Oficina Ensinando Geometria com Auxílio do Software GEOGEBRA. Professor Responsável: Ivan José Coser Tutora: Rafaela Seabra Cardoso Leal

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1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Apucarana Projeto Novos Talentos Edital CAPES 55/12 Oficina Ensinando Geometria com Auxílio do Software GEOGEBRA Professor Responsável: Ivan José Coser Tutora: Rafaela Seabra Cardoso Leal Apucarana

2 Tutorial Geogebra 1. Introdução O software GEOGEBRA é uma excelente ferramenta para o ensino da geometria, pois através dessa ferramenta muitas simulações podem ser realizadas, permitindo com isso a verificação de resultados e propriedades importantes. Nessa oficina pretende-se apresentar as ferramentas disponíveis no software GEOGEBRA bem como a sua utilização no desenvolvimento do ensino da geometria e da criatividade também. Nesse tutorial apresentaremos alguns comandos e recursos somente. 2. Área Gráfica Usando as ferramentas disponíveis na Barra de Ferramentas é possível realizar construções geométricas na Zona Gráfica com o mouse. Selecione qualquer ferramenta na Barra de Ferramentas e leia a ajuda da Ferramenta (a seguir à barra de ferramentas) assim será possível verificar como a ferramenta será utilizada. Nota: Pode-se mover objetos na Zona Gráfica arrastando-os com o mouse. Cada ícone na barra de ferramentas representa uma caixa de ferramentas que contém um conjunto de ferramentas similares. Para abrir uma caixa de ferramentas, basta clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito do respectivo ícone. 2.1 Comandos O comando serve para movimentar objetos na área gráfica. Para isso selecione primeiramente no canto superior esquerdo e movimente o objeto que deseja no interior da área gráfica. Rotação em Torno de um Ponto O comando, Rotação em torno de um ponto, serve para rotacionar um objeto em torno do ponto selecionado. Para isso, selecione primeiro a opção Rotação em torno de um ponto no canto superior esquerdo, escolha o ponto que será o centro de rotação e, por fim, arraste o objeto. Neste exemplo, o ponto selecionado foi o ponto A.

3 2.2 Comandos Novo Ponto O comando, Novo Ponto, serve para criar um ponto na área gráfica. Basta clicar nesta opção e arrastar o mouse para zona gráfica e clicar em qualquer lugar que o novo ponto surgirá. Ponto em Objeto O comando, Ponto em Objeto, serve para criar um ponto no objeto ou em sua fronteira. Para isto, basta clicar nesta opção no canto superior esquerdo e clicar no local onde deseja criar este ponto dentro do objeto ou em sua fronteira. Interseção de dois objetos Selecione a opção Interseção de dois objetos, depois clique nos dois objetos que possuem pontos de interseção.

4 Ponto Médio ou Centro Esta opção serve para localizar o ponto médio entre dois pontos ou o ponto médio de um segmento. Para obter o ponto médio de um segmento basta selecionar a opção ponto médio e clicar nos dois pontos extremos do segmento. 2.3 Comandos Reta definida por dois pontos O comando, Reta definida por Dois Pontos, permite a construção de uma reta passando por dois pontos. Para isso, selecione primeiro a opção Reta Definida por Dois Pontos, clique na zona gráfica em dois pontos distintos que a reta será construída.

5 Segmento definido por dois pontos Este comando serve para construir um segmento de reta definido por dois pontos. Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e clique em dois pontos distintos na zona gráfica. Segmento com comprimento fixo Este comando é muito semelhante ao comando apresentado acima, a diferença é que neste comando o comprimento do segmento deve ser definido. Primeiramente, selecione a opção Segmento com Comprimento Fixo, clique na zona gráfica em um ponto qualquer. Quando clicar na zona gráfica aparecerá uma janela onde deverá ser informado o comprimento do segmento. Após defini-lo, cria-se o segmento com comprimento fixo. Reta Perpendicular Este comando serve para criar uma reta perpendicular a um objeto disposto na área gráfica. Marque um ponto sobre o objeto existente na zona gráfica. Selecione a opção Reta Perpendicular, clique no ponto sobre objeto e depois no objeto. Assim, será construída uma reta perpendicular ao objeto no ponto indicado.

6 Reta Paralela Este comando serve para criar uma reta paralela a um objeto disposto na área gráfica. Marque um ponto sobre o objeto existente na zona gráfica. Selecione a opção Reta Paralela, clique no ponto sobre objeto e depois no objeto. Assim, será construída uma reta paralela ao objeto no ponto indicado. Mediatriz A mediatriz é o Lugar Geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de dois pontos dados. Este comando serve para criar uma mediatriz entre dois pontos. Para isto, basta selecionar a opção Mediatriz clicar em dois pontos que representam os extremos de um segmento. Bissetriz Bissetriz é o segmento que parte do vértice de um ângulo dividindo-o este ângulo em dois ângulos adjacentes e congruentes. Para construir a bissetriz de um ângulo, marque um ponto em cada um dos lados do ângulo. Selecione a opção Bissetriz, clique no ponto de um dos lados, no vértice e depois no ponto do outro lado.

7 2.4 Comandos Polígono Este comando serve para criar polígonos. Para isto, selecione a opção Polígono, clique na zona gráfica quantas vezes quiser. O número de lados do polígono dependerá de quantos pontos são criados na zona gráfica. Para finalizar o polígono o último ponto do polígono deve coincidir com o primeiro ponto criado. Polígono Regular Este comando serve para criar um polígono regular, ou seja, os lados são congruentes e os ângulos são congruentes. Para isso, selecione a opção Polígono Regular e clique em dois pontos distintos na zona gráfica. Aparecerá uma janela para definir a quantidade de vértices. Definindo o número de vértices o polígono será criado. Neste exemplo foi criado um polígono regular de 6 vértices.

8 2.5 Comandos Círculo dado centro e um de seus pontos O comando permite a construção de uma circunferência ou circulo a partir do centro e de um ponto da circunferência ou círculo. Selecione a opção Circulo dados Centro e um de seus pontos, clique na zona gráfica, logo aparecerá um ponto que será o centro, mova o mouse e de um novo clique, logo o círculo ou circunferência ficará determinado. Círculo dado centro e raio Aqui você pode construir uma circunferência ou círculo com raio definido. Selecione a opção Círculo dado centro e raio, clique num ponto qualquer da zona gráfica. A seguir será aberta uma janela onde deve ser informado o comprimento do raio. Dando Ok o círculo ou circunferências já será criado na sequencia.

9 Compasso Para construir um círculo ou uma circunferência podemos usar o comando Compasso. Selecione a opção, marque dois pontos na zona gráfica e depois clique no ponto que será o centro do círculo ou circunferência. No exemplo abaixo criou-se o ponto A e depois o ponto B, a distância entre A e B representa o raio do círculo ou circunferência de centro B. Círculo definido por três pontos Selecione a opção Círculo definido por três pontos e clique em três pontos distintos na zona gráfica que a circunferência ou círculo será construído automaticamente. Este comando é mais uma forma de criar um círculo. Desta forma, selecione três pontos para que o círculo seja formado. Semicírculo definido por dois pontos Este comando permite construir um semicírculo. Primeiramente, selecione a opção e marque dois pontos na zona gráfica, desta forma o semicírculo ficará definido entre esses dois pontos.

10 Arco circular dados centro e dois pontos Este comando serve para criar um arco circular. Primeiramente, selecione esta opção, marque um ponto na zona gráfica, ele será o centro do arco circular. A seguir clique em outros dois pontos distintos da zona gráfica e assim o arco circular estará definido. Arco circular definido por três pontos Este comando permite criar um arco circular. Primeiramente, selecione esta opção e clique em três pontos distintos da zona gráfica, assim o arco circular ficará determinado. Setor circular dado centro e dois pontos Este comando permite criar um setor circular. Para isso, devemos primeiramente, selecionar esta opção. Clique num ponto da zona gráfica (centro) e, por fim, clique em outros dois pontos distintos da zona gráfica para obter o setor circular.

11 Setor Circular definido por três pontos Este permite criar também um setor circular utilizando três pontos distintos. Selecione a opção e clique em três pontos distintos da zona gráfica logo o setor circular será formado. 2.6 Comandos Ângulo Este comando permite medir a medida dos ângulos interno e externo. Para isso selecione a opção Ângulo, clique alternadamente em três pontos A, B, C consecutivos e distintos, logo o GEOGEBRA apresentará a medida do ângulo associado ao vértice B.

12 Distância, Comprimento ou Perímetro Este comando permite realizar a medida da distância entre dois pontos, o comprimento de um segmento ou o perímetro de uma figura plana. Para usá-lo basta selecioná-lo e depois clicar em dois pontos, ou um segmento, ou um polígono, ou um círculo. O GEOGEBRA calculará automaticamente a distância, comprimento ou perímetro. Área Este comando serve para calcular a área de um polígono ou círculo. Para usá-lo, basta selecionar a opção Área e clicar no polígono ou círculo que se deseja obter a medida de área. 2.7 Comandos Transformações Geométricas

13 Reflexão de um Objeto em Relação a uma Reta. Para realizar a Reflexão de um objeto em relação a uma reta, primeiramente, deve-se selecionar o comando acima. Na sequencia deve-se clicar no objeto que deve ser refletido e na reta pela qual ocorrerá a reflexão. Veja o exemplo a seguir, que mostra a reflexão de um triângulo ABC em relação a reta que contém o segmento AB. Reflexão de um Objeto em Relação a um Ponto. Para realizar a Reflexão de um objeto com relação a um ponto, primeiramente, deve-se selecionar o comando acima. Depois, deve-se clicar no objeto que deve ser refletido e o ponto através do qual ocorrerá a reflexão. Veja o exemplo a seguir, que mostra a reflexão de um quadrado ABCD em relação ao ponto B. Girar objeto em torno de um ponto. Selecione primeiramente o comando acima. Clique no objeto a ser rotacionado. A seguir, com um clique marque o ponto chamado de centro da rotação. Então, aparecerá uma janela na qual deve ser informado a medida em graus do ângulo de rotação e o sentido ( horário ou anti-horário). Veja o exemplo a seguir, que mostra a rotação de um pentágono regular ABCDE em torno do ponto B, com ângulo de 60º no sentido anti-horário.

14 Translação por um vetor Primeiramente selecione a opção acima. Clique no objeto a ser transladado. Depois, com um clique se marca o vetor de translação. Veja o exemplo a seguir, onde aparece a translação de circunferência, na direção e sentido indicado pelo vetor. Homotetia Primeiramente selecione a opção acima. Clique no objeto a ser ampliado ou reduzido. A seguir, clique no ponto que funcionará como centro da Homotetia. Então, aparecerá uma janela onde você especificará o fator da Homotetia. A seguir são apresentados dois exemplos de Homotetia, um deles representa uma Homotetia de redução e a outra Homotetia de ampliação. Inserir Texto Este comando serve para inserir um texto ou um símbolo na área gráfica. Basta selecionar esta opção que aparecerá uma janela para escrever o que deseja, clique OK e o texto aparecerá na área gráfica.

15 Lista de Atividades Utilizando o Software Geogebra. Resolver os exercícios propostos abaixo com o auxílio do software Geogebra. 1- Construa um triângulo equilátero ABC de lado l= 3 cm. Determine seu perímetro e área. 2- Construa um paralelogramo ABCD de lados AB = 6 cm e BC = 4 cm. Determine seu perímetro e área. 3- Construa um círculo com centro (2, 3) e um de seus pontos sendo (2, 1). Determine a medida do raio deste círculo. 4- Crie um seletor de intervalo de 0 a 5. Construa um círculo com centro (0, 0) e raio dependente do seletor. (para isso quando o círculo pedir o tamanho do raio coloque a letra que representa o seletor). Movimente o seletor 5- Construa um círculo definido pelos seguintes pontos: (2, 2), (1, 4), (3, 4), (dica: crie os pontos primeiro, e você pode utilizar a ferramenta exibir malha para facilitar a localização dos pontos). Use a opção propriedades e faça alterações na figura, como cor e preenchimento. 6- Construa um segmento com uma extremidade em A(3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vírgula devemos colocar o ponto). 7- Construa um segmento AB de medida 8 cm. Construa a seguir a mediatriz do segmento AB. Marque um ponto C sobre a mediatriz e meça a distância deles até as extremidades. Movimente o ponto C sobre a mediatriz e verifique o que acontece com a medida do segmento AC e BC. 8- Construa duas retas paralelas entre si. Construa uma concorrente a essas duas retas. Meça o ângulo formado na intersecção delas. 9- Construa um ângulo de 60 utilizando a ferramenta ângulo com amplitude fixa. Determine sua bissetriz. 10- Construa um ângulo qualquer, e determine sua medida. Utilizando a ferramenta bissetriz, determine sua bissetriz. 11- Construa um setor circular com raio 4 cm. Meça seu ângulo, determine sua área e seu comprimento. 12- Construa um círculo pelo centro (A) e um de seus pontos (B). Marque três outros pontos (C, D e E) do círculo. Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. Marque o ângulo inscrito CÊD e o ângulo central CÂD. Observe, na janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as. 13- Construir um triângulo retângulo isósceles usando as ferramentas disponíveis no Geogebra. 14- Utilizando a ferramenta polígono, construa um triângulo qualquer. Determine uma das bissetrizes deste triângulo, utilizando a ferramenta bissetriz. 15- Construa um triângulo equilátero de lado 5 cm. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados. 16- Construa um triângulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados. 17- Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente um dos vértices e observe o que ocorre. 18- Construir um mosaico utilizando quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos regulares. 19- Construir uma pizza dividindo-a em 8 partes iguais. (Use a ideia de ângulo).

16 20- Construir um relógio de parede. Utilizar algarismos romanos. 21- Construir um triângulo ABC conhecendo-se os lados a=5 cm, b=3,5 cm, o ângulo ABC = Construir um triângulo ABC conhecendo-se o lado a= 5 cm e os ângulos ABC = 30º e ACB = 45º. 23- Construir um triângulo ABC conhecendo-se os lados a = 4 cm, b = 3 cm e o ângulo ACB = 60º. 24- Construir um trapézio ABCD conhecendo - se a medida das bases AB = 3 cm, CD = 4,5 cm e altura h = 2 cm. 25- Construir um trapézio ABCD conhecendo-se a medida das bases AB = 4 cm, CD = 3 cm e a diagonal AC = 4 cm. 26- Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se a medida dos lados AB = 4 cm, BC = 7 cm e o ângulo ABC medindo Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se a medida dos lados AB = 5 cm, BC = 3 cm e a diagonal AC = 4 cm. 28- Construir um paralelogramo conhecendo-se a medida das diagonais BD = 4 cm, AC = 3 cm e o ângulo BAD = 120º. 29- Construir uma paisagem com casa, árvores, cercas e pessoas utilizando as ferramentas do Geogebra. 30- Construir uma Roda Gigante, em movimento usando o mesmo raciocínio do cata-vento. 31- Construa um triângulo equilátero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos internos. 32- Construa um triângulo ABC. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém a ferramenta reta perpendicular), construa a mediatriz do lado AB e a do lado AC. Marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D. Trace a círculo de centro D que passa por A. Observe as posições dos pontos B e C em relação à círculo. Movimente um dos vértices do triângulo e enuncie com suas palavras a propriedade que você observou. 33- Construir uma bicicleta em movimento. Utilize o mesmo raciocínio do cata-vento, considerando duas circunferências. 34- Construir um caminhão em movimento. Utilize o mesmo raciocínio do cata vento, considerando duas rodas. 35- Construir um barco em alto mar num dia ensolarado. 36- Construa um triângulo ABC qualquer, obtenha com o auxílio do recurso de rotação um triângulo DEF congruente ao triângulo ABC. 37- Construa um quadrilátero ABCD qualquer, obtenha um quadrilátero EFGH através da Homotetia com fator k = 2 semelhante ao quadrilátero ABCD. Determine a área dos dois quadriláteros e diga qual é a relação existente. 38- Construa um pêndulo e coloque-o em movimento. 39- Considerando a proximidade dos jogos olímpicos de 2016 que serão realizados no Rio de Janeiro, construa os cinco anéis olímpicos, observando as cores de cada um deles, representando respectivamente os cinco continentes. Bom trabalho - Professor Ivan José Coser e Tutora: Rafaela Seabra Cardoso Leal