( ) 10 2 = = 505. = n3 + n P1 - MA Questão 1. Considere a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo:

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1 P1 - MA Questão 1 Considee a sequência (a n ) n 1 definida como indicado abaixo: a 1 = 1 a = + 3 a 3 = a = (05) (a) O temo a 10 é a soma de 10 inteios consecutivos Qual é o meno e o qual é o maio desses inteios? (05) (b) Calcule a 10 (10) (c) Foneça uma expessão geal paa o temo a n (a) O pimeio inteio da soma que define a n é igual ao númeo de inteios utilizados nos temos a 1,, a n 1, isto é, n 1 mais um, isto é, é igual a 1 (n 1)n + 1 O último inteio é esse númeo mais n 1 Potanto, paa n = 10, o pimeio inteio é 6 e o último é 55 (b) a 10 é a soma de uma pogessão aitmética de 10 temos, sendo o pimeio igual a 6 e o último igual a 55 Então a 10 = (6 + 55) 10 = = 505 (c) No caso de a n, tata-se da soma de uma pogessão aitmética de n temos, sendo o pimeio igual a 1 n(n 1) + 1 e o último igual a 1 n(n 1) (n 1), ou seja, 1 n(n 1) + n, como visto em (a) Então a n = [ [ ] 1 n(n 1) + 1] + 1 n(n 1) + n n = (n 1)n + (n + 1)n = n3 + n 1

2 P1 - MA Questão Um comeciante, paa quem o dinheio vale 5% ao mês, ofeece deteminado poduto po 3 pestações mensais iguais a R$ 100,00, a pimeia paga no ato da compa (10) (a) Que valo o comeciante deve coba po esse poduto, no caso de pagamento à vista? (10) (b) Se um consumido deseja paga o poduto em tês pestações mensais iguais, mas sendo a pimeia paga um mês após a compa, qual deve se o valo das pacelas? Utilize, se deseja, os seguintes valoes paa as potências de 1, 05: 1, 05 = 1, 105; 1, 05 1 = 0, 95; 1, 05 = 0, 9070 (a) Tazendo os valoes da segunda e da teceia pestações paa o ato da compa, e somando, obtém-se , = , + 90, 70 = 85, 9 1, 05 Então o comeciante podeá coba 85,9 eais, de foma que, se deixa seu dinheio valoiza 5% ao mês, podeá dispo de 100 eais no ato da compa (tiando 100 eais dos 85,9), 100 eais ao final do pimeio mês (deixando 95, eais valoizaem 5% duante um mês) e 100 eais ao final do segundo mês (deixando 90,70 eais valoizaem 5% ao mês duante dois meses) (b) Paa o pacelamento desejado pelo consumido, as pacelas se deslocam um mês adiante Então em cada uma das tês pacelas de 100 eais devem incidi juos de 5% Potanto, são 3 pacelas de 105 eais

3 P1 - MA Questão 3 Considee o conjunto dos númeos escitos apenas com os algaismos 1, e 3, em que o algaismo 1 apaece uma quantidade pa de vezes (po exemplo, 3 e 113) Seja a n a quantidade desses númeos contendo exatamente n algaismos (0) (a) Liste todos esses númeos paa n = 1 e n =, indicando os valoes de a 1 e a (08) (b) Explique po que a n satisfaz a equação de ecoência a n+1 = (3 n a n ) + a n, paa n 1 (note que 3 n é o númeo total de númeos com n algaismos iguais a 1, ou 3) (08) (c) Resolva a equação de ecoência em (b) (a) Paa n = 1 só há tês númeos possíveis: 1, e 3 Somente os dois últimos têm um númeo pa de algaismos iguais a 1 (neste caso, nenhum algaismo igual a 1) Então a 1 = Os númeos de algaismos são: 11, 1, 13, 1,, 3, 31, 3, 33, num total de 9 = 3 Cinco deles têm uma quantidade pa de algaismos iguais a 1, então a = 5 (b) (Antes de faze o execício, pode-se veifica se a fómula está coeta paa n = 1: 5 = a = (3 1 a 1 ) + a 1 = 3 + a 1 = 3 + = 5) Obseva-se pimeio que a quantidade de númeos com n algaismos tendo uma quantidade ímpa de algaismos iguais a 1 é 3 n a n, pois o númeo total de sequências é 3 n Paa obte a elação de ecoência, obseve que todo númeo de n + 1 algaismos é uma concatenação de um númeo de n algaismos com um númeo de 1 algaismo Paa que a quantidade de algaismos iguais a 1 do númeo de n + 1 algaismos seja pa é peciso que: ou o númeo de algaismos iguais a 1 de cada um dos númeos concatenados seja ímpa ou o númeo de algaismos iguais a 1 de cada um dos númeos concatenados seja pa Então, paa calcula a n+1, soma-se o númeo de concatenações do pimeio caso (ímpa-ímpa) com o númeo de concatenações do segundo caso (pa-pa) Isto dá a n+1 = (3 n a n ) (3 1 a 1 ) + a n a 1, isto é, a fómula do enunciado, já que a 1 = (c) Obseva-se que a n+1 = a n + 3 n, apenas simplificando-se a expessão Isto implica a n = a n 1 = 1 + ( n 1 ), em que a expessão ente paênteses é a soma dos n pimeios temos da pogessão geomética de temo inicial 1 e azão 3, que vale Potanto 3 n a n = 3n + 1 3

4 P1 - MA Questão (10) (a) Moste, po indução finita, que n 3 n 1 = (n 1)3n + 1 (10) (b) Seja (a n ) n 1 pogessão geomética com temo inicial a 1 positivo e azão > 1, e S n a soma dos n pimeios temos da pogessão Pove, po indução finita, que S n 1 a n, paa qualque n 1 (a) A equação é vedadeia paa n = 1, pois = 1 e ( 1 1) = 1 Supondo válida paa n, vamos mosta que vale paa n + 1, isto é, vamos mosta que, acescentando o temo (n + 1) 3 n, a soma esultaá em Usando a hipótese de indução, Manipulando a expessão à dieita, ((n + 1) 1)3 n n 3 n 1 + (n + 1)3 n = (n 1)3n (n + 1)3 n (n 1)3 n + 1 como queíamos demonsta + (n + 1)3 n = [n 1 + (n + 1)]3n + 1 = (n + 1)3n = ((n + 1) 1)3n+1 + 1, (b) Paa n = 1 a desigualdade é vedadeia: como > 1, então 1 > 1; e como S 1 = a 1 > 0, então S 1 = a 1 < 1 a 1 Suponha agoa que a desigualdade vale paa n, isto é, suponha que S n 1 a n é vedadeia Vamos pova que ela vale paa n + 1, isto é, vamos pova que S n+1 1 a n+1 Pimeio, escevemos S n+1 = S n + a n+1, pois S n+1 é a soma dos pimeios n temos adicionada do temo n + 1 Usando a hipótese de indução, S n+1 1 a n + a n+1 Como se tata de uma pogessão geomética a n+1 = a n, ou seja, podemos toca a n po a n+1 1 an+1 + a n+1, isto é, S n+1 ( )a n+1 = 1 a n+1, que é o que queíamos demonsta Então S n+1

5 P1 - MA Questão 5 Seja (x n ) n 0 sequência definida pela elação de ecoência x n+1 = x n + 1, com temo inicial x 0 R (05) (a) Enconte x 0 tal que a sequência seja constante e igual a um númeo eal a (10) (b) Resolva a ecoência com a substituição x n = y n + a, em que a é valo encontado em (a) (05) (c) Paa que valoes de x 0 a sequência é cescente? Justifique (a) Basta acha a tal que a + 1 = a Isto dá a = 1 Se x 0 = a então x 1 = x = a + 1 = a = x 0, e, da mesma foma, x = x 1, x 3 = x,, x n+1 = x n paa qualque n 0, ou seja, a sequência é constante (b) Com a substituição sugeida, x n = y n 1 Então y n+1 1 = (y n 1) + 1, isto é, y n+1 = y n, com y 0 = x Então y n = n y 0 = n (x 0 + 1) e x n = y n 1 = 1 + n (x 0 + 1) (c) Se x > 0, isto é, x 0 > 1, então n (x 0 + 1) é cescente e x n = 1 + n (x 0 + 1) é cescente Se x < 0, isto é x 0 < 1, então x n = 1 + n (x 0 + 1) = 1 n x é descescente E se x 0 = 1 então x n é constante De onde se conclui que x n é cescente se, e somente se, x 0 ( 1, + ) 5

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