RESUMO ABSTRACT. Vamos supor que uma caixa-preta, representada por uma relação de entrada e saída. f :!! 7!

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1 REALIZAÇÃO CANÔNICA DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Paulo Franca Bandel (IC) 1 & Marcos Antonio Botelho Labmat Laboratório de Matemática Experimental Departamento de Matemática Instituto Tecnológico de Aeronáutica 18-9 São José dos Campos SP Brazil bandel@h8itabr botelho@matitabr RESUMO Apresentamos aqui um procedimento de realização canônica que fornece um sistema linear de dimensão nita em tempo discreto, invariante no tempo, cuja resposta é a seqüência de Fibonacci sempre que a entrada é a seqüênca 1; ; ; ;::: Este resultado pode ser interpretado como a construção de uma estrutura (máquina) capaz de gerar a seqüência de Fibonacci ABSTRACT We present a procedure of canonical realization that yields a discrete time nite-dimensional time invariant linear system whose output is the Fibonacci sequence whenever the input is the sequence 1; ; ; ;::: This result can be interpreted as the construction of a structure (machine) capable of generating the Fibonacci sequence Palavras-chave: Algoritmo de Ho; realização; seqüência de Fibonacci 1INTRODUÇÃO Vamos supor que uma caixa-preta, representada por uma relação de entrada e saída f :!! 7! ; com e sendo espaços vetoriais de dimensão nita, é tal que a seqüência de estímulos (entrada)! = f1; ; ;:::;g resulta na observação da resposta(saída) = f1; 1; ; ; 5; 8; 1;:::g, que é a seqüência de Fibonacci Nosso problema consiste em apresentar um modelo interno em termos de variáveis de estado descrito por um sistema linear, invariante no tempo, de dimensão nita, em tempo discreto, de nido por uma tripla fu; X; Y g de espaços vetoriais reais de dimensão nita e uma tripla de matrizes fa; B; Cg satisfazendo x n+1 = Ax n + Bu n y n = Cx n (1) Trabalho feito em iteração com o Departamento de Matemática e Física da Universidade de Taubaté 1 Bolsista do PIBIC/CNPq

2 e tal que explique, ou seja compatível, com a representação externa dada pela relação de entrada e saída f, ouseja,que(y n ) seja a seqüência de Fibonacci sempre que (u n ) seja a seqüência dada por u o =1e u n =; para n 1 Representações internas deste tipo são chamadas de realizações em espaço de estados e os espaços U; X e Y são chamados de espaço de entradas, espaço de estados e espaço de saídas, respectivamente A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Em 1, Leonardo Fibonacci ( lius Bonacci), também conhecido como Leonardo de Pisa, escreveu seu famoso livro, o Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra modelo por mais de um século e principal meio de introdução do sistema indo-arábico em toda a Europa cristã culta Um dos mais famosos enigmas deste livro é o chamado problema dos coelhos, que pode ser assim enunciado: Suponhamos que no mês de janeiro de um certo ano haja um casal de coelhos, que gere um segundo casal no mês de fevereiro do mesmo ano Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir deste momento, produz um novo casa a cada mês Supondo que não haja mortes, quantos casais de coelhos teremos no m de dezembro do mesmo ano? Podemos visualizar o enigma construindo a tabela abaixo, respeitando o seguinte código: A representa o número de casais que procriam no início do mês em questão B,onúmerodecasaisquenãoprocriamnoiníciodomêsemquestão C, o número de casais que nascem durante o mês em questão D,onúmerodecasaisaotérminodomêsemquestão MÊS A B C D Janeiro 1 1 Fevereiro 1 1 Março Abril 1 5 Maio 8 Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Cada uma das colunas A, B, C e D, lidas seqüencialmente, dá origem à chamada seqüência de Fibonacci, que é caracterizada pelo fato de que cada um de seus termos, após os dois primeiros, ser a soma dos dois termos anteriores Esta seqüência aparece em vários outros contextos no mundo natural e apresenta várias propriedades interessantes Para apresentar algumas delas, consideremos a seqüência expressa através da seguinte equação: n = n 1 + n ; n =; 4; 5;:::; 1 = =1 () P1 Temos que lim n!1 n n 1 = p 5+1

3 ou, equivalentemente; lim n!1 n n+1 = p 5 1 Esta razão ( razão áurea ) está presente na natureza e nos estudos de geometria: se construirmos, a partir de qualquer retângulo, um quadrado sobre o lado maior do primeiro retângulo, se construirmos posteriormente um segundo quadrado a partir do lado maior do novo retângulo (obtendo um terceiro retângulo), e se repetirmos in nitamente este procedimento, veri ca-se que a razão entre os lados do retângulo tendem à razão áurea P ::: + n = n+ 1 P ::: + n = n+1 1 P ::: + n 1 = n P ::: + n = n : n+1 P6 Se i e j são naturais, i é fator de ij : P7 Se n é divisível por 5, então a n é divisível por 5 P8 Os números de Fibonacci dão origem a determinantes de valor zero Este fato ocorre devido à peculiar lei de recorrência da seqüência, recordando que se a soma de duas colunas adjacentes é igual aos termos correspondentes da coluna seguinte, o determinante da matriz é zero Por exemplo, det = e det 6 4 OALGORITMODEREALIZAÇÃODEHO = Dado um padrão de entrada e saída B = f(u n ;y n+1 ) ;n=; 1; ;:::g expresso por uma relação f, representações internas como (1) fazem parte da teoria básica de sistemas lineares, caracterizadas através do conceito de modelo canônico A questão é que um número in nito de modelos =(X; A; B; C) podem satisfazer os requisitos para ser uma representação interna que reproduza o padrão dado Um modelo canônico seria a representação ótima, em algum sentido determinado, obtida por meio de um critério que permita selecionar um modelo interno que seja compacto no sentido do princípio da navalha de Occam, ou seja, cujo espaço de estados não contenha elementos irrelevantes para a reprodução do padrão de entrada e saída Assim, este modelo ótimo, ou canônico, seria aquele tal que: (1) a entrada! transfere o estado inicial do sistema, x o, para qualquer estado dado x X depois de algum tempo; e () qualquer estado inicial pode ser reconhecido univocamente apartirdoconhecimentodaseqüênciadeentrada(u n ) e da observação y n durante um intervalo de tempo <n T Dizemos que um sistema que satisfaz os critérios (1) e () é completamente alcançável e completamente obserável, respectivamente A teoria de realização fornece a caracterização matemática precisa destes critérios, assim como a existência e unicidade do modelo ótimo na forma do seguinte teorema de realização: Dado um padrão de entrada e saída B = f(u n ;y n+1 ) ;n=; 1; ;:::g; de nido por uma função de entrada e saída f :!, sempre existe um modelo canônico =(X; A; B; C) que reproduza este padrão Além disto, o modelo é único, no sentido de que todas as realizações canônicas são isomór cas

4 Estes são resultados clássicos da teoria de sistemas lineares de dimensão nita (cf, por exemplo, Furhmann[1]) Em 1966, Ho-Kalman[] apresentaram um algoritmo que permite construir esta realização canônica através do seguinte procedimento Inicialmente, representemos a seqüência in nita B na forma de Hankel: H = 6 4 P 1 P P P 4 ::: P P P 4 P 5 ::: P P 4 P 5 P 6 ::: Neste caso, H ij = P i+j 1 Seráassumidoqueaformain nitah possui um posto n ( nito); isso signi ca que todas as submatrizes r r de H possuem determinante igual a zero para r>n A partir desta suposição, é possível inferir que existe r<1 tal que P r+j 1 = rx i:p i+j ; sendo i R; 1 i r: Existem, portanto, matrizes S e T tais que In SHT = ; i=1 onde I n representaamatrizidentidadedeordemn Utilizando-se as matrizes S e T,é possível obter uma realização canônica de B, conforme o algoritmo seguinte: Supondo que a matriz H possua posto nito n, uma realização canônica da seqüência B = fp 1 ;P ;P ; :::g édadapelosistema =(X; A; B; C) onde o espaço de estados X possui dimensão n e A = L n S ¾H TU n ; B = L n SHU m ; C = L p HT U n As matrizes ¾H; L n e U m representam, respectivamente, a matriz H deslocadaparaa esquerda (ou seja, deslocando todas as colunas uma posição à esquerda), a matriz que toma apenas as primeiras n linhas e, por m, a matriz que toma apenas as primeiras m colunas REALIZAÇÃO DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Vamos aplicar o algoritmo de Ho no caso que B = f(u n ;y n+1 ) ; n =; 1; ;:::g; onde u o =1e u n =, n 1, e(y n ) é a seqüência de Fibonacci Notando que as entradas e saídas são escalares, tem-se que qualquer sistema linear que satisfaça este comportamento deentradaesaídacorrespondeaumsistemacomm = p =1, ie, um sistema de simples entrada e simples saída Observando o modelo dinâmico x n+1 = Ax n + Bu n ; n y n = Cx n ; n 1 ; x o = com u n R e x n R dados respectivamente por ½ 1 ; se n = n u n = e x ; se n 1 n = n+1 e as matrizes A; B e C dsão adas por 1 A = 1 1 ; B = 1 1 ; C = 1 ; n 1

5 A relação P i = y i = CA i 1 B está perfeitamente satisfeita, enquanto que ambas as matrizes de alcançabilidade e observabilidade, dadas respectivamente por 1 1 C 1 D =[B j AB] = e = = 1 CA 1 possuem posto = = n = dimx Estas condições garantem que o sistema = (X; A; B; C) constitui um modelo canônico para a seqüência de Fibonacci Neste contexto, a seqüência B dá origem à seguinte matriz na forma de Hankel: ::: ::: H = ::: 7 5 Recordando da relação de recorrência () da seqüência de Fibonacci, nota-se que uma coluna é determinada pela soma das duas colunas precedentes; assim, veri ca-se a suposição de nitude no posto de H, ou seja, posto de H = n = Desta forma, devemos xar nossasatençõesnasubmatriz deh de ordem dada por: 1 1 H = 1 Assim, devemos encontrar matrizes S e T que reduzam H à sua forma canônica, ou seja, 1 SH T = 1 Podemos constatar com facilidade que as matrizes e S = H 1 = T = I = satisfazem tal relação Além disso, a matriz deslocada para direita ¾H é dada por: 1 ¾(H )= : Aplicando, portanto, as relações indicadas pelo algoritmo de Ho: A = L S ¾(H )T U = L (H 1 ) ¾(H )(I )U de onde segue que Também, fornecendo A = B = L SH U 1 = L H 1 H U 1 B = 1

6 e C = L 1 H T U = L 1 H I U o que resulta C = 1 1 Com muita facilidade, é possível inferir que o sistema: 1 1 x n+1 = x 1 1 n + y n = 1 u n ; x o = 1 x n produz de fato a seqüência de Fibonacci como sua saída, utilizando a entrada-padrão u =1;u t =;t> Simples cálculos também conduzem à conclusão de que o sistema =(X; A; B; C) é completamente observável e alcançável, ou seja, é um sistema canônico para a seqüência de Fibonacci REFERÊNCIAS [1] Fuhrmann, PA: A Polynomial Approach to Linear Algebra Springer, 1996 []Ho,BL&Kalman,RE: E ective Construction of Linear State-variable Models from INput/Output Functions Regelungstech, 14 (1966), [] Casti,JL: Reality rules Picturing the world in mathematics Vol II John Wiley & Sons, 199