Unidade didáctica: circunferência e polígonos. Matemática 9º ano

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1 Unidade didáctica: circunferência e polígonos Matemática 9º ano

2 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono DEFINIÇÃO: Um polígono é uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Em qualquer polígono podemos considerar ângulos internos e ângulos externos.

3 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÔNCAVO Unindo dois quaisquer dos seus pontos, o segmento de recta obtido está sempre contido no polígono. Existem sempre, pelo menos, dois dos seus pontos que unidos, formam um segmento que não está contido no polígono.

4 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS/ LADOS POLÍGONO REGULAR POLÍGONO NÃO REGULAR Todos os lados e ângulos são geometricamente iguais. Nem todos os lados e ângulos são geometricamente iguais.

5 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Sabemos que: a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. um polígono pode ser dividido em triângulos, traçando as suas diagonais (segmentos de recta que unem vértices não consecutivos) Então, preenchendo a seguinte tabela, traçado todas as diagonais possíveis que partem de um só vértice, podemos dividi-los em triângulos

6 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono n lados Nº de lados Nº de triângulos que ficou dividido Soma dos ângulos internos de um polígono n n - 2 2x180º 3x180º 4x180º 5x180º (n - 2)x180º

7 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO CONCLUSÃO A soma Si das medidas das amplitudes dos ângulos internos de um polígono (convexo) com n lados é dada pela expressão: Si = (n - 2) x 180º Se polígono for regular com n lados, qual a medida da amplitude de um ângulo interno?

8 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono Se polígono for regular, todos os ângulos são geometricamente iguais. Então: A amplitude de um ângulo interno de um polígono (convexo) regular com n lados é dada pela expressão: S i ( n 2) 180º n n

9 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Consideremos, por exemplo, um pentágono: Repare: A, B, C, D, E são vértices. a, b, c, d, e são ângulos internos. a, b, c, d, e são ângulos externos

10 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Repare: a + a = 180º b + b = 180º c + c = 180º d + d = 180º e + e = 180º

11 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Assim, a soma das medidas das amplitudes de todos os ângulos, quer externos, quer internos, é então: 5 x 180º = 900º Sendo o pentágono com 5 lados, a soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos é igual a: (5-2) x 180º = 3 x 180º = 540º

12 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO Então, a soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos do pentágono será: 900º - 540º = 360º Ou seja: a + b + c + d + e = 360º O que se passará com os outros polígonos?

13 POLÍGONOS. Ângulos de um polígono SOMA DAS MEDIDAS DAS AMPLITUDES DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO CONCLUSÃO A soma das medidas das amplitudes dos ângulos externos não depende do número de lados do polígono convexo. Então: A soma Se das medidas das amplitudes dos ângulos externos de qualquer polígono (convexo) é igual a 360º

14 Cada uma das seguintes figuras representa uma circunferência e um polígono: O polígono está inscrito na circunferência O polígono não está inscrito na circunferência

15 Cada uma das seguintes figuras representa uma circunferência e um polígono: Todos os seus vértices são pontos da circunferência Nem todos os seus vértices são pontos da circunferência

16 Cada uma das seguintes figuras representa uma circunferência e um polígono: Nenhum destes polígonos é regular

17 Um polígono é regular se tiver todos os lados e todos os ângulos geometricamente iguais entre si. Dada uma circunferência é SEMPRE possível inscrever nela um plígono regular Se um polígono não for regular, NEM SEMPRE é possível fazê-lo

18 RECORDA Numa circunferência, a arcos iguais correspondem cordas iguais e vice versa. e a ângulos ao centro iguais correspondem arcos iguais e cordas iguais e vice versa.

19 Construção de POLÍGONOS REGULARES Vamos construir os seguintes polígonos regulares: Triângulo regular (equilátero) Quadrado Pentágono regular Hexágono regular

20 Construção de POLÍGONOS REGULARES O triângulo regular: TRIÂNGULO EQUILÁTERO

21 Construção de POLÍGONOS REGULARES TRIÂNGULO EQUILÁTERO Como inscrever um triângulo equilátero numa circunferência? Começamos, então, por construir uma circunferência.

22 Construção de POLÍGONOS REGULARES TRIÂNGULO EQUILÁTERO Repara que: A amplitude de uma circunferência é de 360º. Se conseguirmos medir 3 ângulos ao centro com a mesma amplitude, vamos obter 3 arcos iguais e, consequentemente, 3 cordas com a mesma medida. 360º : 3 = 120º

23 Construção de POLÍGONOS REGULARES TRIÂNGULO EQUILÁTERO B???? 120º??? 120º A 120º C

24 Construção de POLÍGONOS REGULARES O quadrado

25 Construção de POLÍGONOS REGULARES QUADRADO Para construir o quadrado vamos repetir o procedimento anterior. 360º : 4 = 90º

26 Construção de POLÍGONOS REGULARES QUADRADO B??????? A C o06 D

27 Construção de POLÍGONOS REGULARES O pentágono regular

28 Construção de POLÍGONOS REGULARES PENTÁGONO REGULAR O processo é sempre o mesmo: Neste caso dividimos a circunferência em 5 arcos iguais. Para isso, traçamos 5 ângulos ao centro com amplitude 72º, já que 360º : 5 = 72º.

29 Construção de POLÍGONOS REGULARES PENTÁGONO REGULAR

30 Construção de POLÍGONOS REGULARES O hexágono regular

31 Construção de POLÍGONOS REGULARES HEXÁGONO REGULAR Não tem nada que saber: Agora é só dividir a circunferência em 6 arcos iguais. Como 360º : 6 = 60º, traçam-se ângulos ao centro com 60º de amplitude.

32 Construção de POLÍGONOS REGULARES HEXÁGONO REGULAR 60º

33 Construção de POLÍGONOS REGULARES REPARA NO SEGUINTE: Em todas as construções, tal como em todas as de outros polígonos regulares Basta traçar um ângulo ao centro com o transferidor

34 Uma vez determinado um arco, obtemos dois vértices do polígono que queremos construir Com o compasso obténs os restantes ( Porque se sabe que os comprimentos dos arcos são iguais )

35 Construção de POLÍGONOS REGULARES CONCLUSÃO Para construir qualquer polígono regular de n lados segue-se sempre o mesmo procedimento, dividindo a circunferência em n arcos geometricamente iguais. Faz-se 360 n 0

36 Construção de POLÍGONOS REGULARES ACTIVIDADE A O caso do Hexágono Regular Justifica que: 60º B OA OB OÂB OBˆ A o OAB é equilátero. Se o é equilátero, então tem os lados todos iguais e, portanto, o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência.

37 Construção de POLÍGONOS REGULARES O caso do Hexágono Regular PROPRIEDADE A 60º B O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual ao raio dessa circunferência. Cuidado!!! Esta propriedade só é válida para os hexágonos!

38 Áreas de POLÍGONOS regulares Em cada um dos polígonos regulares, traçou-se o segmento de recta [OT], que une o centro da circunferência ao ponto médio T do lado, sendo-lhe perpendicular. Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados. A apótema é perpendicular a esse lado.

39 Áreas de POLÍGONOS regulares Como determinar a área de um pentágono regular? Consideremos um pentágono inscrito numa circunferência... Dividimos o pentágono em 5 triângulos geometricamente iguais. Quando decompomos o pentágono em triângulos verificamos que a apótema coincide com a altura do triângulo. A área do pentágono é igual a 5 vezes a área de um dos triângulos. A 5 ABCDE A AOB

40 Áreas de POLÍGONOS regulares Como determinar a área de um pentágono regular? Designando por L a medida do lado do pentágono, temos: A AOB L ap 2 Logo: P 5L A 5 ABCDE A AOB A ABCDE A ABCDE A ABCDE L ap 5 2 ap 5L 2 ap P 2 A ABCDE P ap 2

41 Áreas de POLÍGONOS regulares Como determinar a área de um pentágono regular? Então, a área de um pentágono regular pode-se determinar usando a seguinte fórmula: P A ap ABCDE 2 Se experimentares com outros polígonos regulares, verifica-se a mesma fórmula.

42 Áreas de POLÍGONOS regulares SÍNTESE Para calcular a área A de um polígono regular pode-se recorrer à seguinte fórmula: A P 2 ap ap apótema Em alternativa à fórmula, é sempre possível dividir o polígono regular de n lados em n triângulos geometricamente iguais. A área A do polígono será a soma das áreas dos triângulos em que foi dividido: A n A (altura do triângulo = apótema do polígono)

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