OLIMPÍADAS DE FÍSICA. Selecção para as provas internacionais. 19 de Maio de Resolução da prova Teórica

Transcrição

1 OLMÍADAS DE FÍSCA Seleção paa as povas intenaionais 9 e Maio e esolução a pova Teóia Duação a pova: H. Váios tópios Mm a) Da expessão F G mg, one é o aio o planeta, M a sua massa e m a massa e um opo na supefíie, esulta M g G. o outo lao, a massa, o aio, e a ensiae elaionam-se atavés e M ρ o que pemite onlui que g é popoional a ρ e eseve, potanto, g Lua Lua ρ Lua. g Tea ρtea oemos onlui que e, finalmente, ρ ρ Lua Tea Lua Tea Lua g g ρ ρ. Lua, 6 Tea,7 6 b) A equação a ona sinusoial que se popaga a esquea paa a ieita é: φ ( x, t) Asin ( kx ωt) one ω vk. A equação a ona que se popaga a ieita paa a esquea é ( kx ωt) φ ( x, t) Asin A ona que esulta a sobeposição e φ e φ é [ sin( kx ωt) sin( kx ωt) ] Asin( kx) os( ωt φ φ φ A )

2 que é uma ona estaionáia: a enegia não se popaga atavés os noos N, N, et. (figua.). N N N... Figua. A equação os noos é kx n, n,,,,,,, (φ é nulo paa qualque t) ou seja, n x, n, ±, ±,K k ) Com o inteupto K abeto o iuito ao é equivalente ao que se mosta na figua.., Ω E, V Figua. A oente é e A. Na esistênia não passa oente. Quano o inteupto está fehao poem aplia-se as leis os noos e as malhas. Na figua. estão efinias uas malhas. Ω A Ω Ω E V E V Figua. A lei os noos em A e a iulação nas malhas e (omeçano em ) pemite eseve as seguintes equações:

3 As oentes pouaas são A, A. Note-se, no entanto, que os alunos o º ano não sabem as leis os noos e as malhas (onheem sim a lei e Ohm genealizaa) pelo que não é pevisível que esolvam a questão a foma apesentaa. Mas poem agumenta o seguinte moo. Se ente A e a esistênia fosse zeo (uto-iuito em vez e, logo esses pontos estaiam ao mesmo potenial), as malhas e seiam iuitos inepenentes. Da apliação a lei e Ohm genealizaa a aa iuito A, onluino-se então que ente A e (esistênia zeo) não passa oente. Mas antes, quano K estava abeto (esistênia infinita ente A e ) também não passava oente! Que ize, nuna passa oente ente A e qualque que seja o valo a esistênia (ente zeo e infinito). O valo iniao paa é, pois, ielevante. Tal situação eve-se à simetia as malhas e. ) De λn poemos onlui que a ativiae em função o tempo segue uma lei iêntia a N, ou seja: - t e λ Com esintegações po minuto e 6 esintegações po minuto, e logaitmizano ambos os membos a equação anteio obtém-se 6 t λ ln ln,, ou seja t 7anos. e) A enegia intena, que é uma ganeza extensiva, é aitiva: U ( n v n v ) T one n e n são os númeos e moles os gases monoatómio e iatómio e v e v são as espetivas apaiaes témias molaes a volume onstante. Como a mistua é um gás ieal, também se poe eseve, paa a mistua, U ( n n ) v T one v é a apaiae témia mola a volume onstante a mistua. Diviino as uas equações membo a membo obtém-se nv nv v. n n A apaiae témia mola a volume onstante a mistua é a méia poneaa as apaiaes témias molaes a volume onstante os gases pesentes. Substituino valoes, 5 n mol, n mol, v, v, enonta-se:

4 5 v 6. aa um gás ieal, v, pelo que 7. Finalmente, 6 γ v 7 f) A lei e onsevação a enegia pemite eseve M one u é a veloiae o núleo exitao. Da onsevação o momento linea, h ν M * u. No expíito a apoximação não-elativista paa a enegia inétia, onsiea-se que M * não vaia om a veloiae. Substituino u, ao pela seguna equação, na pimeia equação, obtém-se a seguinte equação o seguno gau: e one se obtém * * hν M M u, * * ( ) M ( M hν ) ( hν ) M, ( M ) M hν ( h ) * M hν ± ν M ; omo M > hν, só impota a aiz positiva: ( M ) M hν ( h ) * M hν ν M. No limite M * >> hν, tem-se M M.. Eletomagnetismo a.) A foça que uma aga q exee sobe uma aga q' sepaaas e uma istânia é aa pela lei e Coulomb: F qq'. ε Na situação apesentaa, aa uma as agas negativas está sujeita a uas foças, ambas na ieção aial: a que é exeia pela istibuição e aga positiva (foça atativa, que aponta paa o ento, que esignamos po F ); e a que é exeia pela outa aga negativa (foça epulsiva, que aponta paa o exteio, que esignamos po F ). A foça epulsiva é aa, e aoo om a lei e Coulomb, po Q F_. ε A foça exeia pela istibuição e aga positiva é aa po

5 F QQ' ε one Q' é a aga positiva ontia numa esfea e aio (o sinal inia que a foça aponta paa o ento). De aoo om a lei e Gauss, o ampo elétio iao pela istibuição unifome e aga positiva no ponto one está a aga negativa é aial e igual ao que seia pouzio pela aga pontual Q' loalizaa no ento a istibuição. A ensiae unifome e aga na esfea e aio enonta-se iviino a aga total a esfea, Q, pelo volume,. A aga Q' é, pois, ' Q Q Q. Substituino na expessão e F obtém-se Q F. ε Da onição e equilíbio, F F esulta Q Q one. a.) Convém ese logo eonhee que a posição e equilíbio que se aabou e etemina oespone a um equilíbio estável. Na veae, se um eletão se afasta o ento aumenta sobe ele a foça atativa (pois aumenta e F é linea em ) e iminui a foça epulsiva (pois o eletão fia mais longe o outo eletão). Ambos os efeitos ontibuem paa que a patíula fique sujeita a uma foça atativa que a tene a faze egessa à posição e equilíbio. Se iminui apliam-se os mesmos agumentos paa onlui que a foça aponta agoa paa foa. aa estua as pequenas osilações aiais em tono a posição e equilíbio, faz-se δ, intouz-se esta expessão na a foça esultante foça (elativamente a δ). Assim, F F F, e "lineaiza-se" esta Usano o fato e δ<</, poemos eseve Q F ε δ δ (A) δ δ

6 e aoo om a nota matemátia (ab) a ab, se b<<a apesentaa no enuniao. O pimeio temo ento no paêntesis na expessão a foça (A) poe então esevese δ δ δ δ A última igualae eseve-se utilizano a outa nota matemátia foneia no enuniao: /( x) x se x << (e tem-se, e fato, δ<<). Usano o esultao anteio na expessão (A), obtém-se Q δ δ 6Q F δ. ε ε A pati esta expessão que estabelee uma elação linea ente a foça, F, e o esloamento, δ, poemos ientifia a onstante elástia: 6Q k ε e a fequênia angula paa as pequenas osilações é eletão, pelo que ω k m, one m é a massa o ω 6Q ε m b.) O ampo e inução magnétia pouzio po um fio infinito peoio po uma oente a uma istânia é eφ (A) one e φ é um veso em ooenaas ilínias. O ampo e inução magnétia pouzio pela oente em qualque ponto a oente é e y seno e y o veso na ieção o eixo y efeio no enuniao. De aoo om a lei e Laplae, a foça (infinitesimal) que se exee sobe o elemento l e um fio onuto peoio pela oente i na pesença e um ampo é F il aa a oente, i e l z e z. A foça sobe aa elemento e ompimento infinitesimal e é então F z ez e y z ex Tata-se e uma foça epulsiva (em aponta na ieção positiva o eixo x). A ganeza a foça que a oente exee po uniae e ompimento o fio é

7 z F b.) Os ampos e inução magnétia pouzios em C po aa oente são [ve equação (A) aima]: y e x e y e x e y e x e y e x e O ampo esultante, i i, é e y b.) A nomal ao quaao elimitao pela espia, n e, vaia no tempo e aoo om a expessão (ve figua.) () ( ) ( ) y x n e t e t t e θ osθ sin x y θ e n Figua. O fluxo o ampo e inução magnétia atavés a supefíie plana limitaa pela espia é (amite-se que o ampo e inução magnétia é onstante em toos os pontos essa supefíie e áea l ) () ( ) [ ] t sin os os ω θ θ φ l t l e l n

8 A foça eletomotiz, E, é o simétio a eivaa tempoal este fluxo, obteno-se l E θ ω sin[ θ sin( ω t) ] os( ω t). φ E, t. Meânia a) A veloiae e aa ponto o ao elativamente ao efeenial o ento e massa, v ', é, em móulo, igual à veloiae o ento e massa. A sua ieção é tangente à iunfeênia, teno-se v' vcm ( e x osθ e y ). No efeenial o laboatóio, a esta veloiae, soma-se a veloiae o ento e massa: v v CM [( ) osθ ] e x e y A veloiae é máxima no ponto mais alto o ao (θ /): em ontato om o solo (θ /) a veloiae v é nula. v v e. No ponto b.) Atuam quato foças (figua.): o peso,, a tensão, T, a eação nomal,, e a foça e atito, F a. As foças têm as ieções e sentios iniaos. Contuo, não é possível, nesta fase, etemina se a foça e atito (estátio, sublinhe-se), tem o sentio iniao ou o oposto. Só a análise mais apofunaa a situação [alínea b.)] pemitiá onlui que o sentio iniao é o oeto. CM x T F a Figua. b.) Como o ioiô ola sem esoega o ponto e ontato om o plano inlinao é um ponto e epouso instantâneo. elativamente a esse ponto (ou melho, ao eixo hoizontal que passa po esse ponto) o ioiô só tem movimento e otação. O momento e inéia em elação a esse eixo é, e aoo om o teoema e Steine, M M ( χ ) χ M.

9 Designemos po α a aeleação angula o ioiô em elação a esse eixo e otação e po α a aeleação a olana elativamente ao seu eixo. Seno ξm o momento e inéia a olana poemos eseve elativamente ao seu movimento e otação (abita-se sentio positivo o a otação no sentio hoáio, e potanto o momento é positivo quno é pepeniula ao papel e aponta paa ento): T α A aeleação angula o ponto (ve figua.) é a α, pelo que 9 T a ξm 9T a ξm (A) C T T ' Q θ Figua. Quanto à otação o ioiô em tono o eixo que passa po Q, tem-se T Mg α Substituino T ao pela expessão (A), usano a expessão aima paa e notano que a aeleação e é igual à e e potanto a a α, vem one a ξ g a ( χ) 6 6g a () χ ξ Esta é a aeleação o ponto (que ista ) o eixo e otação. A aeleação o ento e massa o ioiô (que ista e Q) é a : g a CM. χ ξ

10 Nota: o poblema poeia se esolvio onsieano a otação o ioiô em elação ao seu ento e massa e a tanslação o ento e massa. b.) A tensão T obtém-se ietamente e (A) e e (): ξmg T. ( χ ξ ) aa alula a foça e atito onsiee-se agoa o movimento e tanslação o ioiô. A equação funamental a inâmia eseve-se (a foça e atito eseve-se simplesmente F a : se esulta positiva aponta no sentio esenente; se negativa no sentio asenente) T Fa MaCM Usano os esultaos aima obtios paa a tensão e paa a aeleação o ento e massa, obtém-se ξmg Mg F a Mg ( χ ξ ) χ ξ one ξ χ F a Mg. ( χ ξ ) O sinal negativo nesta expessão inia que a foça e atito é no sentio asenente o plano inlinao (omo se epesenta na figua.). b.) Consiee-se que o ioiô pate o epouso e o seu ento e massa peoe uma istânia. A vaiação a enegia potenial o sistema é uniamente a vaiação a enegia potenial o ioiô já que a olana só oa. Essa vaiação é E p Mg o outo lao, a vaiação e enegia inétia é igual à soma as enegias inétias a olana e o ioiô epois e este te peoio a istânia. O tempo que emoa a peoe esta istânia é t a Ao fim este tempo a veloiae angula a olana é ω t α e a enegia inétia e otação a olana é [ α a /( ) ] E ω ξm CM 6g χ ξ g 9 χ ξ Mgξ χ ξ

11 Consieano a veloiae e otação o ioiô em tono e Q ao fim o tempo t, ω t α, e poque elativamente a esse ponto só há otação, a enegia inétia o ioiô esulta igual a Mg( χ ) E ω χ ξ A vaiação a enegia inétia o onjunto olama mais ioiô é veifiano-se, potanto, E E E Mg ou seja, a enegia meânia onseva-se. E E, p