Lei de Gauss II Revisão: Aula 2_2 Física Geral e Experimental III Prof. Cláudio Graça

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1 Lei de Gauss II Revisão: Aula 2_2 Física Geal e Expeimental III Pof. Cláudio Gaça

2 Revisão Cálculo vetoial 1. Poduto de um escala po um veto 2. Poduto escala de dois vetoes 3. Lei de Gauss, fluxo atavés de uma supefície, analogias 4. Exemplos e aplicações da Lei de Gauss 5. Lei de Gauss aplicada aos condutoes (continuação)

3 Lei de Gauss: Fluxo e linhas de campo O númeo N de linhas de campo que atavessam a supefície fechada é popocional à caga Q contida no volume limitado po essa supefície. N(Linhas de campo -E) paa uma caga Q no inteio da supefície. Q Coulombs α Ν númeo de linhas

4 Linhas de campo elético Quantas linhas de campo atavessam a supefície extena? 8C 16C 32C 8C 8 linhas 16C 16 linhas 32C 32 linhas

5 Analogia de Integais de Áea Esta áea fica mais molhada!

6 ds Integais de Áea veja o fluxo? Chuva chuva ds Esta áea molha mais!

7 Integais de áea calcule o fluxo de água! chuva chuva ds ds As áeas são as mesmas, mas o ângulo ente a velocidade da chuva e o veto que epesenta a áea

8 Integais de áea calcule o fluxo de água! Chuva, v ds Chuva, v ds Casos extemos a fluxo máximo!! a 90, fluxo nulo!!

9 Fluxo de chuva atavés da áea ds Fluxo = v.ds v ds cos(θ) vds cos(θ) (Fluxo= vazão m 3 /s) Fluxo = 0 paa 90 cos(θ) = 0 Fluxo = -vds paa 180 cos(θ) = -1 Gealmente, Fluxo = vds cos(θ) -1 < cos(θ) < +1

10 Lei de Gauss Exemplo 1: distibuição linea de caga Constua uma Supefície Gaussiana simética com a distibuição de caga - cilíndica neste caso, depois calcule E.ds λ l Coulombs/m ds E E ds ds L

11 Cálculo de E.ds E E.ds = E.ds sup. Cilíndica + E.ds sup. planas ds Nas sup. planas, E & ds são pependiculaes E.ds nas tampas = 0 E.ds nas tampas = 0 As supefícies planas não contibuem.!

12 Cálculo de E.ds E.ds = E.ds na sup. cilíndica ds E E & ds paalelos, E.ds = E ds = Eds ρ l Coulombs/m ds L

13 Cálculo de E.ds E ds = caga no inteio E.2πL = E() = 2 λl ε λ πε o o da gaussiana E() = λ 2πε o ˆ

14 Discussão E aponta adialmente E é popocional a λ Maio densidade de caga = maio o campo E é popocional a 1/ Diminui com a distância à caga, o que é intuitivamente coeto

15 Outas fomas de distibuição de caga! Distibuição esféica de caga ρ -2, -3, e Escolha uma gaussiana.. Então E e ds seão, novamente, paalelos Aplique a lei de Gauss!

16 Distibuição esféica de caga (simetia)esféica de caga Lei de Coulomb?...não lei de Gauss É mais simples e mais geal q Considee uma supefície esféica Φ = Q ε 0 Q 2 E Po simetia E é à supefície Φ = E A = 1 Q ε 0 1 = 4π 2 E = Q ε 2 = = π ε 0 4πε 0 Q Q F=qE 0 1 F = 4π qq ε

17 Distibuição esféica de caga (simetia)esféica de caga Qual é o campo em volta de uma casca esféica Q Considee uma supefície simética com a distibuição de caga foa Φ foa = Q ε 0 Φ dento Φ out E = 1 4πε dento Caga dento = 0 Φ dento = 0 0 Q 2 E = 0

18 Aplicações da Lei de Gauss Ação de campos eléticos sobe condutoes: Polaização Caga no inteio de um conduto Campo na supefície de um conduto Blindagem eletostática: Gaiola de Faaday Localização das cagas: Lei de Gauss na foma difeencial

19 Condutoes em campos E Colocando-se um conduto dento de um campo elético, apaecem cagas induzidas.ocoe a polaização da caga elética.

20 Uma casca metálica com uma caga no inteio Uma caga negativa de - 10μC é colocada no inteio de uma casca metálica como é mostado na figua (a). a) Qual seá a quantidade de caga que seá induzida na supefície intena da casca? b) Como se distibui essa caga? c) Qual seá o valo do campo foa da casca?

21 Resposta Como o valo de E dento do conduto é zeo o fluxo atavés da gaussiana é nulo. A caga total dento da gaussiana ézeo. A caga + induzida no inteio da casca é idêntica à caga na cavidade A caga negativa induzida na pate extena, deve se nula, pois a caga no conduto ea nula. Como as linhas de campo exteno é nomal à supefície a distibuição de caga extena deve se homogênea.

22 Conduto em equilíbio eletostático com caga positiva Fluxo atavés das supefícies gaussianas: intena Φ = 0; extena Φ >0.

23 Lei de Gauss na foma difeencial Podemos esceve a lei de Gauss, paa a eletostática, em função de uma densidade de caga volumética, como a segui: onde ρ é a densidade de caga volumética e V é o volume no inteio da supefície gaussiana. Usando o teoema de Gauss, o qual coelaciona uma integal de supefície com uma integal de volume, temos que, Compaando os lados dieitos das duas equações acima encontamos, como esta igualdade é vedadeia paa qualque volume, então o integando da equação deve se nulo, isto é Lei de Gauss na foma difeencial significa que, se o divegente do campo elético é não nulo, então, deve existi campos eléticos na egião esultantes de caga total não nula

24 Aplicação da Lei de Gauss na foma difeencial o E 0 V q lim ε = Φ Δ o 0 V da E V 1 E lim ε ρ Δ = Δ ( ) o 0 V V da E lim ε ρδ = Δ o E ε ρ = z E y E x E E E div z y x + + = =

25 Popiedades dos condutoes Paa um conduto em equilíbio eletostático! 1. E é zeo no inteio do conduto 2. Qualque caga, Q, se distibui na supefície (densidade de caga seá: σ=q/a) 3. E é à supefície 4. σ é maio onde o aio fo meno 5. Gaiola de Faaday σ >> σ σ σ

26 E é zeo no inteio do conduto Se existisse um campo no inteio do conduto, os elétons lives seiam aceleados e haveia coente elética. Dessa maneia não haveia equilíbio Potanto E=0

27 Qualque caga se distibui na supefície do conduto Considee a supefície S logo abaixo da supefície extena do conduto Como o conduto está em equilíbio, E=0, potanto Φ=0 Lei de Gauss Φ = EA = q /ε 0 q i q / ε = 0 i 0 A caga no inteio deveá se nula!

28 O campo E é à supefície q E E Considee uma pequena supefície cilindíca, contendo a supefície Se E >0 causaia o movimento da caga na supefície e não haveia equilíbio, potanto E =0 Cilindo pequeno o bastante paa E se constante! Lei de Gauss Φ = EA = q / ε o E = q / Aε o E = σ / ε o

29 σ é maio onde é meno E = ε ρ o 1 2 No póximo capítulo voltaemos ao assunto, utilizando a função potencial!

30 Caga Conduto de teste isolado sem blindagem Caga de teste com 100% 50% de blindagem Conduto As linhas isolado, de campo, possui o poduzidas mesmo po númeo uma caga de cagas de teste, positivas extena, fuam + e o cilindo negativas Os elétons se movem na dieção da caga de teste ciando anulando totalmente um campo o elético campo... contáio no cilinddo...

31 Cilindo Isolado

32 Caga de Teste não blindado

33 10% Blindagem

34 20% Blindagem

35 30% Blindagem

36 40% Blindagem

37 50% Blindagem

38 60% Blindagem

39 70% Blindagem

40 80% Blindagem

41 90% Blindagem

42 100% Blindagem

43 Lei de Gauss na foma difeencial z Supefície gaussiana E y x 43

44 Lei de Gauss na foma difeencial Dada uma supefície fechada, o fluxo seá dado po: Φ = E.dA = q int = A q ε int o ρ( )dv = ( ρcontinuo + V V ρ disceto ) dv E.dA = A 1 ε o V ρ( )dv Pelo teoema da divegência: A E.dA = V.EdV Paa um volume abitáio, a integal só seá nula quando:.e = ρ( ε o ) 1 (.EdV ρ( )dv ) = 0 ε V o A divegência do campo elético está em cada ponto, Associada à densidade total de cagas nesse ponto. 44

45 Lei de Gauss na foma difeencial Q E O campo elético neste ponto divege, e a sua DIVERGÊNCIA é difeente de zeo neste ponto pois existe uma caga nesse ponto, ρ>0. O campo elético neste ponto divege, e a sua DIVERGÊNCIA é zeo neste ponto, como não existe uma caga pesente neste ponto, ρ=0. 45

46 Lei de Gauss na foma difeencial E O campo elético aqui não divege mas a sua a DIVERGENCIA não énulanesteponto pois existe uma caga neste ponto, ρ>0. O campo elético nào divege neste ponto e a sua DIVERGENCIA é zeo pois não existe caga neste ponto, ρ=0. 46

47 Equação de Poisson A foma difeencial, também chamada foma local da Lei de Gauss..E = ρ( ε Esta foma é também conhecida como equação de Poisson o ) Em coodenadas catesianas o divegente pode se expesso da seguinte foma: dive =.E = E x x + E y y + E z z E x E E z x y z ρ( x,y,z ) + y + = ε o 47

48 Intepetação geomética do divegente Δq Φ A = E.dA = A ε o dive( P ) = lim = ρ( P ) ΔV ε o 1 Δ V 0 [ E.dA = ΔV A Exemplo: Calcule o divegente do seguinte veto: A.dA = ΔV A 4π = 3 div = 3 da = 4π x x + y y 3 + z z Potanto div =3 = = ρ( P ) ε 3 o ΔV = xî + yĵ + P Volume limitado po uma supeficie em tono de P zkˆ A 48

49 Equações de Poissson e Laplace Q E ρ( ).E = E = 0 ε o. Poisson Laplace 49

50 Equações de Poissson e Laplace Poisson ρ ( ) = δ Laplace.E ρ δ = ρ( ε o ). E = 0 + E δ 1/ 2 E = 0 x E x = constante Estes mesmos poblemas seão tatados no capítulo de potencial! 50

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