SOBRE O CONCEITO DE SIMULTANEIDADE. Propagação e Antenas Prof. Carlos R. Paiva UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA

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1 04 DEEC Área Científia de Teleomuniações Instituto Superior Ténio Propagação e ntenas Prof Carlos R Paiva SOBRE O CONCEITO DE SIMULTNEIDDE UM INTRODUÇÃO À TEORI D RELTIVIDDE RESTRIT

2 essênia da teoria da relatividade restrita, formulada pela primeira vez por lbert Einstein em 905, radia na revisão do oneito de simultaneidade De aordo om a transformação de Galileu, o tempo é universal e absoluto, ie, não depende do referenial de inéria em que é medido teoria da relatividade restrita (speial relativity) de Einstein, porém, parte de dois postulados que de aordo om a meânia newtoniana são, pura e simplesmente, irreoniliáveis (ie, ontraditórios entre si) P PRIMEIRO POSTULDO: s leis da físia são as mesmas em todos os refereniais de inéria [NOT: Este postulado é onheido omo Prinípio da Relatividade Um referenial de inéria é um sistema de oordenadas não aelerado] P SEGUNDO POSTULDO: veloidade da luz, no váuo, é uma onstante universal: tem o valor m s em todos os refereniais de inéria [NOT: O valor numério de é, desde 983, um valor exato por definição De aordo om o SI (em franês: le Système International d unités), o metro passou a ser definido omo a distânia perorrida pela luz, no váuo, numa fração de do segundo] Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página

3 Sejam S e S dois refereniais de inéria (ou sistemas de oordenadas ineriais) em movimento relativo O sistema de oordenadas espaiais de S é onstituído pelos três eixos X, Y, Z O sistema de oordenadas espaiais de S é onstituído, por sua vez, pelos três eixos X, Y, Z Os eixos são, respetivamente, paralelos ie, X X, Y Y e Z Z Designemos por v a veloidade relativa entre esses dois refereniais S e S dmitamos, ainda, que o movimento relativo se proessa, exlusivamente, ao longo dos respetivos eixos X e X Ou seja, de aordo om o boost de Galileu, deverá ter-se (veja-se a figura da página 36): x x vt x x vt y y y y z z z z tt t t última equação t t limita-se a exprimir matematiamente o preoneito newtoniano de que o tempo é universal e absoluto independente, portanto, do sistema de oordenadas inerial em que é medido Daqui deorre, imediatamente, a onheida lei da adição de veloidades Vejamos Se uma partíula tem uma veloidade u em relação a S, tal que x ut, então o boost de Galileu diz-nos que a veloidade w dessa mesma partíula em relação a S será tal que x wt x vt u t vt u v t u v t w u v Mas então, se a partíula for um fotão que tem veloidade u em S, esta lei da adição de veloidades implia que a veloidade do mesmo fotão, em S, deveria ser w v para v 0, em ontradição om P tarefa de oniliar, numa mesma teoria oerente, P om P, paree ondenada ao fraasso Mas essa teoria existe: é a teoria da relatividade restrita de Einstein E o primeiro passo dessa teoria onsiste em algo profundo e radial: há que rever o oneito de simultaneidade equação t t do boost de Galileu parte de um prinípio que tem de ser questionado: será mesmo o tempo algo de absoluto, independente do referenial onsiderado? nova teoria não admite qualquer preoneito à partida a saber: o oneito de simultaneidade absoluta é inompatível om P Por outras palavras: se P é verdadeiro (e a experiênia diz-nos, inequivoamente, que assim é), então a simultaneidade é neessariamente um oneito relativo depende do referenial de inéria em análise É disso que este texto trata Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página

4 Consideremos um vagão de um omboio que se desloa, em relação à estação, om veloidade v (onstante) O omprimento da arruagem é L 0 do ponto de vista do observador O (no interior do ompartimento) mas L do ponto de vista do observador O (na estação de omboios) Somos tentados a admitir que se tem L L0 mas essa admissão deve, também ela, ser questionada O referenial S da estação orresponde ao sistema de oordenadas do observador O Por sua vez, o referenial S orresponde ao sistema de oordenadas do observador interior da arruagem) O (que se desloa no O espaço planar x, t onsiste num plano em que ada ponto é, fisiamente, um aonteimento únio que se loaliza no ponto x e aontee no instante t trajetória, seja de um ponto material seja de um sinal luminoso ou eletromagnétio, neste espaço-tempo bidimensional, é designada por linha de universo Duas linhas de universo retilíneas (movimento uniforme) não paralelas enontram-se sempre num únio aonteimento (bem determinado) Esta propriedade é aqui explorada na determinação das oordenadas (quer em S quer em S ) de um dado aonteimento Sejam e a linha de universo da extremidade esquerda da arruagem e e a linha de universo da sua extremidade direita Então, do ponto de vista de O, a linha de universo e é dada pela equação e x vt enquanto que a linha de universo e é dada por e x vt L Sendo m a linha de universo do ponto médio da arruagem, a respetiva equação (também do ponto de vista de O ) será L m x vt Um sinal eletromagnétio que se propaga no sentido positivo do eixo x é dado pelas equações genérias (representa-se, omo é habitual, por a veloidade da luz no váuo onstante universal, independente do sistema inerial de oordenadas onsiderado) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 3

5 S x t a S x t a enquanto que um sinal eletromagnétio que se propaga no sentido negativo do eixo x é dado pelas equações genérias S x t b S x t b s equações anteriores inorporam, portanto, o postulado P (ie, tem-se ) dmite-se, para simplifiar, que x x 0 quando t t 0 Suponhamos, agora, que no instante t 0 o observador O observa a emissão de um sinal eletromagnétio a partir de e Como o aonteimento de emissão a partir de e tem oordenadas x 0, t 0 em S e oordenadas x 0, t t 0 em S, as respetivas equações de propagação serão S x t a 0 S x t a 0 Porém, tanto o sinal eletromagnétio e m omo o sinal eletromagnétio e m hegam simultaneamente ao observador O situado em m (veja-se a figura da página 5) Com efeito, a emissão proveniente de e é representada pelo aonteimento B ujas oordenadas em S deverão ser x L, t 0 B 0 B Todavia, no referenial S da estação, as oordenadas de B deverão ser xb, tb t Desonheemos (ainda) os valores de e de t Desonheemos, também, qual a relação entre os omprimentos L e L 0 Nota Naturalmente que, no aso (omo iremos ver, errado) de se onsiderar que e B são (também) simultâneos em S, então deveria ser (mas não é) t t 0 Seja M um tereiro aonteimento: a reepção, em m, do sinal proveniente de questão entral é, portanto, a seguinte: Quais são as oordenadas do aonteimento M não só do ponto de vista de S mas também de S? Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 4

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7 Uma oisa é absolutamente inequívoa: os aonteimentos e B são simultâneos em S pois o sinal eletromagnétio tem de perorrer o mesmo espaço L 0 quer no sentido e m quer no sentido e m (om a mesma veloidade ) Ou seja: do ponto de vista de S as oordenadas do aonteimento M deverão ser L L L xm, tm x M O aonteimento M pertene à linha de universo m Por outras palavras: em S as oordenadas x M e t M têm de obedeer à equação genéria da linha de universo (tal omo visto anteriormente) L m x vt E, além disso, o aonteimento M também pertene à linha de universo do sinal luminoso x t Mas então, tem-se x vt L t v t L t L v M M M M M Logo: S x t M M S x t M M L v L0 Por outro lado, o aonteimento M também pertene à linha de universo do sinal luminoso e m Este sinal luminoso tem a equação genéria (omo se viu anteriormente) S x t b S x t b Logo, infere-se daqui que Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 6

8 L L L S b x0 b x v v v L L 0 0 S b x0 b L0 xm Podemos resumir a situação relativa ao aonteimento M, dizendo: este aonteimento pertene a três linhas de universo saber: M L L0 Mm m x vt x M x t x t L M x t x t x t b t L v 0 0 Para determinar as oordenadas dos aonteimentos e B já sabemos que B 0, 0 S x 0, t t 0 S x t B, B, 0 S x t t S x L t B 0 B Mas o aonteimento B, além de pertener à linha de universo do sinal luminoso e m também pertene à linha de universo da extremidade direita e Reorda-se, aqui, esta situação:, e S x vt S x 0 e S x vt L S x L 0 Logo, em partiular, tem-se e S S x 0 x 0 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 7

9 B e S x vt L B S x L B 0 B Portanto, omo não só B e mas também B, vem suessivamente: L v x t x0 t x t L vt L v t L B L v t v L B B B B v v v t B t vl v Podemos, portanto, esrever que vl t t t t v Este intervalo de tempo t é o que separa, no referenial S da estação, os aonteimentos e B que, omo se viu, são simultâneos em S (ie, para um observador no interior do omboio): em S o aonteimento B oorre passado o intervalo de tempo do ponto de vista de O t depois de, ie, B é posterior a Definições Uma equitemp é a linha que une todos os aonteimentos simultâneos, na perspetiva de um dado referenial (uma «equitemp» de S não oinide om uma «equitemp» de S ) Uma equilo é a linha que une todos os aonteimentos que oorrem num mesmo loal (ponto), na perspetiva de um dado referenial (uma «equilo» de S não oinide om uma «equilo» de S ; mas isso já aonteia, também, num boost de Galileu) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 8

10 Conlusão fundamental: Os aonteimentos e B são simultâneos em S (ie, para o observador O ) mas não são simultâneos em S (ie, para o observador O ) Por outras palavras: as «equitemps» de S não são paralelas às «equitemps» de S Esta onlusão ontém o que há de mais essenial em relação à teoria da relatividade restrita de Einstein: o oneito de simultaneidade é um oneito relativo ao ontrário da rença (errada), da meânia de Newton, segundo a qual o tempo seria absoluto e, portanto, a simultaneidade seria (também) um oneito absoluto (ie, independente do referenial onsiderado) determinação de x B é trivial Vem x vt L L L v v v v L v L B B Introduzamos, agora, as definições (usuais, em relatividade) dos oefiientes e : v, Então, podemos reesrever alguns dos resultados já obtidos de aordo om esta notação: v L L t L t v L L L v O eixo x é a «equitemp» em S orrespondente a t 0, ie, é a linha que liga os aonteimentos e B O eixo t, por sua vez, é a «equilo» em S orrespondente a x 0 ou a x vt, ie, é a Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 9

11 linha de universo e Notem-se, ainda, as seguintes relações geométrias: sendo o ângulo existente entre os eixos t e t, é v tan dado que a equação do eixo t tanto pode ser esrita quer omo x 0 quer omo x vt t t uma vez que orresponde à linha de universo e Seja, agora, o ângulo existente entre os eixos x e x Nestas ondições, tem-se x L, t ot t tan B Mas, omo t L, infere-se, ainda, que tan L xb L tan L Logo, omo é (também, omo visto anteriormente) L, obtém-se tan tan tan Conlusão: O ângulo existente entre os eixos x e x é o mesmo que o ângulo entre os eixos t e t Se se designar esse ângulo por, é tan Ver as figuras das páginas 5 e ssim, de aordo om os diagramas das páginas 5 e, o máximo ângulo possível é tan 4 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 0

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13 Este ângulo máximo orresponde à linha de universo x signifia que os eixos do referenial S orrespondem a: eixo t «equilo» x 0 x t vt eixo x «equitemp» t 0 x t t v t (de um sinal eletromagnétio) Isto transformação (ou, om mais rigor, o «boost») de Lorentz deverá ter, assim, a seguinte forma: t t x x x t Com efeito, a transformação é linear (transforma linhas de universo retilíneas em linhas de universo, também, retilíneas) e tem de ser tal que Eixo x: t0 t x Eixo t: x0 x t Porém, o sinal tanto pode ser desrito (em S ) por x t omo pode ser desrito (em S ) por x t Então, depois de substituir estas equações na transformação de Lorentz, obtém-se t t t t t t pelo que deve ser, neessariamente, t t ssim, vem t t x x inversa desta transformação dá (invertendo a matriz anterior) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página

14 t t x x Mas, de aordo om o prinípio da relatividade, deveria obter-se (orrespondendo a uma simples troa de v por v, ou, a uma simples troa de por ) t t x x Isto implia que deverá ter-se já que, para v 0, terá de ser Portanto, em síntese, um «boost» de Lorentz que orresponde a transformar os eixos x e t em novos eixos x e t, tal omo indiado (geometriamente) nas figuras das páginas 5 e esreve-se analitiamente omo segue: t t x t t x x x t x x t Na forma matriial, tem-se: t t t t x x x x propósito: omo se tem osh sinh é possível fazer (pois e ) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 3

15 e e osh e e tanh tanh ln e e e e sinh Logo, também osh ln sinh ln Note-se, assim, que osh sinh osh sinh det det det det sinh osh sinh osh O parâmetro designa-se por rapidez do «boost» de Lorentz Neste pequeno estudo foram analisados, em onreto, três aonteimentos:, B e M Façamos, aqui, uma lista das oordenadas destes três aonteimentos (do ponto de vista de ambos os refereniais S e S ) x x 0, t 0 0, t 0 M x M L L L L, t M v v x M L L, t 0 0 M B L v L, B xb L t L v v x L, t 0 B 0 B Failmente se prova que a teoria da relatividade desmonta o seguinte mito popular: na teoria da relatividade «tudo é relativo» Com efeito, enontra-se aqui um invariante Qual? Vejamos Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 4

16 transformação (passiva) de oordenadas para um mesmo aonteimento é, omo se viu, a transformação de Lorentz De aordo om esta transformação: t t x x Consideremos, agora, dois aonteimentos quaisquer P e Q Tem-se então: t t t P P Q tq, x x x P P Q xq Daqui resulta, suessivamente, que S PQ tp tq xp xq tp tq xp xq xp xq tp tq tp tq xp xq P Q P Q t t x x o que mostra a invariânia da quantidade real (positiva, negativa ou nula) S PQ pliquemos, então, esta invariânia do intervalo de espaço-tempo aos dois aonteimentos B e Vem, neste aso, L 0 L S L B Logo, a partir desta equação, é possível relaionar os omprimentos L om L 0 Vem suessivamente L L L 0 L L donde se tira, finalmente, que Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 5

17 L L L 0 0 L L0 Note-se que, nesta última equação, se tem sempre L L 0 Por essa razão este efeito é onheido por ontração do espaço Neste aso, isto signifia que para o observador O o omprimento L do vagão é menor do que o respetivo omprimento L 0 para o observador O Sublinhe-se o seguinte: não se trata, aqui, de qualquer espéie de ilusão ou, sequer, do fato de um observador estar «erto» e do outro estar «errado» Na verdade, ambos os observadores estão a realizar medidas orretas Simplesmente, em onsequênia da relatividade do oneito de simultaneidade, o omprimento do vagão depende efetivamente do referenial em que é medido Da mesma forma é possível inferir-se, aqui, a dilatação do tempo Vejamos omo Seja T 0 o intervalo de tempo que, do ponto de vista do observador O, deorre entre a emissão do sinal eletromagnétio no aonteimento e a sua reepção no aonteimento M O objetivo onsiste, então, em determinar o orrespondente intervalo de tempo T entre esses mesmos dois aonteimentos mas agora do ponto de vista do observador O Mais preisamente: tem-se L T0 t t 0 M Pretende-se, então, determinar a relação de T 0 om o intervalo de tempo T, tal que L T t t M Para este efeito podemos usar a já determinada expressão da ontração do espaço, que determina que se tem L L0, e, assim, inserir esta última relação em Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 6

18 L L0 T L0 Mas então, omo se viu atrás T L 0 0, donde se infere que T T T T onde se introduziu o hamado fator de Bondi Sublinhe-se, ontudo, que esta não é a expressão da dilatação do tempo tal omo é denominada na teoria da relatividade O resultado anterior (do fator de Bondi) poderia ser diretamente inferido da invariânia do intervalo: L 0 L S L B Se se substituir, nesta última equação,, L T L T, 0 0 obtém-se, suessivamente, 0 0 L T L L T T T T T T T De forma a estudar a (verdadeira) dilatação do tempo há que levar a abo uma outra operação (ou experiênia oneptual) diferente: vamos admitir que, assim que o sinal emitido (no aonteimento Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 7

19 ) por e atinge a linha de universo m (aonteimento M ), ele é instantaneamente refletido de volta para a linha de universo e, aí hegando no (novo) aonteimento C (ver figuras das páginas 5 e ) Na hamada dilatação do tempo, é neessário omparar o tempo total T x, que deorre em S (entre a emissão e a reepção do sinal luminoso na mesma linha de universo e ), om o orrespondente tempo T y (deorrido do ponto de vista de S ) Ou seja: trata-se de omparar o tempo deorrido entre os aonteimentos e C do ponto de vista dos dois refereniais Sublinhe-se que, neste aso, o tempo T x deorre em S sempre no mesmo ponto espaial x (ie, na mesma «equiloo» neste aso em x 0 orrespondente ao eixo t que oinide om a linha de universo e ) Obviamente que o problema é trivial do ponto de vista de S, pois tem-se T L 0 x T0 questão que se oloa é a seguinte: determinar o intervalo de tempo T y que deorre, em S, entre os aonteimentos e C Este tempo é, no entanto, fáil de alular Basta ter em onsideração que o aonteimento C resulta da interseção entre o sinal luminoso e a linha de universo e Reordando, aqui, que e x vt L v x t x0 t vem então L L xc vty Ty v Ty Ty L v v v C v L L L L, C y xc vty t T v v x 0, t T L C C x 0 Logo, tendo em onsideração que (pela ontração do espaço) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 8

20 L L0, vem L Ty L L L v v T x T T T T y x x x Esta última expressão é que traduz, de fato, o efeito onheido em teoria da relatividade por dilatação do tempo Note-se que, usando sinais eletromagnétios, a determinação do fator (de Bondi) é mais natural do que o fator (da dilatação do tempo) relação entre eles é dada por Tem-se apenas para 0 Para 0 vem Para 0 vem Nota Final De aordo om as equações de Maxwell, a veloidade da luz no váuo é dada por 0 0 ssim, o oneito de éter (ie, de um meio em relação ao qual a luz se propaga no mesmo sentido que dizemos que o som se propaga num meio material omo é o aso do ar) é supérfluo (já que nenhuma experiênia físia onsegue detetar a existênia de um «vento» de éter) Neste sentido, esta equação implia, de fato, o postulado P Ou seja: as equações de Maxwell são a únia teoria físia (denominada eletrodinâmia lássia), anterior à teoria da relatividade restrita, a permaneer inólume ao ontrário da meânia newtoniana a esta revisão oneptual Com efeito, Einstein apresentou a sua teoria (da relatividade restrita) omo logiamente deorrente da eletrodinâmia de Maxwell, a saber: a eletrodinâmia lássia é teoria físia que ompatibiliza P om P Hoje, porém, sabemos mais: existem na natureza 4 interações fundamentais (gravitaional, Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 9

21 eletromagnétia, nulear forte e nulear fraa) e, à exepção da gravitação (que implia a generalização da teoria da relatividade restrita na forma de teoria da relatividade geral), as outras três interações fundamentais obedeem à teoria da relatividade restrita hamada teoria quântia do ampo (quantum field theory) revela uma harmonia perfeita entre a meânia quântia e a teoria da relatividade restrita Existe, ontudo, um problema (ainda) em aberto: omo oniliar a teoria da relatividade geral om a meânia quântia relativista numa TOE (theory of everything) se é que uma tal teoria existe e é possível? hamada teoria das superordas (superstring theory) não é, atualmente, uma teoria físia aeite ela onstitui, apenas, uma hipótese de trabalho (no âmbito de outras teorias físio-matemátias, igualmente possíveis, mas também problemátias) Comentário teoria da relatividade restrita é, hoje, totalmente paífia e aeite por toda a omunidade ientífia reonheida (ie, de mainstream) Nem sempre assim foi: veja-se o aso notável de Herbert Dingle ( ), alguém que hegou a ser presidente da Royal stronomial Soiety (entre 95 e 953), que até publiou um livro de «divulgação», em 9, sobre «relatividade» (intitulado Relativity for ll) e que é hoje um fato paífio, nuna onseguiu entender do que tratava realmente esta teoria: veja-se, eg, o seguinte omentário: Mas isso não signifia que a teoria da relatividade restrita não ause, nos estudantes espeialmente nos mais atentos e inteligentes muitas interrogações É essa a mara da genialidade de lbert Einstein ( ) Sublinhe-se que, ainda hoje, existem (muitas) pessoas (quiçá, até, ientistas de outras áreas, que fazem pouo uso da físia) que embora (até) onheçam as equações da transformação de Lorentz (aliás omo o próprio Lorentz, quando as esreveu antes de Einstein) não onseguem entender o (verdadeiro) signifiado físio do que elas enerram Por essa razão, é fundamental que os primeiros passos de um neófito (da relatividade restrita) não sejam dados através da simples dedução das fórmulas de Lorentz No iníio, tem de se apelar à ompreensão físia nuna à manipulação (ega) de equações, de forma automátia (ie, seguindo simples regras algébrias), sem se atender (primeiro) ao profundo signifiado físio que está por detrás da matemátia matemátia fundamental de resto é (até) bastante básia e simples (aessível, inlusivamente, a alunos do ensino seundário que dominem a álgebra linear mais elementar) Isto Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 0

22 não signifia que os alunos do ensino seundário tenham todos eles a maturidade inteletual sufiiente para entender o que está realmente em ausa Sugestão Sugere-se que se entenda, do ponto de vista estritamente geométrio (no sentido da geometria sintétia e não da geometria analítia), a afirmação ontida na legenda da figura da página Mais onretamente: os omprimentos CM e MB são iguais Porquê? Porque a linha de universo (ver agora a figura da página 5) interseta três linhas de universo e, m, e que são paralelas entre si e equidistantes, ie, a distânia entre e e m é a mesma que a distânia entre m e e (em qualquer dos dois refereniais onsiderados) DEND: Para uma abordagem mais rápida e intuitiva relatividade do oneito de simultaneidade é, grafiamente, muito simples de entender se, ao ontrário do texto preedente, não for prourada uma quantifiação preisa dessa relatividade É dessa forma gráfia (e qualitativa/intuitiva) de revelar a relatividade da simultaneidade que trata esta adenda Centremos, então, a nossa atenção sobre a figura da página O aonteimento M oorre, do ponto de vista de S, a uma distânia da linha de universo e (que liga os aonteimentos e C ) dada por L 0, ie, x L0 Coloa-se, agora, a seguinte questão: sobre a «equilo» M x 0 de S (ie, sobre a linha de universo e ) onde é que se situa o aonteimento N que, em S, é simultâneo om M? Por outras palavras: onde é que e interseta a «equitemp» de S que passa em M? resposta é imediata: o aonteimento N situa-se, sobre e, a meia distânia entre os aonteimentos e C Justifiação: o tempo que o sinal eletromagnétio demora (em S ) a ir do aonteimento até ao aonteimento M é o mesmo que o tempo que o sinal eletromagnétio demora (também em S ) a ir do aonteimento M ao aonteimento C e que é L0 t t t t t t M C M C ssim, N tem de ter, em S, as seguintes oordenadas: Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página

23 x 0, t L 0 N M Em onlusão: «equitemp» de S, que passa por M, é uma linha reta paralela ao eixo x que interseta e em N a meia distânia entre e C Mas, por outro lado, é evidente que do ponto de vista de S os aonteimentos N e M não são simultâneos (já que a linha que liga estes dois aonteimentos não é paralela ao eixo x ) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página

24 Nesta adenda aos apontamentos anteriores disute-se, mais pormenorizadamente, a onstrução das linhas «equilo» e «equitemp» para uma dado observador inerial O Para fixar ideias vamos onsiderar que o observador em questão se desloa, em relação ao LB (laboratório), om uma veloidade normalizada v 3 Se designarmos por y t a linha de universo deste observador (ie, a sua «equilo»), podemos esrever no referenial do LB que esta linha de universo orresponde à equação y x, 0, em que, portanto, se tem 3 Vamos, ainda, onsiderar que existe um aonteimento que, no referenial do LB, tem oordenadas x, y om y t dmitamos que se tem x e y 3 Começamos por perguntar: qual é a «equitemp» de O que ontém o aonteimento? Por outras palavras: qual é o aonteimento R que é do ponto de vista de O simultâneo om o aonteimento? resposta enontra-se nas Figs e da página seguinte No instante t (aonteimento P ) é enviado um sinal eletromagnétio de O para Neste aonteimento o sinal é instantaneamente refletido de volta para O aí hegando no instante t (aonteimento Q ) Então, o aonteimento R simultâneo om loaliza-se sobre a linha de universo O a meia distânia dos aonteimentos P e Q (Fig ) Com efeito, o tempo gasto pelo sinal eletromagnétio no perurso (de ida) P é idêntio ao tempo gasto no perurso (de volta) Q Por essa razão, o instante (para o observador O ) do aonteimento R é t R tal que t t t R Na Fig india-se, ainda, o aonteimento B que tal omo e R também pertene à mesma «equitemp» O do observador O notação traduz o fato de que por definição a «equilo» O é ortogonal à «equitemp» O Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 3

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26 Podemos, agora, determinar no referenial do LB as oordenadas dos aonteimentos P e Q da Fig O aonteimento P pertene ao sinal eletromagnétio de equação y x a enquanto que o aonteimento Q pertene ao sinal eletromagnétio de equação y x b Como o aonteimento se enontra na interseção destes dois sinais, vem y x a a y x y x b b y x pelo que, omo x e y 3, vem a, 5 b Mas então, omo os aonteimentos P e Q pertenem à «equilo» O uja equação é y x, infere-se que a x y x a P P P yp xp a yp donde, omo 3, x y P P, nalogamente, obtém-se b x y x b Q Q Q yq x b y Q Q Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 5

27 5 xq, 4 5 yq 4 É agora possível determinar todas as oordenadas dos aonteimentos assinalados na Fig do ponto de vista do observador O Designemos essas oordenadas por x, y para as distinguir das oordenadas x, y relativas ao referenial do LB Obviamente, a «equilo» das Figs e, orrespondente a y x em relação ao LB, esreve-se agora x 0 Pelo aonteimento passa a «equilo» x passar a «equilo» x x enquanto que, pelo aonteimento B, deverá x (Fig ) Qual é o valor de x? Failmente se responde a esta questão se se tiver em onsideração que o perurso do sinal eletromagnétio de x 0 (aonteimento P ) até x x (aonteimento ) leva o mesmo tempo que o perurso inverso de x x (aonteimento ) até x 0 (aonteimento Q ) Logo x t t Porém, omo e R pertenem à mesma «equitemp» de O, infere-se que y y y t t B R Reorda-se, aqui, que xp xq xr 0 Falta, portanto, determinar os valores de t e t para se poder, finalmente, alular as oordenadas x, y do ponto de vista de O Porém, a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é eulidiana Mais preisamente: a unidade de omprimento ao longo da «equilo» O não é idêntia à unidade de omprimento do LB; o omprimento unitário ao longo de O deverá valer um valor (desonheido, por enquanto) em termos da unidade do LB Nestas ondições, podemos alular em termos de os valores de t e de t ssim, vem suessivamente Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 6

28 t x y t x y P P Q Q,, xr 0, y t t t x y x y R R Q Q P P x t t x y x y y t t x y x y Q Q P P Q Q P P Para os valores numérios onsiderados, vem:,, t t xq yq xp yp 5 0, Para alular o oefiiente há que ter em onsideração a hipérbole de alibração que passa pelo aonteimento equação desta hipérbole, no referenial do LB, é dada por H t x y x y y 0 0 Para alular o valor de y 0 basta substituir na equação anterior as oordenadas do aonteimento dadas para o referenial do LB: x y 9 5 y Esta hipérbole interseta a linha de universo O, dada por y x, no aonteimento S x, y S S tal que (ver Fig 3 na pág 9) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 7

29 y0 xs, xs xs y0 y0 ys xs Calulando numeriamente, obtém-se: 5 xs 4 5 xs ys y OS 0 LB LB 3 5 OS 4 ys 4 Mas, por outro lado, tem-se na verdadeira métria de Minkowski o valor y y 0 OS OS 0 LB que, numeriamente, orresponde a 5 ssim, obtém-se: 5 9 t x, 8 t y 4 8 Note-se que, portanto, esta métria depende exlusivamente do delive Este fator de onversão só faz sentido, naturalmente, quando Para (sinal eletromagnétio) vem 0 No outro extremo, quando (aso do LB), obtém-se De seguida vai-se analisar, geometriamente, o signifiado do aonteimento S sobre a linha de universo O Para isso, porém, há que onsiderar a Fig 3 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 8

30 Em primeiro lugar onsidera-se um novo observador (inerial) P a que pertene o aonteimento das Figs e O aonteimento O resulta da interseção entre O e P Faremos, doravante, O 0,0 para todos os observadores inluindo o referenial do LB Note-se que a linha de universo do observador P orresponde, no referenial do LB, à equação y x Para os valores numérios onsiderados, vem y x 3 Há ainda a neessidade de introduzir um tereiro observador o referee que se designará por R Este tereiro observador árbitro está sempre oloado a «meio» aminho entre os dois Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 9

31 observadores O e P no seguinte sentido: os sinais eletromagnétios emitidos pelo árbitro R, num erto instante (aonteimento U da Fig 3), em direção quer a O quer a P são refletidos (aonteimento S de O e aonteimento de P ) e voltam simultaneamente ao observador árbitro R (aonteimento V da Fig 3) Do ponto de vista do observador P o aonteimento tem oordenadas 0, t lém disso, omo se viu anteriormente, do ponto de vista do observador O tem-se, por outro lado, P 0, tp t, R 0, t R, S 0, ts tx e Q 0, tq t fator de Bondi, failmente se verifia que Então, introduzindo o t t t t Note-se, também, que tt t t t t nalogamente, sendo o fator de Bondi entre O e P e o fator de Bondi entre O e R, vem ainda t t t t tx t t t tx tt t t t t t t tx tx t t t t t x x onde se onsiderou que, do ponto de vista de O, se tem t t R, se tem U e V 0, tu t 0, tv t S 0, S x e, do ponto de vista de Mas então, infere-se que t t t x Note-se, também, que t 4 t Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 30

32 e ainda t tx t t t tx Portanto t t t t lém disso, vem t t t t t t t t t t t t t t t t t t x t x t Para os valores numérios onsiderados, onfirma-se o valor de y0 já obtido anteriormente: 5 y0 t t Este último resultado expressa o hamado teorema de Minkowski: o omprimento O é, na métria não eulidiana do espaço-tempo de Minkowski, idêntio ao omprimento OS Na Fig 3 da pág 9 tem-se, de aordo om este teorema, O OS TEOREM DE MINKOWSKI O OS t t Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 3

33 Seja v a veloidade normalizada relativa do observador P em relação ao observador O Logo, omo v x y t, vem t x t t t y t t t t Daqui infere-se que, inversamente, Para os valores numérios onsiderados, vem t 9 0, t Também se tem 0 0, 4 0, em que v tanto representa a veloidade relativa (normalizada) do árbitro R em relação ao observador O omo a veloidade relativa (normalizada) do observador P em relação ao árbitro R Na pág 35 representam-se na Fig 4: os vários observadores, o LB, a hipérbole de alibração e os aonteimentos S e Note-se que, no LB, o aonteimento x, y U tem oordenadas U U x y y x x y y y x x U S P S P U S P S P Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 3

34 de modo que a equação da trajetória, no LB, do referee será y y 3 x, 3 U xu Para os valores numérios onsiderados, vem: 5 xu 4 y 5 U 3 5 xu 5 yu 4 Em síntese: no referenial do LB, o observador O é desrito pela equação y t x, o observador P é desrito pela equação y t x e, finalmente, o referee R é desrito pela equação y t 3 x Numeriamente, tem-se: 3 5 3,, Ou seja: v v v ,, 3 3 Note-se, a propósito, o seguinte: usando a omposição de veloidades de Einstein, é possível onfirmar os valores obtidos para, e De aordo om o esquema LB tem-se Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 33

35 Como, no exemplo numério onsiderado, 9 e 3, resulta efetivamente 3 Na mesma linha de raioínio, obtém-se Para 0 0 vem então, omo não podia deixar de ser, 9 Obviamente que, de forma análoga, se tem, Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 34

36 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 35

37 Vai-se, agora, apresentar uma primeira dedução da transformação de Lorentz Tal omo se disse atrás, a transformação de Lorentz só deve ser apresentada e deduzida depois de uma primeira parte exlusivamente dediada ao estudo da relatividade do oneito de simultaneidade (sem artifíios matemátios desneessários, que apenas podem desviar a atenção da essênia físia do problema) Como sempre onsidera-se, aqui, a hamada onfiguração «standard» dos eixos dos dois refereniais de inéria S, S que se enontram em movimento relativo om veloidade v origem O do sistema de eixos S,, X Y Z oinide om a origem O do sistema de eixos S X, Y, Z quando t t 0 Um dado aonteimento é desrito em S através das oordenadas t, x, y, z Esse mesmo aonteimento é desrito em S através das oordenadas t, x, y, z transformação de Lorentz relaiona, entre si, as oordenadas de S om as de S Usam-se, nesta primeira dedução, os dois postulados expliitados (logo) na página Uma vez que o movimento relativo apenas deve relaionar os eixos espaiais X om X, deverá ter-se (tal omo na transformação de Galileu): y y, z z Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 36

38 onfiguração «standard» dos eixos implia, desde logo, que tem de ser x 0 x vt x 0 x vt Isto signifia que se deverá prourar uma transformação da forma x x vt x t x x vt x t onde os oefiientes, são desonheidos (por enquanto) NOT Poder-se-ia admitir uma transformação mais ompliada Porém, se for possível hegar a uma solução em oerênia om esta hipótese, o problema pode onsiderar-se resolvido Comeemos por apliar o postulado P (prinípio da relatividade) De aordo om este postulado deverá ter-se pois, no espaço livre e ilimitado (homogéneo e isotrópio), nada distingue os dois sistemas de oordenadas a não ser o fato das duas veloidades relativas serem diametralmente opostas (enquanto que O vê O afastar-se para a direita, O vê O afastar-se para a esquerda) NOT transformação de Galileu orresponde ao aso partiular em que se tem, simplesmente, Como se verá adiante orresponde, para 0, a onsiderar-se ssim, tem-se, x x t x x t Vai-se apliar, agora, o postulado P (invariânia da veloidade da luz no váuo) Se um laser emitir um feixe luminoso desrito, em relação a S, pela equação x t, o mesmo feixe luminoso terá de ser desrito, em relação a S, pela equação x t Logo, após substituir estas duas últimas equações de propagação nas equações de transformação, obtém-se, respetivamente, Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 37

39 , t t t t Multipliquemos (ordenadamente) estas duas últimas equações: t t t t Daqui se infere porque deverá ser quando v 0 a seguinte onlusão: Falta, então, determinar de que forma o tempo se transforma Comeemos pela equação x x t x t t x x, vem ainda Logo, de pois de substituir na última equação x x t t x x x x t t x t t x Porém, atendendo a que infere-se, ainda, que Logo, é também possível esrever t t x t t x Deixa-se omo exeríio para o leitor demonstrar, de forma análoga, que se obteria (também) t t x Por simetria, esta última equação obtém-se da anterior substituindo Em síntese: Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 38

40 t t x t t x x x t x x t v, y y y y z z z z Note-se que a uma onda eletromagnétia esféria em S da forma x y z t orresponde, em S, a onda eletromagnétia (também esféria) x y z t validade simultânea destas duas equações revela que tal é, de fato, inompatível om a transformação de Galileu (verifique porquê) transformação de Lorentz permite, desde já, demonstrar omo orolário a seguinte invariânia: t x y z t x y z Como y y e z z, basta provar que (invariânia do intervalo de espaço-tempo ou, mais simplesmente, invariânia do intervalo) t x t x Vejamos tendendo a que t x t x x t, vem suessivamente t t x omo se pretendia demonstrar x Nas páginas 3 e 4 introduziu-se o parâmetro da rapidez qui vai-se elaborar um pouo mais sobre este oneito Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 39

41 Comeemos por reesrever a transformação de Lorentz na forma matriial: t t x x transformação inversa orresponde, então, a t t x x Como osh, sinh, tanh, vem suessivamente sinh osh t t x t osh t x x x t x sinh t x t osh sinh t x sinh osh x pelo que sinh sinh t x osh t x t x e t x t x osh t x t x e t x t x t x t x t x t x t x Ou seja: a introdução da rapidez permite uma demonstração mais elegante da invariânia do intervalo Esta invariânia desempenha, em relatividade restrita, um papel fundamental Com base nela pode afirmar-se que a geometria do espaço-tempo de Minkowski não é eulidiana O plano x, t tem uma métria hiperbólia NOT O plano eulidiano x, y tem uma métria eulidiana: a distânia D, tal que D x y, é invariante numa rotação O plano hiperbólio, o intervalo, tal que t x t tem uma métria hiperbólia: x, é invariante num «boost» de Lorentz forma quadrátia, é definida positiva Porém, a forma quadrátia Q x, t Q D x y mas também não é definida negativa Com efeito, tem-se: (i) Q 0, se t x ; (iii) Q 0, se t x não é definida positiva Q 0, se t x ; (ii) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 40

42 Vai-se, agora, apresentar uma segunda dedução da transformação de Lorentz Esta dedução deve-se ao matemátio e osmólogo Sir Hermann Bondi (99 005); tem a vantagem de fazer intervir o fator de Bondi, de que se falou anteriormente (primeiro na página 7 e, mais extensamente, no segmento sobre «equilos» e «equitemps») Trata-se, portanto, de uma dedução om um maior onteúdo físio-geométrio do que a anterior (essenialmente analítia) Consideremos, em primeiro lugar, a Fig 3 da página 9 o observador O assoiamos o sistema de oordenadas S Como y y e z z Por sua vez, ao observador, apenas iremos onsiderar as oordenadas, O assoia-se o novo sistema de oordenadas S x, t S x t Comeemos por, em relação à Fig 3 da página 9, determinar as oordenadas em S do aonteimento Tal omo se viu anteriormente, tem-se t t t x t t, Daqui resulta t x t, t x t Mas, introduzindo o fator de Bondi, deverá ter-se t t, t t, donde t t NOT utilização do mesmo fator nas duas equações anteriores deve-se ao postulado P (prinípio da relatividade) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 4

43 Portanto, infere-se que t t x t t x Seja v a veloidade relativa de S O em relação a S O Obtém-se então x v t t Sublinhe-se o seguinte: aqui v a O Logo, onlui-se que representa a veloidade relativa do observador O em relação t x t x Note-se que, para, é sempre 0 Para vem 0 e, para, vem Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 4

44 Consideremos, agora, a nova figura anexa (no iníio da página 4) Trata-se de determinar, nesta nova figura, as oordenadas do (novo) aonteimento, aí representado, quer em relação a S O quer em relação a S O Será x, t referenial S (observador O ) e x, t então, om esta nova figura, vem no no referenial S (observador O ) De aordo, S t t t t t t S x t t x t t Daqui infere-se, portanto, que S t x t t x t S t x t t x t Notemos, no entanto, que sendo v a veloidade relativa de S em relação a S vem: t t, t t, Mas então t x t t t x t x t t t x donde se tira, finalmente, t t x x x t Para terminar a nossa dedução falta, apenas, fazer alguns álulos simples:, ssim, vem t t x x x t Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 43

45 o que termina a nossa demonstração Na figura seguinte apresenta-se o orrespondente diagrama de Minkowski Note-se que se tem osh, sinh tanh Deste modo, a relação entre a rapidez e o fator de Bondi é a seguinte: tanh ln ln, e Para vem e 0 Para 0 vem 0 e 0 Para 0 vem 0 e Para 0 vem 0 e Para vem e Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 44

46 Nesta seção vai-se deduzir a lei de omposição (ou adição) de veloidades em relatividade restrita Considera-se, em primeiro lugar, a simples omposição de veloidades na mesma direção E, neste aso, usa-se o oneito de rapidez (ver páginas 3, 4, 40 e 44) Tal omo se viu na página 40 tem-se t x e t x t x e t x em que ln ln Nestas expressões apenas se onsidera o movimento relativo entre S e S araterizado pela veloidade relativa v Vamos, agora, onsiderar uma situação (ligeiramente) mais omplexa tal omo se india no diagrama seguinte v u S S S Esta situação pode, também, ser analisada na seguinte perspetiva alternativa S w S Em termos da transformação de Galileu a relação entre as duas situações é bastante simples Vem, omo se viu na página, w u v Porém, omo também se viu, este resultado é inompatível om o postulado P [sobre a invariânia da veloidade da luz (no váuo)] Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 45

47 Vejamos, então, qual a (nova) perspetiva da transformação de Lorentz sobre esta simples omposição de veloidades Façamos, por definição, v t x e t x t x e t x u & t x e t x t x e t x w e, ainda, t x e t x t x e t x tendo-se onsiderado, portanto, ln, ln, ln Inversamente, tem-se (página 44) tanh, tanh, tanh Mas então, omo failmente se verifia, deverá também esrever-se t x e t x e e t x e t x t x e t x e e t x e t x ou seja, esta omposição de veloidades orresponde, simplesmente, à seguinte soma: Daqui resulta, portanto, que tanh tanh Infere-se, então, que tanh tanh, tanh tanh tanh ou seja Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 46

48 u v w uv Esta última expressão orresponde, portanto, à lei da omposição de Einstein de veloidades (no aso mais simples, em que u e v são olineares) Por vezes, esreve-se (simboliamente): w u v u v uv Note-se, desde já, que lim u v u v Ou seja: quando se faz na lei de Einstein reupera-se a lei da omposição de veloidades de Galileu-Newton lém disso, esta nova lei omo não poderia deixar de ser é ompatível om o postulado P Com efeito, se u, então v v w v v, v mesmo no aso em que (também) v (ie, tem-se ) NOT Deve, porém, salientar-se que, quando u v v w v v v, se obtém desde que se onsidere v Por exemplo, para v, obtém-se (também) w Mas os asos w e w onduzem a indeterminações Com efeito, estes dois últimos asos poderão ser interpretados omo pertenentes à mesma onda eletromagnétia aso em que 0 Vai-se, agora, deduzir um aso mais geral Vamos admitir que ux, uy, uz u em S, om Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 47

49 x u t, y u t, z u t x y z s orrespondentes omponentes, em S, serão u ux, uy, uz Mais uma vez admite-se uma onfiguração «standard» (omo se ilustra na figura da página 36) situação físia é a seguinte: 3 uma partíula tem uma veloidade (vetorial) u, em relação ao sistema inerial S, e pretende- 3 se onheer a veloidade (vetorial) u, dessa partíula, em relação ao sistema inerial S que se move em relação a S (tal omo se india na figura da página 36) Os dois diagramas seguintes ilustram esta situação u= u,,,, x u y u z u u partíula x u y u S S z S S v S Notemos, desde já, a relação entre esta (nova) nomenlatura e a dos diagramas da página 45: nos diagramas desta página u e u orrespondem, respetivamente, a w e u nos diagramas da página 45; mais preisamente ux w e ux u Comeemos, então, por definir x u t, y u t, z ut x y z Vamos, neste aso, utilizar as seguintes expressões para a transformação de Lorentz: uv x x x vt x u x x v t u t ux v t y y y uy t uv x z z z u uy t u z t yt v uv x t t x t t uv x uz t u zt Comeemos por verifiar que, da primeira equação, resulta: uxv ux v ux v u x u x uv x Porém, antes de prosseguir, sublinhe-se a seguinte equivalênia que faz uso da equação anterior: Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 48

50 v u x v v u x v ux v uxv u xv uv x Esta última equação permite, agora, obter om failidade as restantes duas equações de transformação Vem então: uxv uy uxv uz uy uy, u z uz uxv uxv ssim, em síntese, obtém-se: ux v uy uz ux, uy, uz uv x uxv uxv Estas fórmulas podem failmente reduzir-se ao aso elementar anteriormente já deduzido Com efeito, façamos (ver a orrespondênia entre os diagramas das paginas 45 e 48): uy u z 0, u ux e w u Infere-se, assim, que x u v w uv Este resultado oinide, de fato, om o resultado obtido anteriormente por intermédio do oneito de rapidez e aplia-se omo se referiu então ao aso partiular das veloidades olineares Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 49

51 lista bibliográfia que, aqui, se apresenta enontra-se agrupada em três seções distintas separação entre ada um destes grupos baseia-se, essenialmente, no respetivo grau de sofistiação matemátia O primeiro grupo (elementar) tem omo públio-alvo os alunos universitários do primeiro ilo (fase iniial da lieniatura ou, até mesmo, os melhores alunos do ensino seundário) O segundo grupo (intermédio) destina-se a alunos universitários do segundo ilo (alunos de mestrado ou na fase terminal do primeiro ilo) Finalmente, o tereiro grupo (avançado) destina-se a alunos do tereiro ilo universitário orrespondente, portanto, a alunos de doutoramento ou, nalguns asos até, de pós-doutoramento Note-se, porém, que apenas se inluem nesta lista os livros dediados, exlusivamente, à teoria da relatividade restrita Exluem-se, portanto, os livros sobre relatividade geral que (apenas) abordam, nos primeiros apítulos, a relatividade restrita Termina-se esta lista om uma oletânea de artigos originais (inluindo os de lbert Einstein) Nível Elementar ndrew M Steane, The Wonderful World of Relativity Preise Guide for the General Reader Oxford: Oxford University Press, 0 Hermann Bondi, Relativity and Common Sense New pproah to Einstein New York: Dover Publiations, 980 republiation of the original (964) edition N David Mermin, It s bout Time Understanding Einstein s Relativity Prineton, NJ: Prineton University Press, 005 Edwin F Taylor and John rhibald Wheeler, Spaetime Physis Introdution to Speial Relativity, Seond Edition New York: W H Freeman and Company, 99 Tevian Dray, The Geometry of Speial Relativity Boa Raton, FL: CRC Press, 0 Domenio Giulini, Speial Relativity First Enounter 00 Years Sine Einstein Oxford: Oxford University Press, 005 David Bohm, The Speial Theory of Relativity London: Routledge, 996 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 50

52 Nível Intermédio Wolfgang Rindler, Introdution to Speial Relativity, Seond Edition Oxford: Oxford University Press, 99 Norbert Dragon, The Geometry of Speial Relativity Conise Course Heidelberg: Springer, 0 Dierk-Ekkehard Liebsher, The Geometry of Time Berlin: Wiley-VCH, 005 P Frenh, Speial Relativity New York: W W Norton & Company, 968 (MIT) N M J Woodhouse, Speial Relativity London: Springer, 003 ndrew M Steane, Relativity Made Relatively Easy Oxford: Oxford University Press, 0 Moses Fayngold, Speial Relativity and How it Works Weinheim: Wiley-VCH, 008 Nível vançado Éri Gourgoulhon, Speial Relativity in General Frames From Partiles to strophysis Berlin: Springer, 03 Gregory L Naber, The Geometry of Minkowski Spaetime n Introdution to the Mathematis of the Speial Theory of Relativity Mineola, NY: Dover, 003 (unabridged republiation of the 99 edition) Roman U Sexl and Helmuth K Urbantke, Relativity, Groups, Partiles Speial Relativity and Relativisti Symmetry in Field and Partile Physis Wien: Springer, 00 J Ehlers and C Lämmerzahl, Eds, Speial Relativity Will it Survive the Next 0 Years? Berlin: Springer, 006 John W Shutz, Independent xioms for Minkowski Spae-Time Essex, England: Longman, 997 Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 5

53 presenta-se, por fim, uma oletânea de artigos originais inluindo traduções dos primeiros artigos de Einstein sobre as teorias da relatividade restrita e geral rtigos Originais Einstein, H Lorentz, H Weyl and H Minkowski, The Priniple of Relativity Colletion of Original Papers on the Speial and General Theory of Relativity (Notes by Sommerfeld) New York: Dover, 95 (unaltered, unabridged reprint of the 93 translation) Carlos R Paiva, DEEC IST, gosto de 04 Página 5