GEOMETRIA BÁSICA GGM00161-TURMA M2. Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011

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1 GEOMETRIA BÁSICA GGM00161-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 08/11/2011

2 Definição : Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α.

3 Definição : Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α.

4 Definição : PRISMA Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α. Seja P = ABCD...MN o polígono convexo (região poligonal convexa) contido em α.

5 Definição : PRISMA Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α. Seja P = ABCD...MN o polígono convexo (região poligonal convexa) contido em α.

6 Definição : PRISMA Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α. Seja P = ABCD...MN o polígono convexo (região poligonal convexa) contido em α. Chama-se prisma à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a, com uma extremidade nos pontos do polígono PQ

7 Definição : PRISMA Considere dois planos paralelos α e β e um segmento de reta PQ, cuja reta suporte r intercepta o plano α. Seja P = ABCD...MN o polígono convexo (região poligonal convexa) contido em α. Chama-se prisma à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do polígono e situados num mesmo sub-espaço dos determinados por α.

8 Ou ainda, prisma convexo limitado ou prisma convexo definido ou prisma convexo é a reunião da parte do prisma convexo ilimitado, compreendida entre os planos de duas secções paralelas e distintas.

9 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, -

10 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) -

11 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces,

12 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces, - n arestas laterais,

13 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces, - n arestas laterais, - 3n arestas,

14 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces, - n arestas laterais, - 3n arestas, - 2n vértices.

15 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces, - n arestas laterais, - 3n arestas, - 2n vértices. No exemplo da figura ao lado:

16 Elementos do prisma : - 2 bases congruentes, - n faces laterais (paralelogramo) - (n+2) faces, - n arestas laterais, - 3n arestas, - 2n vértices. No exemplo da figura ao lado: Bases congruentes são os hexágonos, 6 faces laterais, 8 faces, 6 arestas laterais, 18 arestas e 12vértices.

17 Altura de um prisma : PRISMA é a distância h entre os planos das bases.

18 Superfícies: PRISMA - Superfície lateral é a reunião das faces laterais. - Superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases. Área lateral Área total A l A t

19 Classificação: - Prisma reto arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Suas faces laterais são retângulos - Prisma obliquo arestas laterais são obliquas aos planos das bases. - Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

20 Natureza de um prisma: PRISMA Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc,... conforma a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc. Exemplo: Qual é a natureza dos seguintes prismas:

21 Natureza de um prisma: PRISMA Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc,... conforma a base for um triângulo, um quadrilátero, um pentágono, etc. Exemplo: Qual é a natureza dos seguintes prismas: hexagonal hexagonal pentagonal

22 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; b) 8 faces; c) 15 arestas; d) 24 arestas;

23 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, b) 8 faces; c) 15 arestas; d) 24 arestas;

24 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; c) 15 arestas; d) 24 arestas;

25 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, c) 15 arestas; d) 24 arestas;

26 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; d) 24 arestas;

27 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; 3n = 15 d) 24 arestas;

28 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; 3n = 15 pentagonal d) 24 arestas; n = 5, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma

29 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; 3n = 15 pentagonal d) 24 arestas; 3n = 24 n = 5, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma

30 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; 3n = 15 pentagonal d) 24 arestas; 3n = 24 n = 5, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma n = 8, então a base possui 8 arestas

31 Exercício: Ache a natureza de um prisma, sabendo que ele possui: (faça um desenho para cada item) a) 7 faces; n+2 = 7, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma pentagonal b) 8 faces; n+2 = 8, então a base possui 6 arestas e portanto é prisma hexagonal c) 15 arestas; 3n = 15 pentagonal d) 24 arestas; 3n = 24 octogonal. n = 5, então a base possui 5 arestas e portanto é prisma n = 8, então a base possui 8 arestas e portanto é prisma

32 Paralelepípedos e Romboedros

33 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos.

34 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

35 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

36 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

37 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

38 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

39 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retângulos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

40 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retângulos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

41 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retângulos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

42 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Sua superfície total é a reunião de quatro retângulos com dois paralelogramos. Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retângulos; OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

43 Paralelepípedos e Romboedros Paralelepípedo prisma cujas bases são paralelogramos. Sua superfície total é a reunião de seis paralelogramos. Paralelepípedo reto prisma reto cujas bases são paralelogramos; Sua superfície total é a reunião de quatro retângulos com dois paralelogramos. Paralelepípedo reto retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro prisma reto cujas bases são retângulos; Sua superfície total é a reunião de seis retângulos. OBLIQUO RETO RETO-RETÂNGULO

44 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes.

45 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retângulo

46 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retângulo

47 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retângulo

48 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retângulo

49 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro Reto-Retângulo

50 Paralelepípedos e Romboedros Cubo - paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. Romboedro paralelepípedo que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de seis losangos. Romboedro reto paralelepípedo reto que possui as doze arestas congruentes entre si. Sua superfície total é a reunião de quatro quadrados com dois losangos(bases). Romboedro reto retângulo ou cubo romboedro reto cujas bases são quadrados. Sua superfície total é a reunião de seis quadrados. (6 losangos) (2 losangos e 4 quadrados) (6 quadrados) Romboedro Obliquo Romboedro Reto Romboedro reto-retângulo

51 Diagonal e Área do Cubo Exercício: Dado um cubo de arestas a, calcule a diagonal d, e sua área total S.

52 Diagonal e Área do Cubo Exercício: Dado um cubo de arestas a, calcule a diagonal d, e sua área total S. Solução: Considere a face ABCD, quadrado de lado a, C B Por pitágoras, temos que a D a A CA d a A área do cubo de arestas a é S = a 3 2 6a 2

53 Diagonal e Área do paralelepipedo Exercício: Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcule a diagonal, d, do paralelepípedo e sua área total S.

54 Diagonal e Área do paralelepípedo Exercício: Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, calcule a diagonal, d, do paralelepípedo e sua área total S. d a 2 b 2 c 2 e S 2( ab ac bc) Razão entre Paralelepípedos Retângulos Proposição: A razão entre dois paralelepípedos retângulos de bases congruentes é igual à razão entre as alturas. Exercício: Veja demonstração no livro. Pagina 151.

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