Colisões. m 2. F x = mv v. dv dt. dp dt. dv dt

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1 Ipulso Colisão pode se deinida coo sendo a inteação oentânea ente dois copos. Duante o intealo de tepo e que ocoe a colisão, as oças ente os copos altea-se sensielente. As leis de conseação e Física auxilia consideaelente o estudo das colisões. Vaos coeça consideando a lei tabalho-enegia que ios no Cap. 5. Ua oça F agindo sobe u copo de assa ao longo de u pequeno deslocaento x ealiza u tabalho: F x ( )( + ) No caso do deslocaento se ininitesial, e - e assi, F x diidindo po t e toando o liite t 0 F d dt de onde obteos a a lei de Newton paa assa constante, F d dt Se a oça age sobe o copo duante u intealo de tepo t t t, podeos intega a expessão acia e obte: dp dt S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

2 0 I t t Fdt p p onde já izeos ua genealização paa o caso tidiensional. A gandeza I é o ipulso causado pela oça F sobe o copo duante o intealo de tepo t. Dizeos então que o ipulso causado pela oça F é igual à aiação de oentu do copo. Duante as colisões, as oças existentes e geal age duante intealos de tepo be cutos e a epesentação gáica paa este tipo de oça está ostada na Fig. 7.. Do que discutios anteioente, a aiação da quantidade de oiento é exataente a áea sob a cua. uitas ezes é inteessante deini a oça édia que age sobe o copo: I / t F(t) F Fig Exeplo de aiação da oça co o tepo. t Coo exeplo, podeos calcula a oça édia execida pelas bolas dispaadas po ua etalhadoa conta u alo. Se a etalhadoa dispaa R balas po segundo, a oça eal execida sobe o alo é algo do tipo ostado na Fig. 7.. F(t) /R F t Fig Sequência de ipactos poduzida pelas balas de ua etalhadoa. S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

3 Desta oa, duaste o tepo /R, u oentu é tanseido ao alo, ou seja: F. R F R Paa R 4/s, 0,05 Kg e 00 /s, teos F 0 N. 7. Tanspote de oentu paa ua supeície. Pessão de u gás Queeos enconta a oça execida po u eixe de patículas de elocidade e espaçaento l sobe ua supeície. Após a colisão as patículas deixa a supeície co elocidade, coo indica a Fig l Fig de patículas co ua paede. Duante u tepo τ l/ (tepo de chegada), o oentu tanseido paa a supeície é ( + ) e conseqüenteente a oça édia é dada po: ( + ' ) ( ' ) + F l/ l No caso e que teos u choque peeitaente elástico e deinindo ua densidade linea de assa coo λ /l, a oça édia se tona: S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

4 F l λ Ua das gandes aplicações da tanseência de oentu paa supeícies é o cálculo da pessão que u gás contido nua caixa exece sobe as paedes da esa. Vaos iagina as oléculas do gás coo sendo eseas ígidas de assa. Consideeos u ecipiente de olue V co N oléculas dento, coo osta a Fig Supondo que o oiento das oléculas é peeitaente isotópico, podeos dize que a elocidade édia é a esa nas dieções x, y e z, isto é, x y z. Assi, nu dado intealo de tepo t podeos iagina que n oléculas cainha paa a supeície co elocidade z. x áea A Fig Pessão que u gás contido nua caixa. O núeo de oléculas que atingião a áea A nu intealo de tepo t é: n ρ t A N x x t A V onde o ato suge pelo ato de teos etade das oléculas cainhado paa a esqueda. Supondo que a colisão co a supeície é copletaente elástica, cada olécula tansee x de oentu. Isto que dize que no tepo t, o ipulso é dado po: I n. x N xa t V e assi a oça édia agindo sobe a paede é: S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

5 3 F I t N 0 A A gandeza pessão é deinida coo oça po unidade áea e potanto: F N P A V 0 Existe u teoea, que eeos no utuo, chaado teoea da equipaação de enegia que diz o seguinte: à enegia contida e cada gau de libedade do sistea está associada ua quantidade K B T, onde K B é chaada constante de Boltzann e T é a tepeatua e gaus Kelin. Po gau de libedade queeos nos eei à. tanslação, otação ou ibação de olécula. Coo a olécula que estaos consideando é ideal, isto é, ua assa pontual se estutua intena, o único tipo de enegia que ela pode te é a tanslacional (cinética). Paa o gau de libedade x, a enegia é: Potanto, K x x PV NKT que é conhecida coo equação dos gases ideais. K 7.3 Colisão e conseação de oentu Vaos considea u sistea de patículas na ausência de oças F i ext 0. Neste caso, existe apenas oças intenas, as já F int 0, já que os paes ação-eação extenas ( ) ios no capítulo anteio que ( ) i cancela-se utuaente. Potanto, coo a oça total é nula, o ipulso tabé o é e, conseqüenteente, o oentu total do sistea é conseado. N i i p i N i p i B T S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

6 4 Po outo lado, se olhaos paa o cento de assa, eeos que sua elocidade é constante, pois a oça extena é nula. Co elação à enegia cinética do sistea, podeos sepaá-la e duas pates distintas: K V + K C onde é a assa total do sistea. O o teo, que peanece constante paa qualque tipo de colisão é a enegia cinética do cento de assa. O o teo K coesponde à enegia dos coponentes do sistea co elação ao cento de assa. De acodo co a aiação de K a colisão pode se classiicada coo: colisão peeitaente elástica - K não se altea; e colisão peeitaente inelástica (plástica) - K é copletaente dissipada. A aioia das colisões está ente estes dois exteos. a) Colisão peeitaente elástica Neste tipo de colisão, tanto o oentu coo a enegia cinética são conseados. Vaos considea u sistea de dois copos antes e depois da colisão coo osta a Fig. 7.5 i i antes depois poblea são: Fig Colisão peeitaente elástica. Pelas leis de conseação de oentu e enegia as equações paa o i + i + i + i + S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

7 5 que pode se esolidas onecendo os aloes de e. Coo exeplo, aos considea o caso da colisão de dois copos e ua diensão, tendo u deles elocidade inicial nula, conoe indicado na Fig i i 0 Fig Colisão unidiensional elástica co copo inicialente e epouso. Queeos enconta istas anteioente, Eliinando e após a colisão. Usando as equações + da equação de conseação de enegia e substituindo na de conseação de oentu, obteos ua equação de o solução é: O sinal + e ± + e - e onece ( ) + e gau cuja 0 que é a condição inicial do poblea, sepe contida na solução pois satisaz conseação de oentu e enegia. A solução que nos inteessa é aquela que ocoe após a colisão, que é dada po: ( ) + + A pieia obseação que podeos aze é que: ( ) i i S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

8 6 isto é, a elocidade elatia de u copo e elação ao outo é apenas inetida na colisão. Este é u esultado sepe álido e colisões elásticas unidiensionais. A segui aos analisa alguns casos paticulaes de colisões elásticas e ua diensão: ) Neste caso, elocidades. / >>) / <<) lee. e - e e 0 de oa que existe ua toca de, existindo u gande ipulso na assa eno. 0, ocoendo soente ua elexão do copo ais b) peeitaente inelásticas Neste caso a enegia cinética não é conseada eboa o oentu o seja. Coo exeplo, aos considea o tipo de colisão os copos ica unidos após o choque, coo ostado na Fig i i Fig Colisão peeitaente inelástica. Usando a conseação de oentu, + i ( + ) i + + i que é justaente a elocidade do cento de assa do sistea. Vaos a segui calcula a quantidade de enegia dissipada na colisão. Calculando as enegias antes e depois da colisão teos: S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

9 7 K K i ( + ) i i + + i i K K K i + ( ) i i que é sepe negatio, ostando hae peda de enegia. Paa o caso e que i 0 teos K K i + que é u esultado ipotante paa estiaos peda de enegia e expeientos co pêndulo balístico. Execícios - Dois cainhos co assas e e elocidades e choca-se elasticaente (a enegia se consea). Sabendo-se que o oentu do sistea se consea duante a colisão, calcule as elocidades dos caos após o choque. - Duas bolas A e B de assas dieentes colide. A está inicialente e epouso e B te elocidade. Depois do choque B te elocidade / e se oe pependicula à dieção do oiento inicial. Deteine a dieção do oiento de A após a colisão. Qual é a aiação da enegia deido à colisão? 3 - Considee o pêndulo balístico ostado na Fig A assa te elocidade inicial e se une à assa após a colisão. Deteine o ângulo áxio atingido pelo pêndulo. S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

10 8 L θ L + Fig Pêndulo balístico. 4 - Ua bala de assa é dispaada co elocidade conta u pêndulo balístico de assa. A bala ataessa o pêndulo e eege co elocidade (¼). (a) calcula a altua áxia de eleação do pêndulo, (b) calcula a enegia dissipada quando a bala ataessa o pêndulo. 5 - Duas patículas, de assas e, desliza se atito ao longo do eixo x co elocidades iniciais 0 e V, e colide. (a) qual é a elocidade do cento de assa? (b) qual é o oentu inal de cada patícula no eeencial do cento de assa? (c) qual é a elocidade de cada patícula no eeencial do laboatóio? 6 - Lança-se u copo de assa 0, kg co elocidade a /s sobe u cainho de assa,8 kg, que te elocidade V /s. Sabendose que existe atito ente o copo e o cao, as não ente o cao e a pista pegunta-se: a) qual a elocidade inal do copo e do cao? b) qual é a enegia dissipada pelo atito? 7 - U bloco de assa 3 epousa sobe ua esa se atito, peso à paede po ua ola de constante k. Ua bala de assa é dispaada hoizontalente conta o bloco, coo osta a Fig. 7.9 e engasta nele. Obsea-se que a áxia deoação da ola é x. Enconte: (a) a S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

11 9 elocidade inicial da bala, (b) o ipulso tanseido pela bala ao bloco, (c) a ação de enegia E/E i pedida na colisão. 8 - Ua patícula co elocidade inicial 0 colide co ua outa e epouso e é desiada de u ângulo φ. A sua elocidade, depois da colisão é. A segunda patícula ecua e a dieção de seu oiento az u ângulo θ co a dieção inicial do oiento da pieia., coo osta a Fig. senφ 7.0. osta que: tan θ. Paa obte este esultado, é cosφ necessáio aditi que a colisão é elástica ou inelástica? k 0 φ θ Fig. 7.9 Fig U hoe de assa está sobe u cainho de assa, que ola nu teeno plano se atito, co elocidade 0. Nu ceto instante ele pula paa o chão co elocidade 0 / e elação ao solo e na dieção oposta ao oiento do cao. (a) qual é a elocidade do cento de assa do sistea antes e depois do pulo? (b) qual é a elocidade do cainho depois do pulo? (c) tansoe todas as elocidades paa o eeencial do cento de assa e indique nu diagaa as elocidades iniciais e inais do hoe e do cao neste eeencial. (d) que enegia o hoe dissipou no pulo? (e) qual é a elocidade do cento de assa depois que o hoe atinge o chão e ica paado? 0 - Ua ola de assa despezíel e constante k está copiida de ua quantia x ente dois copos de assa e. A ola não está pesa aos copos, as sua copessão é antida inicialente po u babante se assa, conoe osta a Fig. 7.. O sistea todo está se oendo S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas

12 30 sobe ua esa se atito, co elocidade V C. Subitaente o babante se ope. Calcule as elocidades inais e das assas. k V c k Fig Dois copos de assas e cainha paa a dieita co elocidades e, tal que >, conoe osta a Fig. 7.. O copo possui ua ola de constante de ola k, que é copiida duante a colisão. Qual seá a áxia deoação da ola? Fig. 7. S. C. Zilio e V. S. Bagnato ecânica, calo e ondas