Uma matriz diz-se na forma escalonada por linhas se e somente se:

Transcrição

1 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Definições Uma matiz diz-se na foma esalonada po linhas se e somente se:. Todas as linhas nulas se enontam abaio de todas as linhas não nulas.. O pimeio elemento não nulo de ada linha, apaee numa oluna à dieita do pimeio elemento não nulo da linha anteedente. Paa ada matiz, o pimeio elemento não nulo de uma linha designa-se po pivot ou elemento eduto dessa linha. Eeíio Quais das seguintes matizes se enontam na foma esalonada? 9 C B E 5 D

2 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Redução de uma Matiz à Foma Esalonada po inhas (ondensação de uma matiz) O eemplo seguinte epime um algoitmo que pemite eduzi uma matiz, do tipo m n, à foma esalonada po linhas (ou ondensada po linhas), usando opeações elementaes sobe as linhas de. Eemplo Reduzi a matiz seguinte à foma esalonada po linhas. 8 Solução 9 Este poesso pode se ontinuado de modo a obte uma matiz na foma dita esalonada po linhas eduzida. Uma matiz nesta foma tem as aateístias seguintes:

3 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 5 - todos os pivots são iguais a ; - os elementos aima e abaio de ada pivot, na mesma oluna, são nulos. Continuando o eemplo anteio, temos: Resolução de Sistemas de Equações ineaes: lgoitmo de Gauss-Jodan.. Considea um sistema = b, sendo do tipo m n.. Foma a matiz aumentada [b].. Obte a oespondente matiz esalonada po linhas, na foma eduzida [H] (ondensa a matiz).. Podemos te asos:

4 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Eemplos. [H] tem pelo menos uma linha do tipo d, om d. Então, o sistema não tem soluções e diz-se sistema impossível.. [H] não tem linhas do tipo d, om d, nem tem linhas nulas. Então, o sistema tem uma só solução e diz-se sistema possível e deteminado.. [H] não tem linhas do tipo d, om d, mas tem linhas nulas. Então o sistema tem infinitas soluções, sendo o númeo de vaiáveis lives igual ao númeo de linhas nulas. Neste aso os sistema diz-se sistema possível e indeteminado. 5. Paa os asos em que eistem soluções (. e.), estas obtêm-se do seguinte modo: Sistema impossível a. Eseve o sistema oespondente à matiz aumentada esultante, [H]; b. Se o sistema é possível e deteminado, então a solução únia fia evidente no sistema da alínea a;. Se o sistema é possível e indeteminado, então passa paa os segundos membos todos os temos oespondentes a vaiáveis lives, epimindo-se as estantes vaiáveis em função destas.

5 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Foma matiial. Matiz umentada Condensação da Matiz umentada

6 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 8 Sistema Equivalente ao Iniial Não eistem soluções paa o sistema, poque a última equação não tem solução. Sistema Possível e Deteminado

7 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 9 Foma matiial. Matiz umentada Condensação da Matiz umentada

8 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 9

9 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Sistema Equivalente ao Iniial Esta é a únia solução do sistema. Sistema Possível e Indeteminado

10 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg Foma matiial. Matiz umentada Condensação da Matiz umentada

11 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg

12 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 5 9 Sistema Equivalente ao Iniial 5 9 ou R, 5 9. s soluções do sistema são infinitas: paa ada valo eal atibuido a obtêm-se os valoes oespondentes às outas vaiáveis do veto solução do sistema. O onjunto de soluções do sistema, ou solução geal, é onstituido pelo onjunto de vetoes seguinte:

13 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 5 R, 5 9 ou. R 5 9 Podemos eonhee nesta última igualdade a equação de uma eta em R. Cada ponto dessa eta é uma solução patiula do sistema. diz-se vaiável live do sistema. s outas vaiáveis são esitas em função desta. vaiável live podia se qualque uma das outas. Bastava paa isso toa olunas na matiz do sistema. Teoema Seja uma matiz do tipo m n. Na matiz que esulta da ondensação de, o númeo de linhas não nulas é igual ao númeo máimo de linhas lineamente independentes de. Pova

14 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg demonstação tem duas pates.. s linhas não nulas de uma matiz esalonada po linhas são lineamente independentes. Pova de Suponhamos a matiz na foma esalonada po linhas, a a a kk om k linhas não nulas, sendo os elementos esalaes quaisque. Se as k linhas não nulas fossem lineamente dependentes, eistiiam k esalaes,, i,, k, não todos nulos, tais que i a a a a a a k kk isto é, a k a k a k kk ou

15 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg a a k a kk k. Então não é possível os i seem todos não nulos. Isto signifia que as linhas são lineamente independentes.. s opeações elementaes sobe linhas, não alteam a independênia linea das linhas da matiz. Pova de Se as linhas da matiz,,,, k, são lineamente independentes (ou lineamente dependentes), também o são as linhas : a.,, j,, i,, k opeação O ; b.,,, i,, k opeação O ; (Poquê?).,,, i + j,, k opeação O. Como o númeo máimo de linhas não nulas da matiz ondensada, oesponde ao númeo máimo de linhas lineamente independentes da mesma (povado em.), e este último não é alteado pelas váias opeações elementaes sobe linhas (povado em.), então o númeo máimo de linhas não nulas da matiz ondensada, é igual ao númeo máimo de linhas lineamente independentes da matiz, omo queíamos demonsta fim de pova

16 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 8 Teoema Seja uma matiz do tipo m n. O númeo máimo de linhas lineamente independentes da matiz é igual ao númeo máimo de olunas lineamente independentes desta matiz. Pova. matiz na foma ondensada tem o mesmo númeo máimo de linhas e olunas lineamente independentes. Pova de Suponhamos que a matiz tem s linhas lineamente independentes. Então, usando opeações elementaes sobe linhas podemos obte a seguinte matiz equivalente a po linhas:, sendo os esalaes quaisque e tendo ada linha não nula o pivot.

17 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg 9 Todas as linhas abaio da última que é epesentada om pivot são nulas. Nestas ondições, as pimeias s olunas são:,,,. Estas olunas são lineamente independentes (poquê?).todas as outas olunas podem se geadas po ombinações lineaes destas. Então, s é o númeo máimo de olunas lineamente independentes da matiz.. s opeações elementaes sobe linhas, não alteam o númeo máimo de olunas lineamente independentes. Pova de Consideemos k olunas lineamente independentes (dependentes) de uma matiz C mn, mk k k k m m C,, C, C. Vamos veifia que, no final das opeações de ondensação, estas olunas ontinuam lineamente independentes.

18 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg independênia linea signifia que não eistem onstantes não todas nulas,,..., k, tais que C + C k C k =. Note que isto signifia dize que não eiste solução não tivial, nas inógnitas,,, k, paa o sistema m m k mk k Mas omo vimos atás, as opeações elementaes sobe linhas efetuadas sobe a matiz aumentada de um sistema, não alteam as soluções deste. Então onluímos que a independênia linea das olunas da matiz C, não se altea om as opeações elementaes sobe as suas linhas. Poque se se alteasse, isto é, se um eto númeo de opeações elementaes sobe as linhas de C tonasse as olunas de C lineamente dependentes, então o sistema aima passava a te solução não tivial. nalogamente, se C, C,..., C k são olunas lineamente dependentes, então as opeações de ondensação da matiz não alteam esta dependênia linea.. Como o mesmo aontee om o númeo máimo de linhas lineamente independentes, e omo temos igual númeo de linhas e olunas lineamente independentes no fim do poesso de ondensação, também este númeo é igual no iníio do poesso, omo afima o enuniado do teoema.

19 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg fim de pova Definição O númeo máimo de filas (linhas ou olunas) lineamente independentes de uma matiz designa-se po aateístia ou ank dessa matiz. Teoema Seja uma matiz do tipo m n. O sistema X = b, om b, é possível se e somente se o veto m b R petene ao span dos vetoes oluna da matiz. Pova => Sejam,,..., n as olunas de. Suponhamos que o sistema é possível. Então eiste pelo menos um veto oluna não nulo tal que n Mas isto signifia b b n. n b m

20 MT I Depatamento de Matemátia Resumos das ulas pg b n n (poquê?), ou seja o veto m R b petene ao span dos vetoes oluna da matiz. <= Suponhamos agoa que o veto m R b petene ao span dos vetoes oluna da matiz. Isto signifia que eistem onstantes,,,..., n, não todos nulos, tais que b n n, ou (o que é o mesmo) tais que m n n b b b. Oa isto oesponde a afima que o sistema = b tem solução fim de pova