LEI DE AMPÉRE E ROTACIONAL DO CAMPO MAGNÉTICO

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1 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 85 E DE AMPÉE E OTACONA DO CAMPO MAGNÉTCO Pudemos veifia em apítulos anteioes que a distibuição de ampos elétios também é obtida pelo empego da lei de Gauss, desde que o poblema ofeeça ondições de simetia. Nestes asos, em função da supefíie fehada esolhida, o poduto esala ente a densidade de fluo e a seção atavessada pelas linhas de ampo ou é nulo ou é simplesmente o poduto algébio das gandeas envolvidas neste fluo. Desta foma, fente a simetias ofeeidas, o módulo do ampo elétio é obtido muito mais failmente do que pela foma lássia, atavés da lei de Coulomb. No apítulo anteio, pudemos nota que a deteminação de ampos magnétios pela lássia apliação da lei de Biot-Savat, impunha a esolução de integações, algumas vees ompliadas. Neste apítulo, em função de ondições de simetia ofeeidas pelo poblema, deteminaemos as distibuições de ampo magnétio pela apliação da ei Ciuital de Ampèe. emos nota que o enuniado desta lei possui uma analogia muito fote om o poposto pela lei de Gauss paa o ampo elétio.. - A E DE AMPÈE De aodo om um eemplo e um eeíio poposto no apítulo anteio, vimos que a intensidade de ampo magnétio a uma distnia de um fio onduto eto e longo om uma oente de intensidade é dada po: (A / m) (.) π O denominado desta epessão mosta laamente o peímeto de uma iunfeênia de aio que fonee o ampo magnétio invesamente popoional à distnia do fio onduto, uja oente ia este ampo. Desta foma, o módulo deste ampo assume valoes onstantes paa ada distnia adial admitida. Ainda se este ampo fo integado ao longo de um aminho iula de aio, iundando o onduto, teemos: d d. π (.) De uma foma geal esta integal de linha ompeende uma oente i envolvida ou enlaçada pelo aminho fehado onde:.d De modo geal podemos então enunia a lei de Ampèe: i (.3) Coneito A integal de linha do veto intensidade de ampo magnétio ao longo de um aminho fehado, é igual a oente total enlaçada po esse aminho A oente elétia pode se esita de uma foma genealiada, omo sendo a integal do veto densidade de oente, alulada em uma supefíie delimitada pelo aminho fehado sobe o qual o veto intensidade de ampo magnétio é integado. Assim:.d S.dS (.4) UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino 85

2 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 86 As equações (.3) e (.4) são válidas paa qualque aminho fehado e a oespondente pate de oente envolvida ou enlaçada po ele. Eemplo. Um onduto sólido e ilíndio é peoido po uma oente A, que se distibui unifomemente sobe a seção iula de aio do onduto. Enonte epessões paa o ampo dento e foa do onduto. Esboe gafiamente a vaiação do módulo de, em função de, medido a pati do ento ou eio do onduto. Solução. ogo ' π dd π π ' π Figua. - Conduto ilíndio onduindo uma oente unifome Foa do onduto onde >, seá integado ao longo de um aminho iula que ontém toda a oente do onduto: Assim, () d Em oodenadas ilíndias e paa onstante: π (A / m) Paa o inteio do onduto onde < a oente envolvida pelo aminho seá: ' ds S() A densidade de oente é onstante em função da distibuição egula. Daí: π A intensidade de ampo magnétio definida paa (inteio do onduto) seá : π π Gafiamente teemos: /π (A/m) (A / m) Figua. - Vaiação de dento e foa do onduto. (m) Podemos nota que paa esta última epessão é onsistente oniliando om a epessão obtida paa o ampo foa do onduto. Podemos obseva que a função que define este ampo magnétio é ontínua em todo o espaço. Além disso, este aanjo efoça o oneito de um ampo de aateístia solenoidal e demonsta a ausênia dele no eio do onduto, onde. Tal ompotamento é veifiado na pátia quando pequenas patíulas de limalha de feo, iniialmente dispesas, são aanjadas em iunfeênias onêntias a um teho etilíneo de onduto quando uma oente ontínua iula po ele, pependiulamente ao plano que ontem a limalha. As linhas de fluo possuem um vótie no eio da distibuição de oente, fonte geadoa do ampo magnétio que oienta as patíulas de feo. 86 UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

3 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 87 Eemplo. Considee um onduto ilíndio de aio m, tanspotando uma oente uja densidade na seção tansvesal é K. (A/m ), onde K é uma onstante e é a distnia adial patindo-se do ento do onduto. Detemine: a) - O valo de B no inteio do onduto. b) - O valo de B eteio ao onduto ) O gáfio de B f() Solução a) B.d µ S.dS A indução magnétia é onstante ao longo do íulo de aio. Potanto: b) B µ d π B π µ B µ K K d d π 3 K (T) d Foa do onduto, a oente seá a oente total: B µ d π K B π K π µ 3 B 3 µ K 3 d d Potanto, dento do onduto o ampo magnétio vaia om o quadado da distnia, e foa do onduto a vaiação é om o inveso da distnia. 3 (A/m) µ K / 3 (m) Figua.3 Vaiação de dento e foa do onduto..3 - O OTACONA E O TEOEMA DE STOKES Da mesma foma que empegamos uma definição pontual paa a lei de Gauss, o faemos agoa paa a lei de Ampèe. A equação: UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino 87

4 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 88 d (A) elaiona a integal de linha do veto intensidade de ampo magnétio fehado om a oente total envolvida po esse aminho. (.5) ao longo de um aminho Emboa elações envolvendo aminhos finitos sejam úteis em teoia de iuitos, é feqüentemente desejável, na teoia de ampos, elações que envolvam gandeas em um ponto no espaço. Assim omo o divegente aplia a lei de Gauss, o otaional aplia a lei de Ampèe de uma foma pontual. Consideemos uma áea inemental S, em um meio onduto, atavessada pependiulamente po uma oente elementa (figua.4). S Figua.4 Supefíie inemental atavessada po oente elementa. Apliando a lei de Ampèe, e dividindo sua equação po S, teemos: d S S (A / m ) (.6) Passando ao limite, om S tendendo a eo teemos: lim d lim (A / m ) S S S S (.7) O segundo membo da equação.3 é o módulo da densidade de oente e o pimeio membo epesenta o módulo de uma opeação vetoial sobe um ampo também vetoial, denominada otaional. Abeviando iniialmente o otaional po ot, podemos eseve então que: ( ot ) (A / m ) n (.8) O veso n india que ot é um veto pependiula a S na dieção de. Vamos agoa enonta a epessão paa ot em oodenadas atesianas, e. Considee iniialmente um aminho fehado abda mostado na figua.5, om lados e que definem uma áea inemental S paalela ao plano e a omponente em do veto,, no ento deste aminho fehado e pependiula a S. A lei de Ampèe apliada ao aminho que delimita a supefíie S fonee: d (.9) Vamos toma a oientação do aminho abda e o ampo magnétio om suas omponentes e oientadas de aodo om o sentido definido pela ega da Mão Dieita, de modo que este ampo ie uma omponente do veto, onfome a figua.5 a segui. UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

5 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 89 Figua.5 - Ciulação de em uma supefíie S. Consideando ada teho da integal de linha ao longo de sepaadamente e epandindo ada uma em tono da viinhança do ponto ental no aminho abd, tem-se: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) d da d b ab (.) eduindo a epessão aima, dividindo-a po S e passando ao limite tendendo a eo, podemos eseve: ( ) ot (.) Do mesmo modo, teemos paa nas dieções positivas de e : ( ) ot (.) ( ) ot (.3) Assim: ot (.4) ou: ) m (A / ot (.5) embando do opeado nabla assim definido, temos que: d b a UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

6 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 9 () () () (.6) paa: (.7) vamos fae a opeação. Assim, teemos: (.8) (.9) ou: (.) Potanto, o otaional do veto intensidade de ampo magnétio pode se esito em temos do poduto vetoial do opeado nabla pelo veto intensidade de ampo magnétio, epessando a lei de Ampèe na foma pontual, quando os vetoes tiveem suas omponentes epessas em oodenadas atesianas. Coneito A iulação do veto intensidade de ampo magnétio em uma supefíie S que tende a eo (aateiando um ponto no espaço), dividida pela áea dessa supefíie, é o veto densidade de oente neste ponto. Em oodenadas ilíndias ( ) o ot,,, ou em abuso de notação, é epesso po: ( ) (.) Em oodenadas esféias ( ) po:,, ( ) ( ) ( ) ( ) sen sen sen (.) UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

7 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 9 Eemplo.3 Considee um onduto ilíndio om aio m, peoido po uma oente A, unifomemente distibuída. Enonte dento e foa do onduto. Solução Figua.6 - onduto peoido po oente O veto intensidade de ampo magnétio seá epesso em oodenadas ilíndias po: Pela lei de Ampèe, dento do onduto, vale: e foa dele: π π Potanto, dento do onduto, o otaional em oodenadas ilíndias, onfome a equação (.), fonee: π π Ou ainda, omo espeado: Foa do onduto: (A / m (a / m (A / m a A m π $ ( / ) ) ) ).3. - O TEOEMA DE STOKES Considee a supefíie S, dividida em supefíies inementais S, mostado na figua.7. (A figua seá feita em sala de aula) Fig..7 - Supefíie dividida em supefíies inementais. Sabemos pela definição de otaional que: d S ( ) (A / m ) n (.3) UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

8 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 9 ou d ( ) S ( ) S n (.4) ealiando uma iulação paa todas as áeas inementais, e somando os esultados, a maioia dos temos se anela, om eeção dos que estão no ontono da supefíie S. Potanto: d S ( ) ds (A) (.5) A equação aima é hamada de Teoema de Stokes, válida paa qualque ampo vetoial. Utiliando-a na lei iuital de Ampèe, podemos eseve: S ( ) ds ds d (A) S (.6) Pelas identidades aima peebemos que podemos failmente pati da lei de Ampèe na foma integal e hega na sua foma pontual e vie-vesa, utiliando o teoema de Stokes. O oneito do otaional pode também se apliado ao ampo eletostátio. Se tomamos a iuitação do veto intensidade de ampo elétio em um aminho fehado, teemos: E.dl E apliando à equação.7 o teoema de Stokes, teemos: (.7) E (.8) A equação (.7) epessa laa e nitidamente a lei de Kihhoff apliada às tensões elétias que feham um laço ou uma malha num iuito elétio. Po outo lado, sabemos que o ampo elétio possui suas linhas de foça om oigem ou témino na aga elétia, fonte geadoa deste ampo. A equação (.8) mosta então que os ampos onsevativos possuem otaional nulo e suas linhas de ampo não são fehadas. UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

9 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 93 EXECÍCOS ) Nas onfiguações abaio, ada onduto ondu uma oente (A). Qual é o valo da integal de linha do veto intensidade de ampo magnétio em ada aso? (a) (b) () Figua paa o poblema. ) Um onduto ilíndio não maiço, bastante fino e om aio a e etensão infinita ondu uma oente. Calule paa os pontos intenos e etenos a este onduto usando a lei de Ampèe. 3) Um onduto ilíndio de aio, m possui um ampo magnétio inteno dado po: ) 5 ( 4, 77 3 a A / m Qual é a oente total no onduto? 4) Um abo oaial om onduto inteno de aio a (m), onduto eteno om aio inteno b (m) e aio eteno (m), é peoido po uma oente (A) unifomemente distibuída (as dieções em ada onduto são opostas ente si). Moste que paa b m : π b 5) Detemine uma epessão paa devido a uma pelíula plana (infinita) de oentes om densidade lamina K unifome. 6) Po um fio onduto ao longo do eio passa uma oente de A no seu sentido positivo. Em uma pelíula de oentes supefiiais loaliada em 4 m, eiste uma distibuição supefiial de densidade K, A/m. Enonte o ampo no ponto (,, ) m deste espaço. UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino

10 APOSTA DE EETOMAGNETSMO 94 7) Em oodenadas atesianas a egião -b b m. supota uma densidade de oente (volumétia), onstante (A/m ), onfome figua abaio. Use a lei de Ampèe paa obte em todo o espaço. b -b Figua paa o poblema 7. 8) Dado o veto genéio A e sen em oodenadas ilíndias, alule o otaional de A em (,8; π/3;,5). os sen 9) Dado o veto genéio A 3 3, moste que o otaional de A é nulo paa todo o espaço. ) Um onduto iula de aio m possui um ampo inteno vaiando em função da distnia adial ( ) segundo 4 sen(a) os(a) a a A/m, onde a π / ( ). Enonte a oente (total) no onduto a pati do álulo do otaional do ampo também pelo empego da lei iuital de Ampèe. e ) Calule o otaional de em oodenadas atesianas em deoênia de uma oente que peoe um filamento ao longo do eio no seu sentido positivo. ) Em oodenadas atesianas a egião a a supota uma densidade onstante de oente volumétia. Use a ei de Ampèe paa obte em todo o espaço. Obtenha o seu otaional e ompae om a densidade. 3) Enonte a densidade de oente se: (a) e (). 3. os.., (b) UNESP Naasson Peeia de Alantaa unio Claudio Vaa de Aquino