A. Brotas, J.C. Fernandes, Departamento de Física, Instituto Superior Técnico, Av Rovisco Pais Lisboa Codex, Portugal (July 17, 2003) Abstract

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1 ATRANSMISSÃO DO CALOR EM RELATIVIDADE A. Brotas, J.C. Fernandes, Departamento de Físia, Instituto Superior Ténio, Av Roviso Pais Lisboa Codex, Portugal (July 17, 003) Abstrat The simultaneous study of deformation and heat transmission in a bar was ignored for about 150 years. The traditional Fourier equation just allows to study the evolution of temperature in a undeformable bar. The searh for its relativisti variant is a task whih must fail beause in Relativity there are no undeformable bars. Rigid bodies,in the sense as rigid possible, are deformables. In this work we show how to write in Relativity the system of equations neessary to study simultaneously deformation and temperature evolution along a rigid bar. Resumo O estudo onjunto da deformação e da transmissão do alor numa barra foi ignorado durante quase 150 anos. A tradiional equação de Fourier só permite estudar a evolução da temperatura ao longo de uma barra indeformável. A proura de uma sua variante relativista é uma tarefa votada ao insuesso porque em Relatividade não há barras indeformáveis (os orpos rígidos no sentido o mais rígidos possíveis são deformáveis). Neste texto mostramos omo esrever, em Relatividade, o sistema de equações neessário para estudar em onjunto a deformação e a evolução da temperatura ao longo de uma barra rígida. brotas@fisia.ist.utl.pt joao.arlos@tagus.ist.utl.pt 1

2 I. UMA TENTATIVA SEM FUTURO A proura de uma variante da equação de Fourier que exlua a possibilidade de transmissão de energia e de sinais a uma veloidade superior a, que tem oupado alguns físios desde o iníio da Relatividade, é uma tarefa votada ao insuesso pela razão seguinte: Em Físia Clássia admitimos que o orpo rígido (no sentido o mais rígido possível) é indeformável. A equação de Fourier, equação da transmissão do alor numa barra indeformável é, assim, a equação do fenómeno físio: transmissão do alor numa barra rígida. Em Relatividade, rígido e indeformável não são sinónimos (ver, por exemplo, [1]). O orpo rígido no sentido o mais rígido possível é deformável. Uma variante da equação de Fourier que estude a transmissão do alor numa barra indeformável não pode servir, assim, para estudar o fenómeno físio: transmissão do alor numa barra rígida. Este fenómeno só pode ser abordado no âmbito do estudo da transmissão do alor em orpos deformáveis. Para preisar ideias, onsideremos o aso de duas barras semi-infinitas, uma om uma temperatura uniforme T 1 e outra om uma temperatura uniforme T,quesão postas em ontato no instante t = 0. Em Físia Clássia, a equação de Fourier permite-nos estudar aevolução da temperatura nas barras no aso de elas serem indeformáveis (rígidas). No aso, porém, de serem deformáveis, as variações de temperatura e de pressão provoam deformações. O problema é muito mais ompliado e não pode, em rigor, ser estudado om uma únia equação. Preisamos de um sistema de equações (duas no aso a uma dimensão). Embora os dois fenómenos da deformação e da transmissão do alor se verifiquem em simultâneo na vulgar vibração de uma mola, a Físia Clássia ignorou o problema da transmissão do alor nos meios deformáveis durante quase 150 anos. Por duas razões: porque era um problema difíil e porque não surgiu nenhum problema, nem prátio, nem teório, que exigisse o seu estudo. Num outro texto apresentaremos uma abordagem do problema em Físia Clássia. Neste, abordamos diretamente o problema relativista, a uma dimensão, no aso limite dos orpos rígidos. II. A VIBRAÇÃO DE UMA BARRA ELÁSTICA A. Sem transmissão do alor Comeemos por abordar o problema: omo esrever em Relatividade a equação do movimento adiabátio, isto é, sem transmissão do alor, de uma barra elástia? O proesso mais elegante para o fazer éoseguinte: Sendo X i as oordenadas fixas dos pontos da barra e x i,x 4 = tas oordenadas de um referenial de inéria S, o movimento da barra pode ser desrito em representação de

3 Lagrange por: x = x(x, t), ou em representação de Euler por: X = X(x, t). A veloidade de ada ponto X da barra em relação ao referenial de inéria S édada por: v = X t = t O omprimento de ada elemento dx da barra sofre, normalmente, deformações ao longo do tempo. O seu omprimento próprio num dado instante é dado por: X (1) dx p = dx X 1 β ; om β = v () No aso da variável X ter sido esolhida de modo a que dx seja o omprimento do elemento dx da barra quando não deformada, o estado de deformação da barra é araterizado por um s dado por: s = dx p dx = s(x, t) = X = 1 1 β ( X ) ( 1 X t ) (3) Num orpo elástio, a pressão e a densidade no referenial próprio loal, que representamos por p e ρ 0, devem ser funções da deformação s e da temperatura T : Sobre uma dada adiabátia ad devemos ter: p = p(s, T ) ρ 0 = ρ 0 (s, T ) (4) T = T ad (s) (5) Assim, no aso de não haver transmissão de alor, no estudo de um movimento de uma barra, devemos poder esrever: 1 1 Designando por ρ 0 0 a densidade do material não deformado (om s = 1) no referenial próprio a uma dada temperatura T 0 (que araterizará uma dada adiabátia ad), a onservação da energia impõe-nos (na ompressão ou extensão adiabátia de um elemento de omprimento l 0 da barra): o que nos permite esrever: l 0 s 1 p adds =(ρ 0ad.s ρ 0 0 )l 0 p ad (1) = 0 ; p ad = (ρ 0ad + dρ 0ad ds.s) Todas as fórmulas da elastiidade relativista adiabátia têm de respeitar esta relação. Éoasodas fórmulas orrespondentes ao aso limite dos materiais rígidos usadas em (10) em que esrevemos simplesmente p e ρ 0 em vez de p ad e ρ 0ad. 3

4 p = p(s, T ad (s)) = p ad (s) ; ρ 0 = ρ 0 (s, T ad (s)) = ρ 0ad (s) (6) Interessa-nos onsiderar o referenial de inéria S de oordenadas (x,x 4 = t )que, no instante t, aompanha ada ponto X da barra, de veloidade v = v(x, t). No instante t, asomponentes,ems, do tensor impulsão energia do meio material da barra na vizinhança do ponto X são: p 00 0 T α β = ρ 0 As fórmulas de transformação entre (x, t) e(x,t )são as fórmulas de transformação de Lorentz. (7) As omponentes do mesmo tensor T αβ em S são, em onsequênia: T αβ = p+β ρ 0 00 β(p+ρ 0 ) 1 β 1 β β(p+ρ 0 ) 00 β p+ρ 0 1 β 1 β (8) Podemos fazer o mesmo raioínio em todos os instantes t, para todos os pontos X da barra (tendo, naturalmente de onsiderar refereniais S diferentes). Conheidas as fórmulas (6) podemos onheer as omponentes, em qualquer referenial de inéria S, do tensor impulsão energia em oordenadas (x, x 4 = t) des, em todos os pontos X e em todos os instantes t. As leis de onservação exprimem-se, no aso do movimento a uma dimensão, pelas duas equações: α T 1α =0 ; α T 4α =0 (9) Consideremos, a título de exemplo, o movimento de uma barra rígida. Neste aso, as leis elástias (adiabátias) são: p = ρ0 0 [ 1 s 1 ] ; ρ 0 = ρ0 0 [ 1 s +1 ] Usando estas leis e desenvolvendo os álulos obtemos as duas equações: X t X ( X 1 X t =0 (10) 1 X t ) =0 (11) 4

5 São estas as equações do movimento relativista de uma barra rígida. A primeira traduz a onservação da quantidade de movimento e a segunda a onservação da energia. De fato, obtivemos um sistema de duas equações, mas omo as soluções da primeira são soluções da segunda, na prátia orrente ignoramos a segunda equação e esqueemos o sistema que resultou da apliação dos dois prinípios de onservação. Ora, é este sistema de equações que nos vai permitir abordar, omo vamos ver adiante, o problema onjunto do movimento e da transmissão do alor. 3 B. O aso não adiabátio Consideremos agora o aso de uma barra em que há transmissão do alor. O estudo da evolução do sistema obriga-nos a onsiderar, desde o iníio, não uniamente X = X(x, t), mas também T = T (X, t), ou T = T (x, t). Já não podemos usar as fórmulas (6), e temos de usar as fórmulas do tipo (4) que têm de ser onheidas para resolver os problemas onretos. Temos de onsiderar, ainda, um fluxo de alor que, representaremos no referenial próprio por q 0,equeterá de ser onvenientemente estimado. Loalmente as omponentes do tensor impulsão energia, no referenial próprio S, devem ser: q p 00 0 T α β = q 0 00ρ 0 (1) Num qualquer referenial de inéria S, as omponentes do mesmo tensor são: T αβ = p+β ρ 0 + q 0 β 1 β 0 0 β(p+ρ 0 )+(1+β ) q0 1 β β(p+ρ 0 )+(1+β ) q 0 1 β 0 0 β p+ρ 0 + q 0 β 1 β (13) As duas leis de onservação traduzem-se, assim, pelas equações: No aso de onsiderarmos outras leis elástia adiabátias, os álulos são bastante mais longos, mas o resultado final é o mesmo: hegamos a um sistema de duas equações em que as soluções da primeira são soluções da segunda. 3 Se onheermos T = T (s, p), podemos alular T = T (X, t), mas, nos problemas sem transmissão do alor, este resultado aparee-nos no final e pode ser ignorado no iníio do álulo. 5

6 ( ) p+β ρ 0 + q 0 β x β t x ( β(p+ρ0 )+(1+β ) q 0 1 β ) + 1 t ( β(p+ρ0 )+(1+β ) q 0 1 β ) =0 ( β p+ρ 0 + q 0 β 1 β ) =0 (14) Note-se, desde já, que estas equações são invariantes na mudança das oordenadas do referenial S para as oordenadas de um outro qualquer referenial de inéria S (x,t ), e que são equações difereniais de segunda ordem relativamente às duas inógnitas : X = X(x, t) e T = T (x, t). Para termos, no entanto, um sistema matemátio bem definido, que nos permita estudar aevolução do sistema, preisamos de onheer, além das relações onstitutivas (4), uma onveniente relação relativista que desempenhe o papel da hipótese de Fourier: q 0 = K T X ( ou q 0 = K T Tal omo Fourier no séulo XVIII, o que podemos aqui fazer éavançar om algumas hipóteses que nos pareçam simples, a ver o que dão. Se om elas hegamos a equações matemátiamente tratáveis ujos resultados sejam ondizentes om as observações (que, neste aso, possívelmente, sópoderão ser feitas em Astrofísia), fiamos ontentes. Como hipóteses razoáveis, admitimos as duas hipóteses em que se desdobra a hipótese de Fourier, dado x e X serem agora distintos e, ainda, a hipótese dimensionalmente orreta que podemos onstruir om as grandezas disponíveis: ( ) T q 0 = K X + Rγ 0 T (16) sendo γ 0 a aeleração no referenial próprio. ) (15) III. A TRADICIONAL AUSÊNCIA DA TRANSMISSÃO DO CALOR NA MECÂNICA DOS FLUIDOS RELATIVISTA Em quase todos os tratados de Relatividade há um apítulo sobre a meânia dos fluidos relativistas. Estes apítulos assentam essenialmente, (embora alguns não expliitamente), na onsideração de um tensor impulsão energia T αβ que verifia a equação que exprime as leis de onservação fundamentais: β T αβ = 0 (17) e na aeitação de relações onstitutivas araterístias dos fluidos em estudo, esseniais para esrever as omponentes de T αβ no referenial próprio. Mas omo definir o referenial próprio de um fluido( noção obviamente loal, dado que varia de ponto para ponto e de instante para instante)? Para Lihnerowiz [], por exemplo, e pensamos que para a generalidade dos relativistas que se oupam do assunto, o referenial próprio é o referenial S em que são nulas as omponentes T i4 e T 4i de T αβ (quando usamos a oordenada (x i,x 4 = t)). Por outras palavras, 6

7 é o referenial em que as omponentes de T αβ são do tipo (7) e não do tipo (1). Mas é esta definição fisiamente aeitável? Consideremos o exemplo simples de um gás, formado por partíulas todas iguais, ontido num ilindro imóvel num referenial S, om as duas bases a temperaturas diferentes. Numa situação estaionária, o número de partíulas que atravessa uma seção imóvel do ilindro num e noutro sentido, é o mesmo. No entanto, no aso das suas energias inétias médias serem diferentes a seção é atravessada por um fluxo de alor. Neste aso, no referenial S do ilindro, temos T 14 = q 0 0. As omponentes do tensor impulsão energia são portanto do tipo (1) e não (7). Para termos um referenial S que satisfaça a ondição de Lihnerowiz, temos de prourar um referenial em que o ilindro se desloque om uma onveniente veloidade v para ser T i 4 =0. Qual é, então, no aso de haver um fluxo de alor q 0 o bom referenial próprio? O referenial S do ilindro, em que o gás está numa situação estátia, ou o referenial S, que satisfaz à ondição de Lihnerowiz mas em que o gás está emmovimento? Paree-nos que, manifestamente, a definição de Lihnerowiz só pode ser aeite nos asos em que não há transmissão do alor. Por outras palavras, uma meânia dos fluidos em que seja aeite esta definição é, à partida, uma meânia dos fluidos adiabátia. Um ontributo para ultrapassar esta situação pode-se enontrar, por exemplo na referênia [3]. 4 4 Há um resultado relativista relaionado om estas questões, devido a Plank [4], onheido desde 1907 e que, no entanto, não é válido nos asos não adiabátios: a invariânia relativista das pressões. No modelo de um gás ontido num ilindro om igual número de partíulas a passar de um lado para o outro om veloidades diferentes, um simples exeríio esolar permite mostrar que, sendo p 0 a pressão sobre uma seção imóvel e q 0 o fluxo de alor que a atravessa, a pressão sobre a mesma seção num referenial em que ela esteja em movimento om a veloidade v (om o sentido de q) é: p = p 0 + q 0v 7

8 REFERENCES [1] A. Brotas and J. C. Fernades, A elastiidade relativista dos orpos rígidos, arxiv:physis/ v1 Jul 003 [] A. Lihnerowiz, Théories relativistes de la gravitation et de l életromagnetisme. Masson Paris 1954 [3] A. Brotas, Reherhes sur la thermodynamique et la méanique des milieux ontinues relativistes. Thèse Paris 1969 (N enregistrement C.N.R.S. A.O. 3081) [4] M. Plank, Berl. Ber., p 54 (1907); Ann. Phys. 76,1 (1908) 8