Fornecer provas para alguns dos resultados apresentados sem demonstração.

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1 INTRDUÇÃ Este conjunto de testes formativos para a cadeira de Geometrização baseiase na matéria do livro Geometria, Barnett Rich, Schaum s easy outlines, McGraw Hill. Com este conjunto de testes formativos visa-se atingir três objectivos: Fornecer provas para alguns dos resultados apresentados sem demonstração no livro. Apresentar alguns exercícios resolvidos. Dar uma ideia do formato dos exames. Sobre o último ponto, convém esclarecer que os exames não vão ser cópias dos testes, nem tão pouco matérias não tratadas nos testes ficam fora da matéria a avaliar em exame. Estes testes devem ser vistos como guias aproximados mas não modelos exactos dos exames. Sobre os dois pontos iniciais, serão posteriormente fornecidos mais elementos de estudo na página da cadeira que ficará em s alunos são convidados a enviar perguntas por para Estas perguntas terão sempre resposta. Algumas por telefone, outras por e outras, se assim se justificar, serão acrescentadas e respondidas na página da cadeira. A propósito e a despropósito podem os alunos contactar o professor da cadeira pelo telefone Segundas Feiras 10h-17:0h Terças Feiras 10h-1h. 1

2 Desejo-lhes as maiores felicidades e bom estudo. Com os meus cumprimentos, João Araújo

3 1 o TESTE FRMATIV

4 1. Sejam C 1 e C duas circunferências distintas e exteriores uma à outra. Indique uma construção que lhe permita determinar a menor distância entre elas. R: A menor distância entre duas circunferências exteriores é a medida do menor segmento que une as duas figuras (ver página 4 do manual). Seja C 1 uma cricunferência de raio r 1 e centro 1. Seja C uma cricunferência de raio r e centro. Traçamos o segmento 1 que corta C 1 em A 1 e corta C em A. Vamos provar que A 1 A é o menor segmento que une as duas cricunferências. Seja B 1 um ponto de C 1 e B um ponto de C. B 1 B A 1 A. 1 Temos de considerar dois casos. Vamos provar que Caso 1: segmento B 1 B corta A 1 A no ponto D. Neste caso temos DA 1 + r 1 DB 1 + r 1 porque num triângulo a medida de um lado é inferior à soma dos outros dois lados. Analogamente, temos DA + r DB + r porque num triângulo a medida de um lado é inferior à soma dos outros dois lados. Logo DA 1 + r 1 DB 1 + r 1 DA + r DB + r implica DA 1 + r 1 + DA + r DB 1 + r 1 + DB + r 1 Representamos um segmento de extremos A e B por AB. A medida do segmento AB representa-se por AB. 4

5 donde resulta DA 1 + DA DB 1 + DB e bem assim A 1 A B 1 B, porque DA 1 + DA = A 1 A e DB 1 + DB = B 1 B. B 1 Caso 1 D 1 A 1 A B Caso : segmento B 1 B não corta A 1 A. Neste caso consideramos l, a perpendicular a A 1 A no ponto médio de A 1 A, digamos D. Seja E o ponto em que B 1 B corta l. Neste caso E 1 D 1, porque D 1 é um cateto de um triângulo rectângulo e E 1 é a hipotenusa do mesmo triângulo e, num triângulo rectângulo, a hipotenusa é maior que qualquer um dos catetos. Caso B 1 B E 1 A D A 1 Da mesma forma se prova que D E. Portanto D 1 + D E 1 + E. 5

6 Por outro lado E 1 EB 1 +r 1, porque num triângulo cada lado mede menos que a soma dos outros dois. Seja E C1 o ponto em que E 1 corta C 1. Claramente EE C1 +r 1 = E 1 EB 1 +r 1 e portanto EE C1 EB 1. Da mesma forma se prova que EE C EB. Agora temos o que implica 1 1 E + E r 1 + B 1 B + r A 1 A = 1 r 1 r 1 E r 1 + E r = E 1 E C1 +E E C B 1 +B. Está provado que A 1 A B 1 B e portanto a distância entre C 1 e C é A 1 A.. Usando os critérios de congruência de triângulos, prove que a diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes. R: Seja ABCD um paralelogramo e AC uma diagonal. Temos CAB = ACD, porque são ângulos alternos internos. Analogamente, ACB = CAD. Portanto podemos aplicar a.l.a., dado que o lado AC é comum aos dois triângulos.. Prove que uma tangente a uma circunferência faz uma ângulo de 90 o com o raio que liga o ponto de tangência ao centro da circunferência. R: Aplica-se a Propriedade 9 na página 70. Neste caso a corda é o diâmetro da circunferência. arco, portanto, mede 180 o ; logo o ângulo mede 180 o /=90 o. A tangente é perpendicular ao diâmetro. 4. Seja ABC um triângulo rectângulo em B. Seja D um ponto no segmento AC tal que o ângulo ADB mede 90 o. Prove que os triângulos BDA e BCD são semelhantes. R: Temos que os triângulos ABC, ADB e CBD são todos rectângulos. Mais ainda, ABC e ADB têm um ângulo comum, o ângulo de vértice em A. Logo, pela Propriedade 6 (página 80), os dois são semelhantes. De forma análoga se prova que ABC e CBD são semelhantes. Portanto, ABC ADB e ABC CBD, implicam, pela Propriedade 8 (página 80), que temos ADB CBD. Note-se que este resultado sai directamente da Propriedade 9 (página 80). 6

7 5. Sejam H 1 e H dois hexâgonos de lado l 1 e l, respectivamente. Supondo que l 1 = l, diga qual é a relação entre as áreas de H 1 e H. R: No hexâgono, pelas páginas 94-95, temos A = 1 pr. Como o lado de H 1 mede l 1, temos A 1 = 1(6l 1)r. Resta-nos determinar o r em função de l 1. Pela página 94, r = 1R e R = l 1. Logo r = 1l 1, pelo que temos A 1 = 1(6l 1)r = 1(6l 1) 1l 1 = l 1. Analogamente, A = l. Agora, como l 1 = l, temos A 1 = l 1 = (l ) = 4(l ) = 4 (l ) = 4A. 6. Considere uma circunferência de raio e um quadrado inscrito. Determine a medida da área exterior ao quadrado e interior à circunferência. R: Seja ABCD um quadrado inscrito numa circunferência de centro. ângulo AB mede 90 o e por isso o sector definido por ele tem área A = 4 60 π (ver Propriedade, página 98). Por sua vez o triângulo AB tem área. Logo a área no interior da circunferência e no exterior do AB é a = 4 60 π. Como esta área é um quarto da área pretendida na pergunta, multiplicamos a por 4, obtendo 4a = π 4 = π Construa um triângulo equilatero. R: Com uma régua constroi-se um segmento AB. Com um compasso constroi-se um circunferência de centro em A e raio AB. Com a mesma abertura constroi-se uma circunferência de centro em B. As circunferências cruzam-se em dois pontos, digamos C, D. Com a régua traçam-se os segmentos AC e BC. Como C pertence à circunferência de centro em B e raio AB, temos que BC = AB. Analogamente, C pertence à circunferência de centro em A e raio AB. Logo AC = AB. Está provado que AB = BC = AC. 8. Prove que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 o. R: É a demonstração na página 16. Em todos os exames sairá uma demonstração similar a alguma das demonstrações do Apêndice B. Convém pois conhecê-las todas em pormenor. 7

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