Física Geral I - F Aula 13 Conservação do Momento Angular e Rolamento. 2 0 semestre, 2010

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1 Físca Geal - F -18 Aula 13 Consevação do Momento Angula e Rolamento 0 semeste, 010

2 Consevação do momento angula No sstema homem - haltees só há foças ntenas e, potanto: f f z constante ) ( f f Com a apoxmação dos haltees ( < ) a velocdade angula do sstema aumenta. f

3 Exemplo 3: Consevação do momento angula Dados Momento angula ncal do sstema oda de bccleta-menno (+ banco) bc bc O menno nvete o exo de otação da oda de bccleta bc bc 1, kg.m ; tot 6,8 kg.m e 3,9 ot/s Queemos calcula a velocdade angula fnal do sstema após o menno nvete o exo de otação da oda de bccleta (ve fgua)

4 Exemplo 3: Momento angula fnal do sstema: f bc + men Consevação do momento angula (pos só há foças ntenas no sstema) men f men men tot bc bc tot 1,4 ot/s

5 Consevação do momento angula No caso da megulhadoa da fgua ao lado o segue um movmento paabólco. Nenhum toque exteno atua sobe ela em elação a um exo que passa pelo ; então no efeencal do : d dt F m e o momento angula da nadadoa é constante duante o salto. Juntando baços e penas, ela pode aumenta sua velocdade angula em tono do exo que passa pelo, às custas da edução do momento de néca em elação a este exo. 0 g 0 M g

6 Rolamento (sem deslzamento) O deslocamento do cento de massa e a otação estão vnculados: s é o deslocamento do cento de massa do objeto θ é o deslocamento angula do objeto em tono de um exo que passa pelo do sstema. v R θ s s Rθ A velocdade do é dada po: ds dθ v R dt dt R

7 Rolamento (sem deslzamento) Decomposção do olamento em otação + tanslação Tanslação pua Rotação pua Tanslação + Rotação v v R v + v v 0 v v v R v 0 v v R v v (acma do cento) (abaxo do cento) O ponto de contato está sempe em epouso

8 Rolamento (sem deslzamento) Fotogafa de uma oda em olamento v v v 0 Fgua da esqueda: o olamento sem deslzamento pode se descto como uma otação pua com a mesma velocdade angula em tono de um exo que sempe passa pelo ponto P de contacto (exo nstantâneo de otação). De fato: v R v P R Fgua da deta: os aos de cma estão menos nítdos que os de baxo poque estão se movendo mas depessa.

9 Enega Cnétca de Rolamento Encaando o olamento sem deslzamento como uma otação pua em tono do exo nstantâneo: 1 K P Mas Então: P + M R (teoema dos exos paalelos) 1 K 1 K 1 + M R 1 + M v sto é, a enega cnétca do copo ígdo é a soma da enega cnétca de otação em tono do com a enega cnétca assocada ao movmento de tanslação do. v 0 v v

10 Exemplo 4: O ô-ô Toque exteno elatvo ao quando o ô-ô desce: T α T Dnâmca lnea (exo oentado paa baxo) T Ma Condção de olamento: v a α T 1+ M e a T 1+ g M

11 Exemplo 4: Note que se o ô-ô sobe, o toque muda de snal T α T Po outo lado, o fo se enola e a condção de olamento também muda de snal v a α Ao fnal, as equações não mudam! T α Ma T a T 1+ M e a T 1+ g M

12 Exemplo 4: Podemos anda esolve o mesmo poblema usando a consevação de enega: 1 1 Mv + M g z A condção de olamento é v v g z 1+ M ± ± az Z T Snal (+) paa a descda e ( ) paa a subda. Equação de Tocell com aceleação constante dada po g a 1 + M ρ

13 Rolamento (sem deslzamento) Atto no olamento τ Tansfoma enega cnétca de tanslação em otação Tansfoma enega cnétca de otação em tanslação F a τ Copo olando ladea abaxo devdo ao pópo peso. F a F a g Roda de um cao gando.

14 Exemplo 5: Rolamento sobe um plano nclnado Na deção y: N cos θ Na deção x: sen θ F a 0 Ma v Toque elatvo ao : F ar α y N v Condção de olamento sem deslzamento: a Rα Momento de néca: ( k é o ao de gação) Mk F xa cos θ sen θ

15 Exemplo 5: a g sn θ k 1 + R 1/ 1 / 3 k 1 + 5/ 7 R Temos anda: tgθ k F a senθ k + k + µ e k R R e anel clndo esfea tg θ como y x cos θ F a Fa Fe max µ cosθ Ângulo máxmo (lma) paa que haja olamento sem deslzamento e N v sen θ

16 Pão Pecessão do momento angula Módulo do toque da foça peso: τ senθ θ e fundamental da dnâmca das otações: τ t senθ t N τ Da fgua temos: senθ senθ t ϕ senθ senθ ϕ ϕ ϕ Velocdade angula de pecessão: Ω d ϕ dt

17 Pecessão do momento angula O cento de massa do pão executa movmento ccula com uma aceleação centípeta θ a c Ω senθ A foça de atto pão-pso é a esponsável po esta aceleação N F a τ F a MΩ senθ Como F a µ ϕ µ g senθ Ω paa que a ponta do pão fque fxa e haja apenas movmento de otação!

18 Um goscópo N

19 Pecessão do momento angula Como a Tea é um esfeóde oblato (achatado nos polos), a ua e o Sol povocam foças como as mostadas abaxo e em anos o exo de otação sofe pecessão de meo peíodo, como na fgua.