FEP2195 Física Geral e Experimental para a Engenharia I Gabarito da prova 2 14/05/2009

Transcrição

1 FP95 Físia Geal e peiental paa a ngenhaia I Gabaito da pova 4/05/009 Ua bola de basquete (de assa M e ua bola de tênis (de assa são abandonadas do epouso a ua altua h do solo, onfoe ostado na figua. Os entos das duas bolas estão alinhados vetialente. Despeze qualque influênia do a, assi oo as diensões das duas bolas fente à altua h. pesse todas as suas espostas e função de g, h, M,, t e use o efeenial indiado na figua. h y M a (0,5 Calule a veloidade das bolas na iinênia de atingie o solo. b (,0 Sabendo que não há ontato ente as bolas na situação iniial, alule a veloidade da bola de basquete logo após iohetea elastiaente o o hão, assi oo a foça esultante édia apliada sobe a bola de basquete duante a olisão oo solo, se esta duou t s. (0,5 Supondo que as duas bolas olida elastiaente logo e seguida, alule a nova veloidade da bola de tênis. Paa siplifia os álulos, 0 onsidee M>>. d (0,5 Calule a altua áia que a bola de tênis atingiá após a olisão. a As diensões das duas bolas pode se despezadas fente à altua h, o que signifia que as duas bolas ae da esa altua h. A únia foça que atua sobe elas duante a queda é a gavidade que é ua foça onsevativa. Potanto a enegia eânia M é onsevada, e teos: posição : e ia, paado posição : e baio, logo antes de hega no solo M + p v + gy 0 + gh gh M + v p + gy v + 0 v M gh v v M ± gh ( / s Antes de olidie o o solo, as duas bolas possue a esa veloidade gh ( / s (no efeenial da figua, ua vez que esta veloidade não depende da assa das bolas. b Coo o hoque da bola de basquete o o solo é elástio, a sua enegia inétia deve se a esa logo antes e depois da olisão, o que leva a ua veloidade + gh ( / s logo depois do hoque. O sinal foi invetido já que agoa a bola está subindo. Segundo o teoea do ipulso-oento linea, o ipulso da foça esultante édia (onsideada onstante que atua sobe a bola de basqueste duante a olisão o o solo é dada po J F t P

2 Neste poblea, todas as foças atua ao logo do eio y, e podeos onsidea apenas a oponente y da elação: M 8gh ( M gh M 8gh F ( J y Fy t Py M gh y N t A foça esultante édia é vetial, positiva (aponta paa ia e possui ódulo M 8gh t ( N. Se a olisão ooe eataente e baio, a esultante das foças etenas é nula (foça peso e noal se opensa paa ada bola e as duas bolas são sujeitas apenas às foças intenas da olisão. Neste aso, eiste onsevação do oento linea e, oo a olisão ente as duas bolas é onsideada eástia, podeos usa a elação das veloidades elativas ao longo do eio y (os índies e identifia os oentos logo antes e depois da olisão ente as duas bolas: v B v t ( v v B t Coo a assa da bola de basquete é onsideada uito aio que a assa da bola de tênis (M>>, podeos supo que o oviento da bola de basquete não seá alteado pela olisão. Potanto, podeos supo que v B v B e eseve que gh ( gh ( gh v v 8gh ( / s t t A veloidade da bola de tênis é vetial, positiva (aponta paa ia e possui ódulo 8gh ( / s d Após iniia a subida, a bola de tênis está novaente e queda live, o apenas a foça da hgavidade atuando sobe ela. Podeoa assi usa a onsevação da enegia eânia paa enonta a altua áia que atingiá: posiçãoo : e baio; posição : e ia, na altua áia M + p v gy ( 8gh gh M + v p + gy 0 + gy gy gh gy y 9h ( M 9 M A bola de tênis subiá até ua altua 9 vezes aio que a altua iniial e que foi solta.

3 U bloo de assa é abandonado a ua distânia s de ua ola ideal de assa despezível que te onstante de foça k, loalizada ao longo de u plano inlinado fazendo u ângulo θ o a hoizontal, oo ostado na figua. A onstante da ola é gande o sufiiente paa que voê possa despeza sua pequena opessão e opaação o s. pesse todas as suas espostas e função de, g, s, k, θ e µ. s a (,0 Se o oefiiente de atito inétio ente o plano e o bloo fo µ, alule a áia opessão da ola após o bloo te se hoado o ela. k b (,0 Paa as ondições do ite a, qual é a distânia d ao longo do plano que o bloo peoeá após deia a ola? Pode tabé despeza a pequena opessão da ola e θ opaação o d. (0.5 Duante todo esse peuso (desida e subida do bloo, qual foi o tabalho ealizado pela esultante de todas as foças eeidas sobe o bloo? a A foça da gavidade e da ola são foças onsevativas, as a foça de atito inétia é não onsevativa e ealiza tabalho. Neste aso, fa M M M onde as posições e do bloo oesponde à posição iniial (e ia, paado e e baio (o a ola opiida no áio. Usando u eio y positivo paa ia, o oíge na posição, e haando a opessão áia da ola, M + pg + pel gy + v + k 0 + g( s + senθ + 0 g( s + senθ Mas oo << s, podeos eseve que ( s + s, o que leva a M gs senθ M + + v + gy + k k pg pel fa o f l µ Nl os( 80 µ g( s + osθ µ gs osθ a k f a M M µ gs osθ k gs senθ ± gs( senθ µ osθ k gs( senθ µ os A aio opessão da ola é potanto θ ± ( k b Vaos supo que o bloo vai paa nua posição 3, ente as posições e. oando oo posição iniial a posição, e oo posição final a posição 3, podeos novaente usa o eso

4 pinípio que no ite a: fa fa, onde f a M M3 M o d µ Nd os( 80 µ g( d + osθ µ gd osθ M + p g + v p el + gy + k k k M p g 3 + p el 3 gy v + k 0 + g( d + senθ + 0 gd senθ fa µ gd osθ gd senθ k M3 M d gs( senθ µ osθ k k k ( senθ µ osθ s g( senθ + osθ g( senθ + osθ ( senθ + osθ ( senθ µ osθ Potanto, o bloo voltaá a subi ua distânia d s ( ao longo do plano ( senθ + osθ inlinado antes de paa novaente. Apliando o teoea do tabalho - enegia inétia (C à esultante de todas as foças que atua sobe o opo ente as posições e 3, teos F es J Potanto, o tabalho ealizado pela esultante das foças ente as posições e 3 é nulo.

5 3 Ua patíula de assa kg se ove ao longo do eio sob o efeito de ua foça onsevativa F( (N. a (0,5 Se a enegia potenial da patíula fo nula na posição, enonte a epessão dela paa qualque valo de. b (,0 nonte as posições de equilíbio do sistea e deteine a sua natueza (estável/ instável. Justifique. (0,5 Se a patíula fo abandonada na oige o veloidade nula, qual seá a enegia inétia dela e? d (0,5 Qual é o tabalho ealizado pela foça F( quando a patíula se desloa de até? a Coo a foça F( é onsevativa, sabeos que eiste ua função enegia potenial p ( tal que d p ( F( d p ( F( d d Integando os dois ebos, obteos que 3 p ( F( d ( d C onde C é ua onstante de integação. Sabendo que p (0 J, podeos deteina a onstante de integação C: p 3 ( ( + 6( 9( + C 0 C 4 A enegia potenial da patíula é potanto p ( ( J 3 b A patíula estaá e equilíbio quando a esultante das foças que atua sobe ela fo nula. F ( As aízes desta equação do segundo gau são b ± b 4a a ( 4 ± ( 4 ( 4((3 4 ± 3 ou Paa enonta a natueza destas duas posições de equilíbio, basta alula a deivada segunda da função p ( e onfei o sinal dela nos pontos e 3. 3 ( d ( p d d d 3, a deivada segunda de p ( vale -6. A onavidade da enegia potenial naquela egião é paa baio, signifiando que a posição de equilíbio é instável.

6 , a deivada segunda de p ( vale +6. A onavidade da enegia potenial naquela egião é paa ia, signifiando que a posição de equilíbio é estável. Se a patíula fo abandonada na posição 0, sua enegia inétia naquele ponto seá nula, e 3 sua enegia potenial valeá (0 (0 + 6(0 9( J. Potanto, a enegia eânia p da patíula, que é onsevada já que a foça esultante que atua sobe a patíula é onsevativa, vale a qualque oento 4 J. Na posição, a enegia potenial da patíula é Naquela posição, a enegia inétia seá então p 3 ( ( + 6( 9( + 4 J. ( ( 4 J M p d Coo a foça esultante é onsevativa, teos que F es p ( ( ( (0 J p p

7 4 Ua bola de assa e aio R é oloada no inteio de ua esfea oa de aio R e de esa assa. Iniialente, o sistea está no epouso sobe o solo, na onfiguação ilustada pela figua a. A bola é então solta, e ola paa baio e paa ia, dento da esfea, até hega no epouso na pate infeio da esfea, onfoe ostado na figua b. a (,5 De que distânia hoizontal d a esfea se desloou e elação à sua posição iniial, ua vez que a bola hegou no epouso na pate infeio da esfea? b (,0 Cite as foças que atua sobe o sistea, enione que pinípio físio usou paa esolve o ite a do poblea, e eplique oo e po que este pinípio pode se usado neste aso espeífio. d R R 0 (a 0 (b a Usando a onsevação do oento linea total hoizontalente (ve ite b, podeos eseve P Mv CM Mas sabeos que iniialente o sistea está paado. Potanto, P CM CM 0 v 0 onstante Podeos alula a posição CM do ento de assa na posição iniial (figua a: + R + 0 R bola bola esfea esfea CM bola + esfea Supondo que, na onfiguação final (figua b, a esfea se desloou de ua distânia d e elação à posição iniial (figua a, a oponente hoizontal da posição do ento de assa é agoa CM bola bola bola + + esfea esfea esfea d d d R Coo estes dois valoes deve se iguais, d ( R Potanto, o sistea se desloou de ua distânia d ( paa a esqueda da posição iniial.

8 b As foças etenas que atua sobe o sistea são a foça peso da bola e da esfea, assi oo a foça noal do hão que atua sobe esfea. odas estas foças etenas atua vetialente. A foça noal ente a esfea e a bola, assi oo a eventual foça de atito ente a esfea e a bola (que faz o que a bola aaba hegando no epouso são foças intenas. Coo não eiste foças etenas atuando hoizontalente, podeos usa a onsevação do oento linea total do sistea hoizontalente: F et dp dt 0 P onstante