(a) Num vórtice irrotacional du i = u i

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1 Pova II Nome: Infomações: Duação de 2 hoas. Pode come e bebe duante a pova. Pode faze a pova à lápis. Pode usa calculadoa sem texto. A pova tem complexidade pogessiva. A tentativa de violação de qualque ega abaixo anulaá o teu exame. Não consulte mateial ou colegas. Sente viado/a paa fente. Vá ao banheio antes ou depois do exame. Rascunho apenas no veso da pova. Desligue e guade o celula. 1. As afimações a segui são cetas ou eadas? Justifique sua esposta. a Num vótice iotacional du i = u i dx j = 0. A. Ceto B. Eado 4 x j du i é a velocidade elativa ente 2 patículas, potanto inclui defomação e otação. No vótice iotacional há defomação. Seia zeo no vótice em otação de copo sólido. b A função de coente ψ é escala e foi deduzida a pati da equação da continuidade paa 4 fluxos incompessíveis e bidimensionais. A. Ceto B. Eado Da incompessibilidade chegamos em u = 0, o que em fluxos 2D pemite a definição de um ψ escala. c 4 = u t u u. epesenta a deivada total da velocidade: A. Eado B. Ceto A equação acima está eada pois o que faz sentido físico é: = u t u u x v u y u v v v v w w u v w z t x y z t u w w w v w x y z = u t u x v y w u u = u u. z t d As linhas de coente no fluxo de um io, do ponto de vista de um obsevado que voa com velocidade igual à média de velocidades numa seção eta do io, são nulas. 4 A. Ceto B. Eado Eada, depende do fluxo. Só é vedade se a velocidade fo constante na seção. e Dada uma inteface líquido gás, a tensão supeficial é a enegia necessáia paa se aumenta a áea da supefície live de uma unidade. A. Eado B. 4 Ceto As moléculas no inteio do líquido tem enegia mínima. As da inteface tem mais enegia de ligaação que elas, potanto paa se aumenta a áea é peciso executa um tabalho de defomação. A esse tabalho po unidade de áea chamamos de tensão supeficial. Página 1 de 6

2 2. A Tea gia em tono de si mesma com Ω e em tono do Sol com Ω. Na nossa dedução da equação de Navie Stokes ignoamos completamente Ω. Podemos ealmente faze isso? Justifique quantitativamente sua esposta. Sim, podemos pois Ω >>> Ω, mais pecisamente Ω = 36 Ω. 3. Usando 1 m 3 de água e 3 kg de Cloeto de Sódio pove quantitativamente que o efeito das inteações eléticas ente a água e o sal dissolvido muda mais a densidade do que a adição de um sal mais denso que a água. Indique as apoximações e suposições utilizadas, não queo só as contas. 1 Vejamos pimeio quanto é a mudança de densidade po contação halina supondo que a pessão e a tempeatua são constantes. Isto pessupõe que a dissolução de sal na água é um pocesso apoximadamente isotémico 1 e que o aumento de pessão hidostática po causa do peso adicional de sal é despezível. Passo a passo: dρ = ρ dρ 1 ds dividindo po ρ temos S ρ = ρ ds potanto ρ = β Sρ ρ S }{{} β Fazendo as contas: ρ 1 = β Sρ = psu 1 3 psu 1000 kg.m 3 = 28 kg.m 3 Vejamos agoa quanto muda a densidade po estamos adicionando um soluto mais denso que a água. Paa isola os dois efeitos assumo que não há contação halina : ρ 2 = ρ m ρ = m H 2 O m NaCl V H2 O V NaCl ρ, pecisamos do volume de NaCl que causa salinidade 3 psu. Este é de apoximadamente 3 pates po 1000 em temos de massa. Como temos 1 m 3 de água, temos 1000 kg pecisamos de 3 kg de sal. Como a densidade do sal é 2.16 g.cm 3 são = m 3. Voltando à difeença de densidade, ρ 2 = = = 19 kg.m 3. Como ρ 1 > ρ 2 vemos que o efeito dominante é a contação halina causada pelas inteações eléticas ente a água e o sal dissolvido. 4. Duante o cuso a segunda lei da temodinâmica e a equação da continuidade foam combinadas 10 na dedução desta equação: ρ DS = q T q T 2 T Φ T Página 2 de 6

3 Neste caso S é a entopia, q é o fluxo de calo, T a tempeatua e Φ a dissipação viscosa. Substitua nela a equação da difusão simples de calo lei de Fouie e obtenha a equação da podução de entopia. Identifique nessa nova equação os temos elativos à podução de entopia e explique o pocesso físico associado a eles. ρ DS }{{} va. da entopia = q T }{{} conveg. calo k T 2 T 2 }{{} pod.ent.condução Φ T }{{} pod.ent.viscosidade. Considee a equação de Navie Stokes na notação usual: = 1 ρ p ν 2 u g e 2 Ω u. 1 a Considee pimeio o temo de Coiolis. Pojete Ω no sistema Catesiano local como indicado na figua abaixo po x, y, z completando as fómulas das componentes do veto: Ω x = Ω y = Ω z = Ω x = 0 Ω y = Ω cos θ Ω z = Ω sin θ b Considee a equação 1 aplicada a um poblema de ciculação de laga escala, sendo que: 1 Despeze balanço de foças na vetical, a hidostática domina e podemos tiá la da equação 1 assim: no temo do gadiente de pessão toque a pessão total p pela anomalia em elação à pessão hidostática que chamaemos de p ; Página 3 de 6

4 O fluxo é apoximadamente invíscido e homogêneo; Estamos tabalhando com uma única tomada de dados, potanto assumimos que o fluxo é estacionáio; O temo não linea é pequeno em elação aos outos. Esceva as equações das componentes hoizontais do balanço de foças, com f = 2Ω sin θ. fv = 1 p ρ x fu = 1 p ρ y 6. Paa vaia, considee o fluxo lamina ente dois canos cilíndicos concênticos, de paedes finas, como indicado na figua ao lado. Seja 1 o aio do cano inteno que gia com velocidade angula Ω 1 e 2 o aio do cano exteno que gia com velocidade angula Ω 2. Há água dento do cilindo inteno, ente os dois cilindos e foa do cilindo exteno até. Os canos são vazados e longos, de modo que há simetia na dimensão vetical z. Vamos pecisa da equação de Navie Stokes em coodenadas cilíndicas paa tata este poblema: t u u θ u θ t u u θ u θ u θ onde 2 = 1 = 1 p ρ µ 2 u u ρ 2 2 u θ 2 = 1 p 2 u θ u θ ρ µ ρ u2 θ u u θ a Estas equações são simplificadas e ficam na foma: 0 = 1 p ρ 0 = µ u2 θ 1 u θ 6 Associe odenadamente os temos ou gupos de temos que foam eliminados da Equação 2 com a justificativa física paa eliminá los da equação. 1. t Fluxo estacionáio, 2. u u θ linea, Página 4 de 6

5 3. µ ρ 2 u u 2 u θ 2 2 fluxo adial zeo, e fluxo tangencial independente de θ. Note que não pode se simplesmente invíscido pois há um temo em µ na equação 6 b Paa obte u θ no espaço ente os cilindos, intege a Equação 6 duas vezes em. Ao faze isso ficam 2 constantes de integação a detemina. Use as condições de não escoegamento nos contonos inteno u θ = Ω 1 1 em = 1 e exteno u θ = Ω 2 2 em = 2 paa detemina essas constantes. 10 Como u θ só é função de, d. Integando dos dois lados temos: d 1 du θ d = 0d d d 1 du θ C = 0 multiplicando po d du θ C = 0 integando de novo em d duθ d = Cd d u θ = C 2 2 D dividindo po u θ = C 2 D definindo A = C 2 B = D u θ = A B. Utilizando as condições de contono obtemos: A = Ω Ω u θ = e B = Ω 1 Ω , que esulta em 2 1 {[ ] } 2 Ω 2 Ω Ω 1 Ω 2 c Como fica u θ quando 2? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? Todos os temos com 2 no denominado vão paa zeo, estando u θ = Ω 1R1 2, um vótice iotacional. d Como fica u θ quando 1 0? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? Todos os temos com 1 no numeado vão paa zeo, estando u θ = Ω 2 R 2, um vótice em otação de copo sólido. e Como fica u θ quando consideamos os campos inteno e exteno a um cilindo de aio 1 giando com velocidade angula Ω 1 num oceano infinito? Fisicamente o que epesenta esse fluxo? Página de 6

6 É a soma das duas soluções acima, um vótice de Rankine. Questão Total Pontos Nota Memóia não volátil: A densidade da água pua é 1000 kg.m 3. A densidade do sal NaCl é 2.16 g.cm 3. O coeficiente de tensão supeficial da água é N.m 1. O coeficiente de expansão témica da água é 4 10 K 1. O coeficiente de contação halina é psu 1. dρ = ρ dp p T,S ρ dt T p,s ρ ds S p,t A lei de Fouie é q t = k t T onde kt é o coeficiente positivo de condutividade témica. Sistema de Coodenadas Cilíndico ou Pola Função escala E = E, θ, z Função vetoial V = u, θ, zî u θ, θ, zîθ u z, θ, zîz Gadiente é veto! E = E Divegente é escala! V = 1 u Rotacional é veto! V = 1 u z î 1 1 u θ z î z E î θ u θ E z î z u z z uz 1 u θ î θ 1 î z Esta é a definição de ψ em coods. catesianas: u = ψ y v = ψ x. Esta é a definição de ψ em coods. cilíndicas: u = 1 ψ u θ = ψ. Página 6 de 6