10. TEORIA DAS PROBABILIDADES. Quadro 1: Motivação

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1 10. OR DS ROBBLDDS Quadro 1: Motivação

2 Figura 1: Gráfio de pontos. Figura 3: olígono de frequênias.

3 Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma. teoria das probabilidades estuda os modelos de probabilidades, definidos pela função fx, para os diferentes proessos ou fenômenos em estudo CONCOS BÁSCOS a xperimento leatório é um experimento no qual: i todos os possíveis resultados são onheidos; ii resulta num valor desonheido, dentre todos os resultados possíveis; iii pode ser repetido em ondições idêntias. b spaço mostral é o onjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório. É denotado por.

4 ode ser: - Disreto Finito: formado por um onjunto finito de pontos; nfinito: onjunto infinito e enumerável de pontos; - Contínuo formado por um onjunto não enumerável de pontos. Um vento é um subonjunto do espaço amostral, assoiado a um experimento. É denotado por letras maiúsulas:, B,,... d Um vento Complementar: o evento omplementar de é dado pelo onjunto dos pontos que pertenem ao espaço amostral mas não pertenem a. =. É denotado por. e Dois eventos e B são mutuamente exlusivos, ou disjuntos, se a interseção entre eles é vazia. B =. xemplos: Um dado equilibrado é lançado e seu número observado. O espaço amostral é: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Sejam = O número observado é menor ou igual a 4, então, = { 1, 2, 3, 4 } B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 } C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 }

5 ntão, temos B = { 2, 4 } e C = { 1, 3 } B C = B e C são disjuntos B = C, pois B C = f vento elementar Seja um espaço amostral finito = { 1, 2,..., N }. ntão os eventos elementares são formados por um únio elemento do espaço amostral, sendo assim, um subonjunto unitário. or exemplo: = { 1 }. No lançamento de um dado equilibrado: 1 = { 1 }, 2 = { 2 }, 3 = { 3 }, 4 = { 4 }, 5 = { 5 }, 6 = { 6 } são eventos elementares DFNÇÕS D ROBBLDD

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7 xemplos: a xperimento: numa linha de produção, onta-se o número de peças om defeito, por lote; = { 0, 1, 2,..., N }, N = tamanho do lote ventos: 1 = todas as peças são boas 1 = { 0 } 2 = no máximo ino peças om defeito 2 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } b xperimento: numa indústria são ontados os itens produzidos até a oorrênia de um item defeituoso; B = { 1, 2, 3, 4,... }, ou ainda B = N*, N* = N { 0 } ventos: B 1 = o item defeituoso oorre até a 10ª peça produzida B 1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } B 2 = são produzidas no mínimo 200 peças antes do item defeituoso B 2 = { X N* X > 200 } xperimento: Uma lâmpada é fabriada e, num ensaio, é anotado o tempo semanas até que ela se queime; C = { t R t 0 } ventos: C 1 = a lâmpada queima antes de ompletar 720 horas 4 sem. C 1 = { t < 4 } C 2 = a lâmpada dura pelo menos 1 ano 52 semanas C 2 = { t R t 52 } Obs: Neste aso o espaço amostral é ontínuo.

8 10.3. ROBBLDDS M SÇOS FNOS Seja um evento assoiado a um espaço amostral disreto e finito, então número de pontos favoráveis a. número total de pontos é a probabilidade de oorrênia do evento e deve satisfazer: a 0 1; b Ω 1; Se e B são disjuntos, então, B B. Seja a função ard que retorna o número de elementos do onjunto, então, a definição aima pode ser esrita omo: ard. ard Obs: Na teoria dos onjuntos, ard é a abreviação de ardinalidade.

9 ropriedades de robabilidade i Se é o espaço vazio, então: vazio = = 0 ii espaço amostral todo = = 1; iii Se é o evento omplementar de, então: 1 iv Se e B são eventos quaisquer, então: B B B Métodos de Contagem Quando o espaço amostral é equiprovável, ou homogêneo, o álulo de probabilidades se resumo nas ontagens dos elementos de ada um dos eventos e do espaço amostral. Desta forma, é importante o domínio de algumas ténias de ontagens. i ermutação: quando temos de permutar n elementos em n posições diferentes n, n n! n! n n 1 n 2 1, n! é o fatorial de n

10 ii rranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k destes elementos e permutá-los n! n k n n 1 n 2 n k 1. n k!, iii Combinação: quando temos de esolher k, dentre n elementos distintos, sem onsiderar a ordem C n, k n n! ; note que k k! n k! n, k Cn, k. k, k xemplos: <a serem apresentados em sala aula>

11 10.4. ROBBLDD CONDCONL NDNDÊNC Sejam e B eventos quaisquer tais que 0, então a probabilidade de B ondiionada ao evento é definida por B B. Lê-se: probabilidade de B dado NDNNDÊNC NR VNOS Dois eventos e B são independentes se: B B RGR MULLCV DS ROBBLDDS Da probabilidade ondiional podemos esrever a probabilidade da interseção entre e B por B B ou B B B, se e B forem independentes, então B B.

12 xemplos: Considere as informações sobre a olaboração om a oleta seletiva do lixo residenial em pesquisa realizada om as 200 famílias da idade de UFSCarCity. Na tabela são apresentadas as famílias que olaboram e as que não olaboram pelo nível de esolaridade do hefe da família. solaridade Colabora om a oleta seletiva otal SM NÃO nsino Fundamental F nsino Médio M Superior S otal Uma família é sorteada ao aaso, qual é a probabilidade de que: a Colabore om a oleta seletiva? 126 SM b O hefe da família tenha nível de esolaridade no ensino médio? 90 M O hefe da família tenha nível de esolaridade superior e não olabore om a oleta seletiva? 8 S NÃO

13 d O hefe da família tenha nível de esolaridade no ensino fundamental ou olabore om a oleta seletiva? F SM F SM e Sabendo que o hefe da família esolhida tem nível de esolaridade no ensino médio, qual é a probabilidade de que não olaborem om a oleta seletiva? 16 / NÃO M / f Se o hefe da família não tem nível de esolaridade superior, qual é a probabilidade de que a família olabore om a oleta seletiva? [SM F M] [ SM M SM F] F M / [ SM F M] /

14 Um aluno responde a um teste de múltipla esolha om quatro alternativas, sendo uma só orreta. probabilidade de que saiba a resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, vai hutar. Definindo: = o aluno aerta a questão e S = o aluno sabe a resposta. a Qual a probabilidade dele aertar a questão? b Se ele aertou a questão, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta? a Qual a probabilidade dele aertar a questão? = aertar sabendo ou aertar hutando = aertar sabendo +aertar hutando = S S + S S = = b Se ele aertou a questão, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta? S 0.3 S ** sse resultado é onheido omo teorema de Bayes.

15 10.5. eorema de Bayes Considere um espaço amostral dividido em duas partes 1 e 2 tais que i 1 2 = ii 1 2 = ; Ω ntão 1 e 2 formam uma partição de Ω. Considere, agora, um evento oorrendo sobre a partição de. Ω

16 ssim, podemos esrever omo sendo: 2 1. ntão, a probabilidade de oorrênia de é alulada por: da regra multipliativa, temos que: O resultado aima é onheido omo lei da probabilidade total. m outras palavras, temos que a probabilidade de oorrênia de é dada pela soma das probabilidades de nas partes de, ponderadas pelas probabilidades de oorrênia destas partes. Considerando a partição de e sabendo que oorreu o evento, desejamos alular a probabilidade de que tenha oorrido uma pate espeífia J da partição. ntão, o eorema de Bayes define esta probabilidade por J J J J, J = 1, 2. odemos, ainda esrever o resultado aima omo: J J J, J = 1, 2. sse resultado se deve ao Revendo nglês homas Bayes num trabalho publiado em 1763, e reebe o seu nome em sua homenagem.

17 xemplo 1 Numa população adulta 40% são homens e 60% mulheres. Sabe-se, ainda, que 50% dos homens e 30% das mulheres são fumantes. Determine: a probabilidade de que uma pessoa esolhida ao aaso nesta população seja fumante. artição do espaço amostral: sexo = { H, M }. H = { a pessoa esolhida é do sexo masulino homem } H M = { a pessoa esolhida é do sexo feminino mulher } M ventos: F = { a pessoa esolhida é fumante }; F = { a pessoa esolhida não é fumante }. Como F H e F M 0. 30, então, pela regra da probabilidade total: F F e H F e M F F H F M F F H H F M M F F 0.38 b Sabendo que a pessoa esolhida é fumante, qual a probabilidade de que seja um homem? probabilidade de que seja um homem sabendo que é um fumante é determinada pelo teorema de Bayes:

18 H F H F F H F F H H F H F probabilidade de ser um homem, dado que é fumante, é Uma forma onveniente para se representar as probabilidades aima é através da arvore de probabilidades, nas quais representamos as probabilidades das partes e probabilidades ondiionais em ramos, onforme Figura Nesse esquema, as probabilidades onjuntas das interseções são obtidas perorrendo-se os ramos e multipliando-se as probabilidades. Figura 10.1: Regra multipliativa em diagrama de árvore para o exemplo 1.

19 xemplo 2 Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infetadas por um vírus ausador de uma doença muito grave. Um teste para deteção do vírus é efiiente em 99% dos asos nos quais os indivíduos são infetados, mas, resulta em 2% de resultados positivos para os não infetados falsos positivos. Se o teste de uma pessoa dessa população der resultado positivo, qual a probabilidade de que ela esteja de fato infetada? Definindo-se: = grupo das pessoas infetadas; = grupo dos não infetados; = o resultado do teste é positivo; = o resultado do teste é negativo; tem-se as probabilidades: orém, deseja-se alular a probabilidade: que, pela regra da probabilidade ondiional, é dada por e. ela regra do produto e pela lei da probabilidade total, enontramos fazendo: e e

20 ortanto, a probabilidade de que o resultado de um teste seja positive é de Sabendo que uma pessoa da população fez o teste o teste e o resultado foi positivo, qual é a probabilidade de que realmente seja infetada? elo teorema de Bayes, temos: Qual seria a onfiança no teste se o resultado fosse negativo, ou seja, qual a probabilidade de o teste sendo negativo a pessoa de fato não seja infetada? Deseja-se:, mas

21 Como: então, , portanto, se o teste for negativo a pessoa pode se sentir segura. Na Figura 10.2 é apresentada o diagrama de árvore para o resultado aima. Figura 10.2: Regra multipliativa em diagrama de árvore para o exemplo 2.

22 VLÇÃO D SS DGNÓSCOS M SÚD Considere que estamos interessados na deteção de uma doença D, ssim sendo, definiremos: D : evento em que uma pessoa tem a doença; D : evento em que uma pessoa não tem a doença. É laro que D e D são mutuamente exlusivos, ou seja, D D Ø. Considere, agora, um teste para a deteção da doença. ntão, definimos os eventos: : resultado positivo do teste; : resultado negativo do teste. Duas medidas importantes na avaliação de testes diagnóstios são a sensibilidade e espeifiidade, que são as probabilidades deste aertar no diagnóstio: i Sensibilidade: definida pela probabilidade de um teste resultar em positivo, dado que a pessoa tem a doença D D D ii speifiidade: definida pela probabilidade de um teste resultar em negativo, dado que a pessoa não tem a doença D D D prevalênia da doença D é definida omo lei da probabilidade total D D D.

23 Um teste diagnóstio pode resultar em erro, diagnostiando omo positivo alguém que não tem a doença ou, diagnostiando omo negativo alguém que tem a doença. s probabilidades de erro são, então, definidas por: D robabilidade de um teste resultar em positivo, dado que a pessoa não tem a doença. Reebe o nome de robfalso positivo. * falso positivo = 1 espeifiidade D robabilidade de um teste resultar em negativo, dado que a pessoa tem a doença. Reebe o nome de robfalso negativo. * falso negativo = 1 sensibilidade Duas outras medidas são importantes na avaliação de testes diagnóstios. Os valores preditivos positivo e negativo, definidos por: D robabilidade de que uma pessoa ujo resultado do teste deu positivo tenha a doença Reebe o nome de Valor preditivo positivo. D robabilidade de que uma pessoa ujo resultado do teste deu negativo não tenha a doença Reebe o nome de Valor preditivo negativo.

24 Reunindo os dados numa tabela de dupla entrada, teremos: resença da Resultado do este otal Doença D a b a + b D d + d otal a + b + d n Desta forma: i Sensibilidade: b a a D ii speifiidade: d d D iii robfalso positivo: d D iv robfalso negativo: b a b D

25 xemplo 3 Um teste foi realizado para se avaliar a ompetênia dos ténios que analisaram exames apaniolau, na deteção de âner do olo do útero, em 306 laboratórios. Os resultados foram: âner = falso negativo âner = , ou seja, a sensibilidade do apaniolau foi de Note que âner = 1 âner. inda: não âner = falso positivo não âner = , ou seja, a espeifiidade do apaniolau foi de prevalênia da doença foi onsiderada omo 8,3 por 10 mil mulheres, segundo uma publiação da área da saúde. Logo: âner Desta forma: não âner 1 âner

26 ara alular os valores preditivos, vamos apliar o teorema de Bayes: i valor preditivo positivo: V âner âner VN Mas: âner âner âner âner âner não âner não âner ssim, o valor preditivo positivo do teste de apaniolau é de: V âner ste resultado india que, para ada 1 milhão de testes om apaniolau positivos, espera-se 373 asos verdadeiros de âner no olo uterino. pesar do apaniolau ter sensibilidade e espeifiidade altas, tem um valor preditivo positivo baixíssimo.

27 ii valor preditivo negativo: VN VN Mas: não âner não âner não âner não âner não âner âner âner não âner não âner ssim, o valor preditivo negativo do teste de apaniolau é de: VN não âner ste resultado india que, para ada 1 milhão de mulheres om apaniolau negativos, espera-se que não tenham âner no olo uterino. pesar do apaniolau ter sensibilidade e espeifiidade altas e um baixíssimo valor preditivo positivo, tem um valor preditivo negativo muito alto, indiando que o apaniolau é um exelente teste para exlusão da suspeita de âner quando a mulher não tem a doença.

28 xemplo 4 Um estudo sobre a inidênia de tuberulose foi realizado om 1820 indivíduos, dos quais, 30 tinham tuberulose. odos os paientes foram examinados om raio X do tórax que indiou 73 resultados positivos, ou sejam, dos 1820 exames, 73 deram positivo para tuberulose. Os dados finais do estudo são apresentados na tabela: uberulose RX Raio X RX otal _SM _NÃO otal Definindo os eventos: D = o indivíduo tem a doença tuberulose e D = o indivíduo não tem a doença. De um levantamento de 1987, tem-se que a prevalênia da tuberulose é D indivíduo doente Logo, D indivíduo sem a doença ortanto: i Sensibilidade: 22 RX D ii speifiidade: RX D

29 51 iii robfalso positivo: RX D iv robfalso negativo: RX D v Valor preditivo positivo: D RX V RX D D D RX RX Mas: RX ntão: V Note que, a priori, a probabilidade de que um indivíduo seleionado aleatoriamente da população, tenha tuberulose é de No entanto, após a realização do raio X, om resultado positivo, esse mesmo indivíduo tem probabilidade de ter a doença. sta probabilidade é hamada de probabilidade a posteriori. Como / = 25.7, a probabilidade de que um indivíduo om resultado positivo do raio X tenha tuberulose é 25/7 vezes maior do que uma pessoa esolhida aleatoriamente da população.

30 vi Valor preditivo negativo: RX D RX D D RX RX D VN Mas: RX ntão: VN