da carruagem cujo comprimento, do seu ponto de vista, é L

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1 ula Prátia Problema O, no interior de um vagão de omboio, emite um sinal dmita que um observador eletromagnétio a partir do ponto médio do ompartimento ssim, este observador nota que o sinal emitido hega simultaneamente às duas extremidades e e e da arruagem ujo omprimento, do seu ponto de vista, é L Para um outro observador O, na estação de omboios, que vê o omboio a desloar-se om uma veloidade v (onstante) no sentido positivo do eixo x, o sinal emitido por O não hega simultaneamente às duas extremidades (omo observado por O ) Com efeito, o sinal emitido por extremidade e e num instante (posterior) t à extremidade e O, hega do ponto de vista de O num instante (a) Usando um diagrama de Minkowski, mostre que sendo L o omprimento do vagão do ponto de vista do observador na estação se tem vl t t t v onde representa a veloidade da luz (b) Explique, om base na experiênia onsiderada, omo traça os eixos x, t e x, t no diagrama de Minkowski () Mostre, ainda, que t à v L L Solução: experiênia aqui onsiderada enontra-se representada no diagrama de Minkowski seguinte Fotónia Página

2 linha de universo e é representada por x vt Já as linhas de universo m e e são, respetivamente, representadas por x vt L e por x vt L O sinal eletromagnétio que liga os aonteimentos M a é dado pela equação x t x M Já o sinal eletromagnétio que liga os aonteimentos M a é dado pela equação ssim, o instante t é tal que L L L t vt v t t v Por sua vez, o instante t é tal que L L L t vt L v t t v Logo, infere-se que L L L v v L t t t t v v v v x t xm Como é óbvio, tem-se x L M O eixo t orresponde à «equilo» x do sistema de oordenadas S, ie, à linha de universo e x vt no sistema de oordenadas S Ou seja: Fotónia Página

3 Eixo t x x t t x tan x O eixo x orresponde à «equitemp» t do sistema de oordenadas S, ie, é a «equitemp» paralela à «equitemp» que liga os aonteimentos a e que ontém o aonteimento x x quando t t (ie, a origem omum dos dois sistemas de oordenadas S e S ) Do ponto de vista de S, tem-se então L L L x vt t, t t x v L L L L x vt L t L, t t x L v Logo, a equação que desreve a «equitemp» (em S ) que liga estes dois aonteimentos é: t p x q t t L t p x q p q t p x t p x q x x L t x Esta última equação prova inequivoamente que, de fato, a «equitemp» de S que passa na origem dos dois sistemas de oordenadas é dada por t x ssim: Eixo x t x t t x t tan x Note-se que existe, aqui, uma invariânia Como x, t L e x L, a (seguinte) invariânia do intervalo permite alular t : L L t x t x t t Fotónia Página 3

4 nalogamente, tem-se: t x t x Neste aso, om e são simultâneos em S, obtém-se L t t e x, pelo que: L 3 t x Logo, omo x L L, t, daqui resulta, então, que: L 3 x t Em síntese: S S L L L x, t x, t S L L L x L, t t x, t S Mas então, vem: L L 3 t x L Esta última equação permite, agora, determinar a relação entre L e L Vem suessivamente Fotónia Página 4

5 L L 3 L L L 4 L donde se infere, por fim, que L L QED Era também possível hegar a este mesmo resultado de uma forma alternativa Vejamos omo interseção da «equitemp» t x (ie, o eixo x ) om a linha de universo e x vt L x t L t x L, permite definir um novo aonteimento Q, tal que L L x x L x t x Q Q Q Q Q Porém, do ponto de vista do referenial S, o aonteimento Q oorre em x L no instante t Ou seja: L L Q x L, t x, t S Q Q Q S Q Logo, de aordo om a invariânia do intervalo, vem Q Q Q Q t x t x ssim, substituindo nesta última equação as oordenadas do aonteimento Q nos dois sistemas de oordenadas, obtém-se: L L L L L L Fotónia Página 5

6 L L É laro que também se poderia inferir a ontração do espaço por outras vias Mas, omo exemplo, fia aqui apenas referido o proesso que se baseia na invariânia do intervalo Problema Deduza a «transformação de Lorentz» (trata-se, mais propriamente, de um «boost»), na onfiguração habitual dos eixos, admitindo omo ponto de partida que se tem x x vt Nesta hipótese admite-se, ainda, que existe uma função v a determinar Esta função depende do módulo da veloidade não pode depender do respetivo sentido ou orientação (porquê?) Repare que esta hipótese se baseia na seguinte onsideração: v x x vt x t, Note que a ondição x define o eixo t (que orresponde a uma «equilo» em S ) Da mesma forma, a ondição x define o eixo t (que orresponde a uma «equilo» em S ) pliando, então, o primeiro postulado, esreva também v v : x x vt Novamente, aqui, isto signifia que x x vt x t Considere, então, a seguinte experiênia oneptual: Um feixe de luz propaga-se, ao longo do eixo x, de aordo om a equação x t Logo, de aordo om o segundo postulado, também no referenial S (onstituído pelos eixos x e t ), a trajetória desse feixe de luz terá de ser desrita pela equação x t pois Nestas irunstânias, prove que v Finalmente, a partir das duas equações Fotónia Página 6

7 x x vt x xvt e, tendo em onsideração que v, mostre que v t t x v t t x Note que a ondição v t t x t x permite definir o eixo x (que orresponde a uma «equitemp» em S ) nalogamente, a ondição v t t x t x permite definir o eixo x (que orresponde a uma «equitemp» em S ) s equações de transformação podem, portanto, ser esritas na forma t t t t, x x x x Verifique que det det Construa, então, o orrespondente diagrama de Minkowski notando que tan onde tem uma interpretação geométria preisa Qual é? Fotónia Página 7

8 Problema 3 Prove a onstrução do diagrama de Minkowski (a que hegou no problema anterior) Porém, neste problema, não deve partir de quaisquer onsiderações analítias (ie, não deve formular, a priori, qualquer hipótese aera da forma analítia do «boost» de Lorentz) Deve, essenialmente, usar o segundo postulado (segundo o qual a veloidade da luz, no váuo, é uma onstante universal, independente, portanto, não só do referenial em que é medida mas também da ondição dinâmia da fonte emissora) asiamente o que se pretende é expliar a onstrução dos eixos t e x no referenial S onstituído pelos eixos t (vertial) e x (horizontal) Ou seja: Prove que o ângulo entre os eixos t e t é igual ao ângulo entre os eixos x e x, tendo-se v tan Então, agora, usando o diagrama de Minkowski, deduza as equações do «boost» de Lorentz: t t x x Note que pode (e deve) usar o que se demonstrou no Problema 7 da primeira aula de problemas Problema 4 À equação pode fazer-se orresponder a identidade hiperbólia osh sinh, desde que se defina osh sinh tanh Fotónia Página 8

9 O parâmetro, denominado rapidez, pode também ser determinado a partir da veloidade normalizada Como, pode-se esrever tanh ln Quando, ; quando, Tem-se para Notando, então, que exp osh sinh exp osh sinh prove que t x e t x t x e t x Use este resultado para mostrar que, numa omposição de dois «bosts» em adeia se tem Usando este resultado, em onjunto om a identidade tanh tanh tanh, tanh tanh demonstre que a lei da omposição relativista de veloidades é Fotónia Página 9

10 u u u uu em que u u u tanh, tanh, tanh Determine, então, a veloidade u para o aso em que u e u, om Verifique que o resultado obtido é independente de e que, portanto, é possível levantar a indeterminação resultante de onsiderar o aso u e u (basta fazer ) Problema 5 Na sequênia do problema anterior, onsidere que u tanh tanh Faça, ainda, exp Nestas ondições, prove que n inrementos de veloidade u, em relação ao referenial instantâneo de repouso, produz uma veloidade final u, n n Reorda-se, aqui, que tanh e e e e e e Para o aso partiular em que 5 e n determine Solução: , 3, Fotónia Página

11 Problema 6 Interprete geometriamente, usando um diagrama de Minkowski, quer a dilatação do tempo quer a ontração do espaço Considere os quatro asos que se desrevem a seguir ) Um observador, em S, mede um intervalo de tempo T O relógio que mede T está em movimento do ponto de vista do referenial S, mas enontra-se na «equilo» x em S Questão: Qual é o orrespondente intervalo de tempo T que um outro observador (que vê o primeiro relógio em movimento) mede em S? ) Um observador, em S, mede um omprimento L de uma régua régua a medir está em repouso no referenial S Questão: Qual é o orrespondente omprimento L que um outro observador (que vê a régua em movimento) mede, em S, na sua «equitemp» x? 3) Um observador, em S, mede um intervalo de tempo T O relógio que mede T está em movimento do ponto de vista do referenial S, mas enontra-se na «equilo» x em S Questão: Qual é o orrespondente intervalo de tempo T que um outro observador (que vê o primeiro relógio em movimento) mede em S? 4) Um observador, em S, mede um omprimento L de uma régua régua a medir está em repouso no referenial S Questão: Qual é o orrespondente omprimento L que um outro observador (que vê a régua em movimento) mede, em S, na sua «equitemp» x? Neste problema é importante que entenda duas oisas: i) que, para estudar a dilatação do tempo, segundo a qual T T, é neessário que o relógio que mede T (onde o relógio se enontra em repouso) se enontre numa dada «equilo» do referenial respetivo; ii) que, para estudar a ontração do espaço, segundo a qual L L, é neessário que a medida de L (onde a régua está em movimento) seja feita sobre uma «equitemp» do referenial respetivo Note, por fim, que todas as medidas de tempo têm de ser feitas numa «equilo» do referenial em questão; e que todas as medidas de espaço têm de ser feitas, por sua vez, numa «equitemp» do referenial em questão Sublinha-se que estes dois efeitos a ontração do espaço e a dilatação do tempo resultam da relatividade do oneito de simultaneidade ssim, é fundamental que entenda esta relatividade em termos gráfios ie, num diagrama de Minkowski É, também, pedagogiamente aonselhável que onsiga formular estes dois efeitos em termos analítios ie, em termos das equações que desrevem o «boost» de Lorentz Fotónia Página

12 Problema 7 Uma régua de omprimento L move-se, em relação ao referenial do laboratório, om uma inlinação em relação à direção do movimento relativo Determine o omprimento L e a sua inlinação medidos no referenial do laboratório Considere L m, 45 e v 8 Solução: Tem-se tan tan e L L sin os Para os valores numérios onsiderados, vem: , e L m Problema 8 Um aluno está a resolver um exame esrito uja duração, medida pelo relógio do professor, deve ser de hora O professor, que se move em relação ao aluno om uma veloidade v 8, emite um sinal eletromagnétio quando o seu relógio india que o exame terminou O aluno pára de esrever quando este sinal o alança Quanto tempo teve o aluno para resolver o exame? Solução: O aluno teve 3 horas para resolver o exame Note que este problema não é, apenas, uma apliação direta da dilatação do tempo Há que ter em onsideração o tempo de propagação do sinal eletromagnétio Por essa razão, sendo T o tempo do exame no referenial do professor, é T T, 3 o tempo que o aluno teve, efetivamente, para resolver o exame Como e tanh tanh ln Portanto, tem-se exp exp ln, podemos sempre esrever Fotónia Página

13 Problema 9 Uma régua tem omprimento L no referenial que a observa a desloar-se, segundo a direção do movimento, om veloidade u Determine o omprimento L da régua no referenial S que se desloa, em relação a S, om veloidade v Solução: O omprimento L é dado por u L L, u, u u u u, em que u é a veloidade da régua medida no referenial S Porém, omo se pode esrever que u v u, uv tem-se u uv v, v u v pelo que, v L L uv Problema O esritor franês Pierre oulle (9-994) publiou, em 963, um romane intitulado «La Planète des Singes» Este romane de fição ientífia deu origem a vários filmes: i) uma primeira versão, «Planet of the pes», de 968, realizada por Franklin J Shaffner om Charlton Heston no prinipal papel; ii) uma segunda versão, «Planet of the pes», de, realizada por Tim urton; iii) uma tereira versão, «Rise of the Planet of the pes», de, realizada por Rupert Wyatt Está também prevista para 4 uma nova versão, intitulada «Dawn of the Planet of the pes», desta vez realizada por Matt Reeves asiamente, Pierre oulle explora o onheido «paradoxo» dos gémeos ou «paradoxo» dos relógios Disuta pormenorizadamente este «paradoxo» em termos da SR (speial relativity) de Einstein Fotónia Página 3

14 Problema No plano eulidiano um ponto Px, y pode ser determinado pelo vetor P O OP, OP r xe ye Neste aso a base do espaço é, E e e em que e e, e e e ssim, tem-se, e e e r r r x y que é invariante numa rotação Mostre que, no plano hiperbólio, orrespondente ao espaço de Minkowski, um aonteimento x, t, tem de ser determinado pelo vetor O O, O r t e xe Porém, neste aso, a base do espaço é, H e e em que e e, e e e, Logo, neste aso, tem-se e e e r r r t x que é invariante num «boost» Explique porquê Classifique, neste segundo aso, os vetores r em três lasses distintas: r r r vetor do tipo tempo ( time like) vetor do tipo luz ( light like) vetor do tipo espaço ( spae like) Em que lasses se enquadram os seguintes vetores: r e e, r e e, r 3 e e? 3 3 Diga se, neste segundo aso (plano hiperbólio), poderia existir uma definição alternativa para a métria e e e e e e e e Fotónia Página 4