Resolvido por Jorge Lagoa, tendo em atenção os Critérios de Classificação do Exame.

Transcrição

1 1. Na esola da Rita, fez-se um estudo sobre o gosto dos alunos pela leitura. Um inquérito realizado inluía a questão seguinte. COTAÇÕES «Quantos livros leste desde o iníio do ano letivo?» As respostas obtidas na turma da Rita, relativamente a esta pergunta, estão representadas no gráfio de barras que se segue. Perentagem de alunos da turma da Rita Número de livros lidos Esolhendo, ao aaso, um aluno da turma da Rita, qual dos seguintes aonteimentos é o mais provável? Ter lido menos do que um livro. Signifia que não leu livros (0 zero): 0 % Ter lido mais do que dois livros. Signifia que leu, 4 ou 5 livros: 1+0+4=56 % Ter lido menos do que três livros. Signifia que não leu livros ou que leu apenas 1 ou : =44 % Ter lido mais do que quatro livros. Signifia que leu 5 livros: 4 %

2 . Considera o onjunto A = [ 1, + [.1. Qual das quatro igualdades que se seguem é verdadeira? A [ [ = 1,1, + =[-1, 1[ F -1 1 A [ [ A [ [ A [ [ 1 = 1,1, + =[-1/, 1[ F = 1,1, + =[-/, + [ F 1 = 1,1, + =[-1, + [ V Considera a seguinte inequação: 1 x + 4 Será A o onjunto solução desta inequação? Justifia a tua resposta e apresenta todos os álulos que efetuares. 1º Proesso de resolução 1 x 1 x x x () () x x 1 1 R: A é o onjunto solução da inequação. x CS.. = [ 1, + [ º Proesso de resolução 1 ( 1) 1+ 1 Para a situação limite, x = 1, + = + = + = + 1= 4 À medida que x aumenta, 1-x diminui (ex.: 1-0=1; 1-1=0; 1-=-1; et.), 1 x diminui e 1 x + também diminui, pelo que o resultado também diminuirá, assim o resultado será sempre menor ou igual a 4, logo A é o onjunto solução da inequação. V.S.F.F.

3 . Dois amigos, o Carlos e o João, partiiparam numa orrida de 800 metros. Logo após o sinal de partida, o João estava à frente do Carlos, mas, ao fim de algum tempo, o Carlos onseguiu ultrapassá-lo. Na parte final da orrida, o João fez um sprint, ultrapassou o Carlos e ortou a meta em primeiro lugar. Os gráfios que se seguem representam a relação entre o tempo e a distânia perorrida, ao longo desta orrida, por ada um deles. 500,5,5.1. Quantos metros perorreu durante o primeiro minuto e meio da orrida? Resposta O João perorreu 500 m... Quanto tempo deorreu entre a hegada de ada um dos dois amigos à meta? Apresenta, na tua resposta, esse tempo expresso em segundos.,5-,5=0,5 min, passando a segundos: 0,5x60=15 s Resposta O tempo entre a hegada dos dois amigos foi de 15 s. 4

4 4. Pintaram-se as seis faes de um prisma quadrangular regular antes de o ortar em ubos iguais, tal omo se pode observar na figura. 1 4 Se esolheres, ao aaso, um desses ubos, qual é a probabilidade de o ubo esolhido ter só duas faes pintadas? Apresenta o resultado na forma de uma fração irredutível. Nº de asos possíveis = ubos do prisma = 1 Nº de asos favoráveis = ubos entrais = 4 P (ter faes pintadas) = 4 = 1 1 V.S.F.F. 5

5 5. Uma tenda de iro (figura 1) está montada sobre uma armação. A figura representa uma parte dessa armação. Figura 1 Figura Os pontos A, B, C e D são alguns dos vérties de um polígono regular, ontido no plano do hão da tenda. Os ferros representados pelos segmentos de reta [EA], [FB], [GC] e [HD] têm todos o mesmo omprimento e estão oloados perpendiularmente ao hão. O mastro representado pelo segmento de reta [IJ] também está oloado perpendiularmente ao hão. O ponto K pertene a esse segmento de reta Utilizando as letras da figura, india: uma reta paralela ao plano ABF. Resposta IJ, GC ou HD são paralelas ao plano ABF Obs.: A reta IJ também poderia ser identifiada om as letras IK ou JK um plano não perpendiular ao hão. Resposta EFK ou FGK ou GHK ou EGK ou ABJ ou... 6

6 5.. Um grupo de 0 rianças foi ao iro. Na tabela ao lado, podes observar o preço dos bilhetes, em euros. IDADE Até 10 anos (inlusive) PREÇO (por bilhete) 10 Na ompra dos 0 bilhetes, gastaram 5. Mais de 10 anos 15 Quantas rianças daquele grupo tinham mais de 10 anos de idade? Apresenta todos os álulos que efetuares. 1º Proesso de resolução x número de rianças om mais de 10 anos de idade ( ) 5 = x x 10 5 = 15x x = 15x 10x 5 = 5x = x 7 = x 5 R: No grupo de rianças que foi ao iro, existiam 7 om mais de 10 anos de idade. º Proesso de resolução 10 x 15 = 150 e 10 x 10 = 100 dá = 50 Dado que dá um valor superior ao gasto na ompra de bilhetes, o número de alunos om mais de 10 anos de idade é menor que x 15 = 75 e 15 x 10 = 150, dá = 5 Dado que dá um valor inferior ao gasto na ompra de bilhetes, o número de alunos om mais de 10 anos de idade é maior que 5. 7 x 15 = 105 e 1 x 10 = 10, dá = 5 Dado que dá o valor gasto na ompra de bilhetes, o número de alunos om mais de 10 anos de idade é Esreve um número irraional ompreendido entre 4 e 5. Resposta Muitas raizes são números irraionais, por exemplo, poderá ser qualquer raiz quadrada entre 4= 16 e 5= 5 (que não são números irraionais), ou seja, 17, 18,..., 4. Usando a raiz úbia, poderia indiar uma entre 4= 64 e 5 = 15. Poderia ter ainda usado um outro valor irraional, omo 4, ou π + 1. V.S.F.F. 7

7 7. Na figura está representado um deágono regular [ABCDEFGHIJ], insrito numa irunferênia de entro O. Os segmentos de reta [ID] e [HC] são diâmetros desta irunferênia Após uma rotação de entro em O e de amplitude 144 (sentido ontrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloa-se para uma posição que, antes da rotação, era oupada por outro ponto. De que ponto se trata? Uma irunferênia tem 60 de aro. Dado o deágono ser regular, os lados são iguais e os aros ontidos entre os seus vérties também, assim: 60 :10 = 6. Os 144 orrespondem a: 144 : 6 = 4 lados. Resposta A desloa-se para a posição oupada por G 7.. Ao observar a figura, a Rita afirmou: «A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.» Uma vez que a Rita não tinha transferidor, omo é que ela poderá ter hegado a esta onlusão? Justifia a tua resposta. 1º Proesso CHI e CDI são ângulos insritos no mesmo aro, pelo que as suas amplitudes são iguais. º Proesso ˆ CI = 144 CDI = = 7 e CI = 144 CHI ˆ = = 7 Ver outras resoluções possíveis na página 14. 8

8 7.. Com o auxílio de material de desenho, insreve, na irunferênia abaixo desenhada, um triângulo equilátero. O ponto que está marado no interior da irunferênia é o seu entro. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para onstruíres o triângulo. 1º Proesso Ver outra resolução possível na página 15. V.S.F.F. 9

9 8. Existem vários retângulos, de dimensões diferentes, om 18 m de área Completa a tabela que se segue, indiando em m, o omprimento e a largura de três retângulos diferentes (A, B e C), om 18 m de área. Retângulo A Retângulo B Retângulo C Comprimento (m) 4 18 : 0,5 = 6 1 Largura (m) 18 : 4 = 4,5 0,5 18 Obs.: outras medidas possíveis para C seriam: 9x, 6x, x6, x9 ou 18x Qual dos gráfios seguintes pode representar a relação entre a largura (l) e o omprimento () de retângulos om 18 m de área? Gráfio A Gráfio B Gráfio C GráfioD l m = 18 orresponde a uma proporionalidade inversa, pelo que o gráfio deve ser uma urva hipérbole. Os gráfios A e B são retas pelo que não representam aquela relação. O gráfio D não apresenta a relação 18x1 pelo que também não representa a relação. Assim, o gráfio C terá de representar a relação. 10

10 9. O aesso a uma das entradas da esola da Rita é feito por uma esada de dois degraus iguais, ada um deles om 10 m de altura. Com o objetivo de failitar a entrada na esola a pessoas om mobilidade ondiionada, foi onstruída uma rampa. Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi onstruída de modo a fazer om o solo um ângulo de, omo se pode ver no esquema que se segue (o esquema não está à esala). Determina, em metros, o omprimento,, da rampa. India o resultado arredondado às déimas e apresenta todos os álulos que efetuares. Sempre que, nos álulos intermédios, proederes a arredondamentos, onserva quatro asas deimais. 1º Proesso de resolução / 10 m sen = 0, 05 = 0,05 = , 409m,8m 0, 05 º Proesso de resolução 0 m 0 0 sen = 0, 05 = 0,05 = 0 0 8, 409m,8m 0, 05 Ver outras resoluções possíveis na página 14. V.S.F.F. 11

11 10. Quatro amigos enontraram-se para resolver um problema de Matemátia que envolvia o álulo do perímetro de um írulo om 10 m de diâmetro. Na tabela que se segue, está indiado o valor que ada um obteve para o perímetro do írulo. Rita Carlos João Sofia 1,4 m 1,41 m 1,4 m 1,4 m Qual dos quatro amigos obteve uma melhor aproximação do perímetro daquele írulo? Rita Carlos João Sofia d = 10 m r = 5 m P= π r, = 1,4159 m Arredondamento por defeito: 1,4159-1,41 = 0,0059 Arredondamento por exesso: 1,4-1,4159 = 0,0041 A melhor aproximação é a que tem menor erro, ou seja, 1,4 m, a medida indiada pelo João. 1

12 11. Arrumaram-se três esferas iguais dentro de uma aixa ilindria (figura 1). Como se pode observar no esquema (figura ): a altura da aixa é igual ao triplo do diâmetro de uma esfera; o raio da base do ilindro é igual ao raio de uma esfera. Mostra que: Figura 1 Figura O volume da aixa que não é oupado pelas esferas é igual a metade do volume das três esferas. (Nota: designa por r o raio de uma esfera.) Pretende-se mostrar que: Ve V Ve = Como: 4 Ve = π r e V = Ab a= π r 6 r = 6 π r Substituindo: 4 4 π r 4 π r 6 π r π r = 6 π r 4 π r = r = r π π FIM V.S.F.F. 1

13 Estas duas páginas só devem ser utilizadas se quizeres ompletar ou emendar qualquer resposta. Caso as utilizes, não te esqueças de identifiar laramente ada uma dessas respostas. 7. º Proesso CD = 6 COD ˆ = 6 e IH = 6 IOH ˆ = 6. IHO são triângulos isóseles, logo CDI ˆ = DCH ˆ e [ CDO] e [ ] IHC ˆ = HID ˆ. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180 : CDI ˆ + DCH ˆ + COD ˆ = 180 CDI ˆ + CDI ˆ + COD ˆ = 180 ˆ ˆ CDI + 6 = 180 CDI = = 7 IHC ˆ + HID ˆ + HOI ˆ = 180 IHC ˆ + IHC ˆ + HOI ˆ = 180 ˆ ˆ IHC + 6 = 180 IHC = = 7 4º Proesso A aros iguais orrespondem ordas iguais: CD = IH CD = IH. São raios CO = DO = HO = IO. Como os lados orrespondentes de [ CDO] e [ IHO] são iguais então os triângulos são geometriamente iguais e CHI ˆ = CDI ˆ. 9. º Proesso de resolução 0 m x 0 0 tg = x = x tg 0 x 81, 67m 0, 054 = x + 0 = 81, = 14565, = 14605,885 = 14605,885 8,1464m,8m 4º, 5º e 6º Proessos de resolução 0 m = 0, m Usar as resoluções anteriores om valores em metros. Por exemplo, o segundo proesso de resolução passa a ter a forma: 0, 0, 0, sen = 0, 05 = 0,05 = 0,,8m 0, 05 0, m 14

14 7. º Proesso Determinar a amplitude do ângulo ao entro: 60 : = 10. Marar um raio. Medir e marar os ângulos ao entro a partir dele. Desenhar o polígono (triângulo) insrito na irunferênia. Total 15