte ondição para o equilíbrio dinâmio: ρ = An m/b n m e ε m εn kt. (7) Isto nada mais é do que a dependênia om a temperatura da densidade de radiação da lei de Plank. Da lei do desloamento de Wien () segue-se imediatamente que e A n m Bm n = αν 3, (8) ε m ε n = hν, (9) onde α e h são onstantes universais. Para obter o valor numério da onstante α, dever-se-ia ter uma teoria exata dos proessos eletrodinâmios e meânios; mas fia-se restrito por ora à situação limite de alta temperatura de Rayleigh, para a qual a teoria lássia é válida. A Eq. (9) retrata, obviamente, a segunda prinipal hipótese da teoria de Bohr para os espetros, a respeito da qual, seguindo a generalização de Sommerfeld e Epstein, já se pode afirmar que pertene àquela parte da nossa iênia onfirmadamente onsistente. Ela também ontém impliitamente a lei da eqüivalênia fotoquímia, omo eu demonstrei.

4 96 Einstein 4. Método para alular o movimento de moléulas no ampo de radiação Vamos voltar agora à investigação dos movimentos exeutados pelas nossas moléulas sob a influênia da radiação. Para isso usaremos um método que é bem onheido da teoria do movimento Browniano, e que já foi por mim utilizado por diversas vezes para fazer álulos no estudo de movimentos em ampos de radiação. Para simplifiar o álulo, esta investigação somente é realizada para o aso em que movimentos só oorrem em uma direção, a direção X do sistema de oordenadas. Além disso, nos ontentaremos em alular o valor médio da energia inétia do movimento progressivo, renuniando assim, à omprovação de que estas veloidades v distribuem-se onforme a lei de Maxwell. Seja a massa M da moléula sufiientemente grande para podermos desprezar altas potênias de v/ em omparação om potênias menores; então, podemos apliar a meânia ordinária à moléula. Além disso, sem qualquer perda real de generalidade, podemos efetuar nossos álulos omo se os estados om índies m e n fossem os únios possíveis para a moléula. O momento Mv da moléula varia de duas maneiras no urto intervalo de tempo. Embora a radiação seja a mesma em todas as direções, em onseqüênia do seu movimento, a moléula sentirá a ação de uma força na direção oposta, devida à radiação. Seja Rv esta força, onde R é uma onstante a ser determinada mais tarde. Esta força levaria a moléula ao repouso, se a irregularidade da ação da radiação não tivesse omo onseqüênia que durante o tempo τ um momento om direção e módulo variáveis fosse transferido para a moléula; esta influênia não-sistemátia, ontraposta à antes menionada, manterá um erto movimento da moléula. Ao final do urto intervalo τ em onsideração, o momento da moléula terá o valor Mv Rvτ +. Como a distribuição de veloidade deve permaneer a mesma ao longo do tempo, esta quantidade deve ser em média igual a Mv; portanto, o valor quadrátio médio de ambas as grandezas, tomadas em um longo intervalo de tempo, ou sobre um grande número de moléulas, devem ser iguais entre si: (Mv Rvτ + ) 2 = (Mv) 2. Como tomamos partiularmente em onsideração a influênia sistemátia de v sobre o momento da moléula, teremos de desprezar a média v. Expandindo o lado esquerdo da equação, obtemos 2 = 2F Mv 2 τ. (0) A média v 2 para nossas moléulas, que é ausada pela radiação de temperatura T, através da sua interação om as moléulas, deve ser igual ao valor médio v 2, o qual é atribuído à moléula de um gás à temperatura T, de aordo om a teoria inétia dos gases. Do ontrário, a presença das nossas moléulas perturbaria o equilíbrio térmio entre a radiação de orpo negro e um dado gás à mesma temperatura. Então, devemos ter 2 Mv2 = kt. () 2 A Eq. (0) torna-se 2 τ = 2RkT. (2) A investigação deve agora proeder assim. Para uma dada radiação [ρ(ν)] podemos alular 2 e R, om nossas hipóteses aera da interação entre radiação e moléulas. Inserindo esses resultados em (2), esta equação será satisfeita se ρ, omo uma função de ν e T, for dada pela equação de Plank (4). 5. Cálulo de R Seja uma moléula do tipo onsiderado, movendo-se uniformemente om veloidade v ao longo do eixo X do sistema de oordenadas K. Desejamos saber o momento médio por unidade de tempo transferido para a moléula, por meio da radiação. Para podermos alular isso devemos avaliar a radiação a partir de um sistema de referênia K, o qual está em repouso relativo à moléula, porque nossas hipóteses sobre emissão e absorção foram formuladas apenas para moléulas em repouso. A transformação para o sistema K tem sido freqüentemente apresentada na literatura, e de modo espeialmente preiso na tese berlinense de Mosengeil[2]. Contudo, a título de ompleteza repetirei aqui as onsiderações simples. Relativamente a K, a radiação é isotrópia, isto é, para a radiação por unidade de volume, na faixa de freqüênia dν e propagando-se em uma direção dentro de um ângulo sólido infinitesimal dk, temos: ρdν dk 4π, (3) na qual ρ depende apenas da freqüênia ν, mas não da direção. Esta dada radiação orresponde, relativamente ao sistema K, a uma outra dada radiação, a qual é igualmente araterizada por uma faixa de freqüênia dν e um erto ângulo sólido dk. A densidade volumétria desta dada radiação é ρ (ν, φ )dν dk 4π. (3 ) Através disto, ρ está definido. Ela depende da direção a qual é definida na forma usual pelo ângulo φ om o eixo X e o ângulo ψ entre a projeção do plano Y Z om o eixo Y. Esses ângulos orrespondem

5 Sobre a teoria quântia da radiação 97 aos ângulos φ e ψ, os quais de modo similar fixam a direção de dk om respeito a K. Antes de tudo, é laro que a mesma lei de transformação válida entre (3) e (3 ) também deve ser válida entre os quadrados das amplitudes, A 2 e A 2, de uma onda plana de direção de propagação apropriada. Portanto, na aproximação que queremos, temos ou ρ (ν, φ )dν dk ρ(ν)dνdk = 2 ν os φ, (4) ρ (ν, φ ) = ρ(ν) dν dν dk dk ( 2ν os φ). (4 ) A teoria da relatividade adiionalmente fornee as seguintes fórmulas, válidas na aproximação desejada aqui, ν = ν ( ν ) os φ, (5) médio transferido para a moléula por unidade de tempo. Contudo, antes de fazer isso, devemos dizer algo mais para justifiar o aminho esolhido. Podemos objetar que as Eqs. (4), (5) e (6) são baseadas na teoria do ampo eletromagnétio de Maxwell, a qual é inompatível om a teoria quântia. Contudo, esta objeção atinge a forma e não a essênia da questão. Qualquer que seja a forma da teoria dos proessos eletromagnétios, ertamente o prinípio de Doppler e a lei da aberração permaneerão válidos, e também as Eqs. (5) e (6). Além disso, a validade da relação de energia (4) ertamente se estende além da teoria ondulatória; pela teoria da relatividade, esta lei de transformação também vale, por exemplo, para a densidade de energia de um orpo tendo uma massa de repouso infinitesimal e se movendo om a (quase-) veloidade da luz. Podemos então reivindiar a validade da Eq. (9) para qualquer teoria da radiação. De aordo om (B), a radiação por segundo orrespondente ao ângulo espaial dk, ou os φ = os φ ν + ν os2 φ, (6) ψ = ψ. (7) De (5), om orrespondente aproximação, segue ν = ν ( + ν os φ ). Portanto, igualmente na desejada aproximação, ρ(ν) = ρ(ν + ν ν os φ ), ρ(ν) = ρ(ν ) + ρ(ν ) ν dν ν os φ. (8) Portanto, temos, devido a (5), (6) e (7) dν dν = + ν os φ, dk dk = senφdφdψ d(os φ) senφ dφ = dψ d(os φ ) = 2ν os φ. Usando essas duas relações e (8), (4 ) transformase em ρ(ν, φ ) = [ ρ(ν) + ν ν os φ ρ(ν) ] ( 3 ν dν os φ ). (9) Com o auxílio de (9) e nossa hipótese aera da emissão espontânea e os proessos induzidos da moléula, podemos failmente alular o momento 3 No texto original, enontra-se (B), provavelmente um erro de omposição (N.T.). Bn m ρ (ν, φ ) dk 4π, induzirá proessos elementares do tipo Z n Z m, desde que a moléula volte ao estado Z n imediatamente após ada um desses proessos elementares. Na realidade, ontudo, o tempo de permanênia por segundo no estado Z n é, de aordo om (5), igual a S p ne ε n/kt, na qual, para abreviar usamos S = p n e εn/kt + p m e εm/kt. (20) De fato, o número desses proessos por segundo é S p ne εn/kt Bn m ρ (ν, φ ) dk 4π. Em ada um de tal proesso elementar, o momento ε m ε n os φ é transferido para o átomo na direção positiva do eixo X. Por aminho análogo, enontramos, usando (B ) 3, que o orrespondente número de proessos elementares induzidos, do tipo Z m Z n, por segundo é S p me εm/kt Bmρ n (ν, φ ) dk 4π, e em ada um de tais proessos elementares o momento ε m ε n os φ é transferido para a moléula. Levando em onta (6) e (9), o momento total por unidade de tempo transferido para a moléula, através de proessos induzidos é então,

6 98 Einstein hν S p nbn m (e εn/kt e εm/kt ) ρ (ν, φ ) os φ dk 4π, na qual a integração é feita sobre todos os elementos de ângulos sólidos. Resolvendo esta última, resulta por intermédio de (9), o valor hν ( 2 ρ S 3 ν ρ ) p n Bn m (e εn/kt e εm/kt )ν ν E ali é a freqüênia novamente designada por ν (em vez de ν ). Esta expressão representa o momento médio total transferido por unidade de tempo para uma moléula movendo-se om a veloidade v. Pois está laro que os proessos elementares de emissão espontânea, os quais oorrem sem a ação da radiação, não têm uma direção preferenial, quando vistos do sistema K, portanto eles em média não podem transferir momento para a moléula. Obtemos daí, omo resultado final da nossa onsideração: R = hν ( 2 ρ S 3 ν ρ ) p n Bn m e ε n/kt ν 6. Cálulo de 2 ( e hν/kt ). (2) Muito mais simples é alular a influênia da irregularidade dos proessos elementares sobre o omportamento meânio da moléula. Pois, no grau da aproximação que aeitamos desde o iniio, podemos basear este álulo numa moléula em repouso. Seja algum evento que ause transferênia de um momento λ para uma moléula, na direção X. Que este momento tenha sinais diferentes e intensidades diferentes em diferentes asos. Contudo, deve valer para λ uma lei estatístia tal em que o valor médio de λ se anula. Sejam então λ, λ 2,... os valores desses momentos, os quais transferem, na direção X, diversas ações independentes entre si sobre a moléula, tal que, ao todo, o momento transferido seja dado por = λ v. Então, quando para os individuais λ v 4 os valores médios, λ v, desapareem, vem: 2 = λ 2 v. (22) Se os valores médios λ 2 v dos momentos individuais são iguais entre si (= λ 2 ), e se l é o número total de eventos de transferênia de momento, então vale a relação 4 No original, aparee λv, ao invés de λ v (N.T.). 2 = lλ 2. (22a) De aordo om nossas hipóteses, em ada proesso elementar, induzido ou espontâneo, o momento λ = hν os φ é pois transferido para a moléula. Aqui φ representa o ângulo entre o eixo X e uma direção esolhida aleatoriamente. Daí resulta, λ 2 = ( ) 2 hν. (23) 3 Como assumimos que todos os proessos elementares que oorrem devem ser entendidos omo eventos independentes entre si, podemos apliar (22a). Neste aso, l é o número de todos os proessos elementares oorrendo durante o tempo τ. Este é o dobro do número de proessos induzidos Z n Z m no tempo τ. Então, l = 2 S p nb m n e εn/kt ρτ (24) De (23), (24) e (22), resulta 2 = 2 ( ) 2 hν p n Bn m e εn/kt ρ. (25) τ 3S 7. Resultados Para mostrar agora que os momentos transferidos pela radiação para as moléulas, onforme nossas hipóteses básias, jamais perturbam o equilíbrio termodinâmio, neessitamos apenas inserir em (25) e (2), os valores alulados para 2 /τ e R, após o que, devido à (4), é substituída em (2) a quantidade ( ρ 3 ν ρ ) ( e hν/kt ) ν por ρhν/3kt. Mostra-se então de imediato que nossa equação fundamental (2) é identiamente satisfeita. As onsiderações ora finalizadas forneem um forte suporte para as hipóteses apresentadas na Seção 2, aera da interação entre matéria e radiação através de proessos de emissão e absorção, ou seja, através de proessos radiativos espontâneos e induzidos. Eu fui onduzido a essas hipóteses através da minha tentativa de postular, do modo mais simples possível, um omportamento quântio das moléulas, o qual seria análogo ao omportamento de um ressonador de Plank na teoria lássia. Resultou ao natural, da hipótese quântia geral para a matéria, a segunda regra de Bohr (Eq. 9), bem omo a fórmula de radiação de Plank. Mais importante, paree-me ontudo, o resultado relativo ao momento transferido para a moléula em proessos radiativos espontâneos ou induzidos. Se uma das nossas onsiderações aera desta transferênia de

7 Sobre a teoria quântia da radiação 99 momento fosse mudada, isto teria omo onseqüênia a violação da Eq. (2); paree difiilmente possível permaneer de aordo om esta relação exigida pela teoria do alor, de outro modo que não seja om base nas nossas suposições. Podemos então ontemplar o seguinte omo ertamente provado. Se ao interagir om uma moléula, um raio de luz provoar absorção ou emissão de uma quantidade de energia hν (proesso de radiação induzido), o momento hν/ é sempre transferido para a moléula, e de tal modo que o momento tem a direção de propagação do raio se há absorção de energia, e a direção oposta se há emissão de energia. Se a moléula é sujeita à ação de raios de luz em diferentes direções, somente um deles partiipará em um proesso induzido elementar; apenas este raio define então a direção do momento transferido para a moléula. Se a moléula sofre uma perda de energia hν sem influênia externa, emitindo esta energia na forma de radiação (emissão espontânea), este proesso também é direional. Não existe emissão em ondas esférias. Durante o proesso espontâneo, a moléula apresenta um reuo igual hν/, em uma direção, a qual no presente estágio da teoria é uniamente determinada pelo aaso. Essas propriedades dos proessos elementares exigidas pela Eq. (2) tornam pratiamente inevitável a onstrução de uma teoria da radiação essenialmente quântia. A fragilidade da teoria reside, de um lado, ela não nos aproxima de uma onexão om a teoria ondulatória, e de outro lado no fato de que ela delega ao aaso o tempo e a direção dos proessos elementares; mesmo assim, eu tenho ompleta onfiança na validade do aminho utilizado aqui. Mais uma observação geral pode ser feita aqui. Quase todas as teorias de radiação de orpo negro são baseadas na onsideração da interação entre radiação e moléulas. Contudo, geralmente nos ontentamos om a análise de troa de energia sem levar em onta troa de momento. Nos sentimos failmente justifiados nesse aspeto porque a pequena intensidade dos momentos transferidos pela radiação implia de que esses momentos são pratiamente desprezíveis em omparação a outros proessos ausadores de mudança do movimento. No entanto, para a disussão teória essas pequenas ações devem ser em tudo onsideradas tão importantes omo a óbvia ação da troa de energia através da radiação, pois energia e momento são fortemente onetados; podemos, portanto, onsiderar que a teoria seja justifiada somente quando for demonstrado que de aordo om ela os momentos transferidos pela radiação para a matéria levem a movimentos tais omo aqueles requeridos pela teoria do alor. Referênias [] Verh. D. Deutshen physikal. Gesellshaft Verh. 3/4, S. 38 (96). [2] K. Von Mosengeil, Ann. d. Physik 22, 867 (907).