Árvores e subárvores. Ilustração de uma árvore binária. Endereço de uma árvore. Maneiras de varrer uma árvore. esquerda-raiz-direita versão iterativa

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1 Avoes bináias AULA 25 Fonte: PF 14 pf/algoitmos/aulas/bint.html Mais tabela de símbolos Uma tabela de símbolos (= symbol table = dictionay) é um conjunto de objetos (itens), cada um dotado de uma chave (= key) e de um valo (= value). As chaves podem se númeos inteios ou stings ou outo tipo de dados. Uma tabela de símbolos está sujeito a dois tipos de opeações: inseção: consiste em intoduzi um objeto na tabela; busca: consiste em enconta um elemento que tenha uma dada chave. Ávoe bináias Uma ávoe bináia (= binay tee) é um conjunto de nós/células que satisfaz cetas condições. Cada nó tea tês campos: typedef stuct celula Celula; stuct celula { int conteudo; /* tipo devia se Item*/ Celula *esq; Celula *di; ; typedef Celula No; No x, y; Poblema Poblema: Oganiza uma tabela de símbolos de maneia que as opeações de inseção e busca sejam azoavelmente eficientes. Em geal, uma oganização que pemite inseções ápidas impede buscas ápidas e vice-vesa. Já vimos como oganiza tabelas de símbols atavés de vetoes, lista encadeadas e hash. Hoje: mais uma maneia de oganiza uma tabela de símbolos. Pais e filhos Os campos esq e di dão estutua à ávoe. Se x.esq == y, y é o filho esquedo de x. Se x.di == y, y é o filho dieito de x. Assim, x é o pai de y se x.esq == y ou x.di == y. Um folha é um nó sem filhos. Ou seja, se x.esq == NULL e x.di == NULL então x é um folha

2 conteudo No Ilustação de uma ávoe bináia aiz folha folha filho esq p folha folha folha Endeeço de uma ávoe p filho di p Ávoes e subávoes Suponha que e p são (endeeços de/ponteios paa) nós. p é descendente de se p pode se alcançada pela iteação dos comandos p = p->esq; p = p->di; em qualque odem. Um nó juntamente com todos os seus descendentes é uma ávoe bináia e é dito a aiz (=oot) da ávoe. Paa qualque nó p, p->esq é a aiz da subávoe esqueda de p e p->di é a aiz da subávoe dieita de p. Maneias de vae uma ávoe O endeeço de uma ávoe bináia é o endeeço de sua aiz. typedef No *Avoe; Avoe ; Um objeto é uma ávoe bináia se == NULL ou ->esq e ->di são ávoes bináias. Existem váias maneias de pecoemos uma ávoe bináia. Talvez as mais tadicionais sejam: inode tavesal: esqueda-aiz-dieita (e--d); peode tavesal: aiz-esqueda-dieita (-e-d); posode tavesal: esqueda-dieita-aiz (e-d-); esqueda-aiz-dieita Visitamos 1. a subávoe esqueda da aiz, em odem e--d; 2. depois a aiz; 3. a subávoe dieita da aiz, em odem e--d; void inodem(avoe ) { if (!= NULL) { inodem(->esq); pintf("%d\n", ->conteudo); inodem(->di); esqueda-aiz-dieita vesão iteativa void inodem(avoe ) { stackinit(); while (!= NULL!stackEmpty()) { if (!= NULL) { stackpush(); = ->esq; else { = stackpop(); pintf("%d\n", ->conteudo); = ->di;

3 Ilustação de pecusos em ávoes bináias Ilustação de pecusos em ávoes bináias conteudo No aiz conteudo No aiz + * / not in-odem (e--d): pé-odem (-e-d): pós-odem (e-d-): Tue in-odem (e--d): 31 * / Tue not pé-odem (-e-d): + * / not Tue pós-odem (e-d-): * Tue not / + Pimeio nó esqueda-aiz-dieita Recebe a aiz de uma ávoe bináia não vazia e etona o pimeio nó na odem e--d No *pimeio(avoe ) { while (->esq!= NULL) = ->esq; etun ; Ávoes balanceadas A altua de uma ávoe com n nós é um númeo ente lg(n) e n. Uma ávoe bináia é balanceada (ou equilibada) se, em cada um de seus nós, as subávoes esqueda e dieita tiveem apoximadamente a mesma altua. Ávoes balanceadas têm altua póxima de lg(n). O consumo de tempo dos algoitmos que manipulam ávoes bináias dependem fequentemente da altua da ávoe. Altua A altua de p é o númeo de passos do mais longo caminho que leva de p até uma folha. A altua de uma ávoe é a altua da sua aiz. Altua de ávoe vazia é -1. #define MAX(a,b) ((a) > (b)? (a): (b)) int altua(avoe ) { if ( == NULL) etun-1; else { int he = altua(->esq); int hd = altua(->di); etun MAX(he,hd) + 1; { Nós com campo pai Em algumas aplicações é conveniente te acesso imediato ao pai de qualque nó. typedef stuct celula Celula; stuct celula { int conteudo; /* tipo devia se Item*/ Celula *pai; Celula *esq; Celula *di; ; typedef Celula No; typedef No *Avoe;

4 pai conteudo Ilustação de nós com campo pai No aiz Ávoes bináias de busca Fonte: PF 15 pf/algoitmos/aulas/binst.html Sucesso e pedecesso Recebe o endeeço p de um nó de uma ávoe bináia não vazia e etona o seu sucesso na odem e--d. No *sucesso(no *p) { if (p->di!= NULL) { No *q= p->di; while (q->esq!= NULL) q = q->esq; etun q; while (p->pai!=null && p->pai->di==p) p = p->pai; etun p->pai; Execício: função que etona o pedecesso. Ávoe bináias de busca Considee uma ávoe bináia cujos nós têm um campo chave (como int ou Sting, po exemplo). typedef stuct celula Celula; stuct celula { int conteudo; /* tipo devia se Item*/ int chave; /* tipo devia se Chave*/ Celula *esq; Celula *di; ; typedef Celula No; typedef No *Avoe; No x, *p, *q, *, *t; Ávoe bináias de busca Uma ávoe bináia deste tipo é de busca (em elação ao campo chave) se paa cada nó x x.chave é 1. maio ou igual à chave de qualque nó na subávoe esqueda de x e 2. meno ou igual à chave de qualque nó na subávoe dieita de x. Assim, se p é um nó qualque então vale que q->chave <= p->chave e p->chave <= t->chave paa todo nó q na subávoe esqueda de p e todo nó t na subávoe dieita de p. Ilustação de uma ávoe bináia de busca chave conteudo No -6-1 aiz 7 filho esq p in-odem (e--d): p filho di p 42

5 Busca Recebe um inteio k e uma ávoe de busca e etona um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, etona NULL. No *busca(avoe, int k) { if ( == NULL ->chave == k) etun ; if (->chave > k) etun busca(->esq, k); etun busca(->di, k); Busca vesão iteativa Recebe um inteio k e uma ávoe de busca e etona um nó cuja chave é k; se tal nó não existe, etona NULL. No *busca(avoe, int k) { while (!= NULL && ->chave!= k) if (->chave > k) = ->esq; else = ->di; etun ; Inseção Recebe uma ávoe de busca e um nó novo. Insee o nó no luga coeto da ávoe de modo que a ávoe continue sendo de busca e etona o endeeço da nova ávoe. No * new(int chave,int conteudo,no *esq,no*di) { No *novo = mallocsafe(sizeof *novo); novo->chave= chave; novo->conteudo = conteudo; novo->esq = esq; novo->di = di; etun novo; Inseção Inseção Avoe *insee(avoe, No *novo) { No *f, /* filho de p */ No *p; /* pai de f */ if ( == NULL) etun novo; f = ; while (f!= NULL) { p = f; if (f->chave > novo->chave) f = f->esq; else f = f->di; Remoção /* novo sea uma folha novo sea filho de p */ if (p->chave > novo->chave) p->esq = novo; else p->di = novo; etun ; Recebe uma ávoe de busca não vazia. Remove a sua aiz e eaanja a ávoe de modo que continue sendo de busca e etona o endeeço da nova ávoe.

6 Remoção Avoe *emoveraiz(avoe ) { No *p, *q; if (->esq == NULL) { q = ->di; fee(); etun q; /* enconte na subavoe ->esq o nó q com maio valo */ p = ; q = ->esq; while (q->di!= NULL) { p = q; q = q->di; Remoção /* q é o nó anteio a na odem e--d p é o pai de q*/ if (p!= ) { p->di = q->esq; q->esq = ->esq; q->di = ->di; fee(); etun q; Consumo de tempo Comentáios finais O consumo de tempo das funções busca, insee e emoveraiz é, no pio caso, popocional à altua da ávoe. Conclusão: inteessa tabalha com ávoes balanceadas: ávoes AVL, ávoes ubo-negas, ávoes... Fonte: MACO122 Edição 2014 Livos Nossa efeência básica foi o livo PF = Paulo Feofiloff, Algoitmos em linguagem C, Este livo é baseado no mateial do sítio Pojeto de Algoitmos em C. Outo livo foi S = Robet Sedgewick, Algoithms in C, vol. 1 foi uma disciplina intodutóia em: Pojeto de algoitmos: ecusão: toes de Hanoi,..., EP2, EP5... divisão-e-conquista: Megesot, Quicksot, EP5 pé-pocessamento: Heapsot, Boye-Mooe heuísticas: Boye-Mooe, EP5 algoitmos de enumeação: EP1, nainhas algoitmos de busca: busca bináia, busca em listas (EP2,EP3,EP4,EP5), hashing (EP5), busca em ávoes, busca em lagua (distancias), busca em pofundidade (EP2) pogamação dinâmica ( ecusão com tabela ): númeos binomiais,...

7 foi uma disciplina intodutóia em: Coeção de algoitmos: elações invaiantes: váios poblemas nas aulas foi uma disciplina intodutóia em: Eficiência de algoitmos: consumo de tempo: váios poblemas nas aulas notação assintótica O: váios poblemas nas aulas análise expeimental: váios poblemas nas aulas consumo de espaço: Megesot usa espaço exta O(n), Quicksot usa espaço exta O(lg n) foi uma disciplina intodutóia em: Estutuas de dados: listas lineaes encadeadas, listas encadeadas ciculaes, listas com e sem cabeça: EP2, EP3, EP4 e EP5 filas: distâncias, EP2, EP3 pilhas: EP2, EP3, EP4 heaps tabelas de símbolos: lista ligadas (EP3), hash (EP5), ávoes Pincipais tópicos Alguns dos tópicos de foam: ecusão; busca em um veto; busca (bináia) em veto odenado; listas encadeadas; listas lineaes: filas e pilhas; algoitmos de enumeação; divisão e conquista; busca de palavas em um texto; algoitmos de odenação: bubblesot, heapsot, megesot,... ; combinou conceitos e ecusos de pogamação: ecusão: EP2, EP5 stings: todos os EPs? endeeços e ponteios: EP2, EP3, EP4 e EP5 egistos e stucts: EP2, EP3, EP4, e EP5 alocação dinâmica de memóia: EP2, EP3, EP4, e EP5 intefaces: (EP1), EP2, EP3, EP4, e EP5 que nasceam de aplicações cotidianas em ciência da computação: bseach (stdlib), qsot (stdlib), stst (sting), hseach (seach), lseach (seach), tseach (seach),... Pausa paa nossos comeciais EP5: 6/DEZ Pova 3: teça-feia, 25/OUT Pova Sub: teça-feia, 2/DEZ Tudo isso egado a muita análise de eficiência de algoitmos e invaiantes.

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