Eletromagnetismo II 1 o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci

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1 Eletomagnetismo II 1 o Semeste de 7 Notuno - Pof. Alvao annui 5 a aula 13/ma/7 imos na aula passada, das Equações de Maxwell: i) Consevação de Enegia 1 ( E H ) nˆ da = E D + B H d E J d t + S S (Poynting) Densidade de Enegia EM Efeito Joule ii) Popagação de Ondas Eletomagnétias (meios lineaes, ρ = ): E E Equação de onda paa o ampo elétio: E µ σµ = i t Solução: E(, t) = E( ) e ω ; sendo que (*) ( ) µω ( ) ωσµ ( ) E + E + i E = No espaço vazio (váuo), temos que σ =, =, µ = µ em 1D (eixo z), da eq. (*): E z ( ) ω + E ( z) = z ; 1 = solução (onda plana): E ( z, t ) µ Pate eal: E ( z, t) = E os( K z ω t) ; sendo = E e ( ω t ) i K z π nω K = = (númeo de onda). λ Paa dielétios, ontinua sendo vedade σ =, µ = µ, mas agoa v. Assim, π π K = = f usando n v λ v = v = n ; mas 1 1 v = = = µ µ π f n n = e omo K = = ω v Onda aminhando paa a dieita ou paa a esqueda. K = No semeste passado, quando estudamos os ampos E e B estátios, vimos que eles podiam se alulados atavés dos poteniais esala e veto: ω te. dielétia: = / E = ϕ ; B = A (1) () (situação estátia)

2 1 ρ( ') ϕ ( ) = d ' 4π ρ ϕ = Sendo que: esolvendo :. µ J ( ') A( ) = d ' 4π A µ J = Neste semeste, omo estaemos lidando om ampos E e B vaiando no tempo, os esultados aima ontinuaiam válidos? Po exemplo: a equação (), B = A, satisfaz dietamente a segunda equação de Maxwell: B = ( A) =, sempe! (div do ot é sempe zeo!!) Podemos então, a pinípio, supo que B = A vale mesmo paa ampos vaiando no tempo. No entanto, a equação (1),, é inonsistente om a 3 a equação de Maxwell! Isto poque E = ( ϕ ) = sempe, enquanto que a Lei de Faaday estabelee: (ot do gad é sempe zeo!!) B E =!! Paa esolve esta inonsistênia, podemos pensa em intoduzi um temo exta (desonheido) à equação (1): B + N E = ( ϕ ) + N = = B ( A) A A Usando (): N = = (solução mais simples) N = A E ϕ = (3) Temos agoa que veifia se as equações () e (3) também satisfazem as duas equações de Maxwell estantes. D = ρ E = ρ / : Substituindo a equação (3) na 1 a equação de Maxwell ( ) ( A) ρ ϕ =. (4) E Po outo lado, substituindo () e (3) na Lei de Ampée: B = µ J + µ A ( A) = µ J µ ϕ µ substituindo o otaional do otaional: ϕ A ( A) A = µ J µ µ A ϕ A + µ + A + µ = µ J (5) =

3 Ou seja, paa que haja onsistênia, as equações (4) e (5) (que só dependem de ϕ e A ) peisam se simultaneamente satisfeitas. Obtemos então ϕ e A B = A e, depois, A duas equações om duas inógnitas E = ϕ Mas, antes de esolvê-las, talvez fosse inteessante tenta simplifiá-las um pouo. Além disso, omo depois veemos, não existe apenas um únio pa ϕ e A que satisfaça () e (3) paa um deteminado poblema, om E, B espeífios. Assim, podeemos esolhe um pa ϕ ', A ' que seja o mais onveniente paa um dado poblema, de foma que (4) e (5) sejam satisfeitas e () e (3) ontinuem válidas! Paa ilusta isso suponha, po exemplo, dois onjuntos de poteniais ( ϕ, A ) e ( ϕ ', A ' ) que oespondam aos mesmos ampos E e B, atavés de () e (3). Esta equivalênia é a minha hipótese. Queo agoa desobi omo ϕ ', A ' difeem de ϕ, A, nestas ondições. amos supo, po exemplo, que estes onjuntos de poteniais difiam um do outo po paâmetos α e β iniialmente desonheidos, da foma: A' = A + α e ϕ ' = ϕ + β, E vamos impo que ambos oespondeão aos mesmos ampos E e B. Começo então fazendo: A = B i) A = A' = ( A ) B ' = A + α α = (6) ======= ================ = A+ α (1 a ondição) α pode se esito omo sendo o gadiente de um esala (λ): α = λ (7) A ii) A' ' A ϕ = A α ϕ β α λ β + = usando (7) β + = te β + λ = (ª ondição) A esolha mais simples, que satisfaz esta última igualdade, é onsidea a te =, de foma que: λ β = (8)

4 A' = A + λ Ou seja: λ ϕ ' = ϕ As tansfomações desse tipo em Tansfomações de Calibe. a qualque função esala λ, pode-se aesenta λ em A, e ao mesmo tempo subtai λ de ϕ, que E e B não se alteam! ϕ, A são hamadas Tansfomações de Gauge ou Há váios alibes utilizados na liteatua, que seão mais onvenientes de se aplia, dependendo do poblema que se que esolve. Poém, duas tansfomações de alibe são mais feqüentemente utilizadas: a de Coulomb e de Loentz. A foma do gauge (alibe) de Coulomb é: A =. Substituindo na equação (4): i) ρ ϕ = Equação de Poisson, que já vimos no semeste passado. Note, poém, que só o álulo de ϕ não mais nos fonee E : é neessáio que também se obtenha A A, já que E ϕ =. Substituindo A = nas equação (5): A ϕ ii) A + µ = µ J µ (Equação de onda não-homogênea paa A ) independe de A O gauge de Loentz é mais inteessante paa o estudo das ondas EM: de foma que, substituindo, as equações (4) e (5) fiam: ϕ ρ A µ µ J ϕ + µ = A + = (9) (1) A = µ ϕ, (equações desaopladas) Ou seja, esolhendo o gauge de Loentz tanto A quanto ϕ obedeem ao mesmo tipo de equação difeenial, não homogênea. Em temos do d Alembetiano ( = µ ρ Pode-se intepeta ϕ = ): omo sendo a equação de Poisson A = µ J quadidimensional. Basiamente, as soluções de (9) e (1) são obtidas esolvendo a equação homogênea (solução geal) e somando-a om uma solução patiula da equação não-homogênea. ρ ϕ = Note que, no limite estátio:, ujas soluções já foam obtidas em Eleto I: A = µ J ϕ( ) = 1 4π ρ ( ') d ' e µ A( ) = 4π J ( ') d ' ;

5 Lembando que ' onde o potenial é alulado. distânia da fonte ao ponto P Paa situações não estátias, vamos mosta agoa que os poteniais mantêm as fomas aima (ve eitz- Milfod ). Só que agoa suge um poblema! Quando se vai alula os poteniais em P, em um dado instante t, qual é a onfiguação das agas e oentes que se deve onsidea no mesmo instante t? Se onsideamos que o sinal popaga-se om veloidade, então é azoável utiliza as onfiguações de fontes em um instante anteio t : d ' ' P t = t tempo etadado. 1 ρ ( ', t ) ϕ(, t ') = d ' 4 π Assim: µ J ( ', t ') A(, t ') = d ' 4 π Note que paa pontos P póximos das fontes, poteniais etadados., t t, omo espeaíamos. Nossa taefa agoa é mosta que os poteniais etadados são, de fato, soluções paa as equações de onda dos poteniais (equações (9) e (1)). Faemos isto na póxima aula.