Aula 4: Campo Elétrico de um Sistema de Cargas Puntiformes

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1 Univesiae Feeal o Paaná Seto e Ciências xatas Depatamento e Física Física III Pof. D. Ricao Lui Viana Refeências bibliogáficas: H. 4-4, 4-5, 4-6, 4-9 S. -7, -9 T. 8-6, 8-7, 9- Aula 4: Campo lético e um Sistema e Cagas Puntifomes O pincípio a supeposição também vale paa campos eléticos: o campo esultante num ponto é a soma vetoial os campos pouios po caa uma as cagas puntifomes e um sistema. Se as cagas q, q,... q N o sistema estão a istâncias,,... N o ponto P, o campo em P seá ao po q i k em móulo. One i i = N = Σ i

2 Poblema Resolvio: Consiee um sistema e cooenaas catesianas otogonais. Há uma caga q = + 8,0 nc na oigem o sistema, e uma caga q = + nc no ponto (x=4m,y=0). Detemine o campo elético no ponto P:(x=0,y=3m). Solução: O campo pouio pela caga q no ponto P é 9 9 q (8,99x0 )(8x0 ) k 7,99N / C y 3 enquanto o pouio pela caga q é 9 9 q (8,99x0 )(x0 ) k 4,3N / C 5 one usamos o teoema e Pitágoas paa acha = O campo esultante em P é = +, cujas componentes são: x = x + x = 0 sen θ = - 4,3 (4/5) = - 3,46 N/C y = y + y = + cos θ = 7,99 + 4,3 (3/5) = 0,6 N/C ou seja = - (3,46 N/C) i + (0,6 N/C) j.

3 O móulo a esultante é x y ( 3,46) (0,6), N / C e o ângulo que fa com o eixo as abscissas é ao po tg y x 0,6 3,46 3,06 tal que θ = 08 o, que é o único ângulo compatível com os valoes as componentes. Poblema poposto: Uma caga puntifome e 5 μc está situaa no ponto (x = m,y = 3m), e uma seguna caga puntifome e -4 μc está fixa no ponto (x = m, y = - m). (a) Acha o campo elético no ponto (x = -3 m, y = m); (b) Acha a foça elética sobe um eléton colocao nesse ponto. Respostas: (a) (04 N/C) i (550 N/C) j; (b) (,77 x 0-6 N) i + (,48 x 0-6 N) j Dipolo elético: uas cagas +q e q sepaaas po uma istância fixa Aplicações: moléculas polaes (x.: água) apesentam ipolos eléticos pemanentes Campo elético no eixo e um ipolo elético : istância fixa ente as cagas +q e q + : istância ente a caga +q e o ponto P, one se está calculano o campo elético - : istância ente a caga -q e o ponto P : istância ente o cento o ipolo (ponto méio ente as cagas) e o ponto P 3

4 4 q k campo ciao pela caga +q q k campo ciao pela caga -q kq campo esultante no ponto P (expessão exata, mas pouco útil na pática) Da figua e moo que xpessões como esta poem se apoximaas usano-se o teoema binomial x n nx ) (

5 vália apenas se x <<, e que coespone ao binômio e Newton, espeaas toas as potências e x supeioes a. Lembe que, se x <<, então x << x, x 3 << x, e assim po iante. Po exemplo, se x = 0,0, e n = 3 3 ( 0,0) 3x 0,0,03 ao passo que o valo exato é,0 3 =,03030, o que esulta num eo e apenas,03030,03 0,0009x 00% 0,03%,03030 Se o ponto one calculamos o campo está muito istante o ipolo, então >>, ou seja, (/) << ; e moo que poemos aplica o teoema binomial ( ) kq kq kq Momento e ipolo elético p: ganea vetoial (i) ieção: eixo o ipolo (ii) sentio: a caga negativa paa a positiva (iii) móulo: p = q Uniae: [p]=[q][]=c.m no S.I. scevemos o campo elético istante o ipolo (e sobe o seu eixo) como kp 3 Obseve que o campo elético cai com o cubo a istância, ou seja, mais apiamente que o campo e uma caga. Isso se explica pois, como a caga total o ipolo é nula (+q q = 0) então o campo em P eve-se somente à ifeença nas istâncias as uas cagas ao ponto P, que é um efeito mais faco. Poblema esolvio: O momento e ipolo elético o cloeto e sóio (Na + Cl - ) é igual a 0, e.nm, one e é a caga o eléton. Qual a foça elética sentia po um póton situao a 500 nm o ipolo? Solução: m uniaes o S.I. o momento e ipolo é p = 0, x (,60 x 0-9 C )( x 0-9 m) = 3, x 0-9 C.m 5

6 9 9 kp x9,0x0 x3,x0 4, (500x0 ) F = q =,60 x 0-9 x4,6 = 7,37x0-9 N N C Poblema poposto: Uma molécula e água (no estao e vapo) tem um momento e ipolo elético e 6, x 0-30 C.m. (a) xpima p em uniaes e.nm; (b) Qual a istância ente o cento e caga positiva e o cento e caga negativa a molécula, sabeno-se que ela possui 0 elétons e 0 pótons? (c) stime o campo elético a 00 nm a molécula. Respostas: (a) 0,0387 e.nm; (b) 3,9 pm; (c) N/C Movimento e um ipolo elético num campo elético unifome Como a esultante as foças eléticas atuano sobe o ipolo é nula (F + F = 0), o ipolo enconta-se em equilíbio e tanslação (o cento e massa poe esta em epouso ou em MRU). No entanto, como temos um bináio e foças (já que as linhas e ação são paalelas) há um toque esultante, e moo que o ipolo NÃO está em equilíbio e otação. Toque o bináio: τ = - F sen θ, já que sen θ é o baço o bináio. O sinal negativo é convencional paa otações no sentio hoáio. Mas F = q, e p = q. Logo τ = - q sen θ = - p sen θ 6

7 Como o toque é uma ganea vetoial, poemos escevê-lo como o pouto vetoial p ou seja, na figua o veto τ aponta pepeniculamente paa ento o plano a página (plano que contém os vetoes p e ). Recoação: O pouto escala os vetoes A e B é um númeo eal A. B=A B cos θ, one θ é o ângulo ente eles O pouto vetoial os vetoes A e B é o veto C = A x B, one: - móulo: C = C = A B sen θ - ieção: pepenicula ao plano que contém os vetoes A e B - sentio: ao pela ega o paafuso ou o saca-olhas. negia potencial e otação: o toque execio pelo campo elético sobe o ipolo tene a povoca uma otação este, e moo a alinha o ipolo com o campo elético. Da Mecânica, sabemos que a vaiação e enegia potencial é igual a menos o tabalho ealiao pelo toque o bináio. Lembano que o toque não é constante, pois epene o ângulo θ, evemos usa a fómula integal paa o tabalho o bináio U U U W Convencionamos (posição e efeência) que θ = 90 o, e moo que U = 0. Tiano o ínice po comoiae teemos U 90 o 90 ( psen ) Como tanto p como são constantes (campo unifome!) temos o U p sen p( cos ) o p( cos cos90 ) 90 o 90 U( ) p cos que poe se escita vetoialmente como U(θ) = - p. (pouto escala os vetoes p e ). o 7

8 Análise e casos paticulaes: (a) se θ = 0 o, p e são paalelos (ipolo alinhao com o campo), U(0)= - p: valo mínimo a enegia potencial, que é a posição e equilíbio. Toque nulo τ(0) = 0 (b) se θ = 90 o, p e são pepeniculaes, U(90 o )= 0 mas toque τ(90 o ) = - p máximo em valo absoluto (c) se θ = 80 o, p e são antipaalelos (ipolo oposto ao campo), U(80 o )= + p: valo máximo a enegia potencial, que é uma posição e equilíbio instável já que τ = 0 Poblema esolvio: Consiee uma molécula e água num campo elético unifome,5 x 0 4 N/C. (a) Qual o toque máximo sobe a molécula? (b) Que tabalho eve se ealiao paa gia a molécula a posição e alinhamento com o campo paa a posição one p e são anti-paalelos? Solução: (a) Do poblema anteio p = 6, x 0-30 C.m. O toque máximo ocoe quano θ = 90 o. m valo absoluto τ = p = 6,x0-30 x,5x0 4 = 9,3 x 0-6 N.m (b) O tabalho é igual à ifeença e enegia potencial ente as posições one θ = 80 o (anti-paalelos) e θ = 0 (paalelos) W = U(80) U(0) = p (-p) = p = x 9,3 x 0-6 =,9 x 0-5 J Poblema poposto: Um ipolo elético com momento e 0,0 e.nm fa um ângulo e 0 o com um campo elético unifome e 3 x 0 3 N/C. Calcule os valoes o toque e a enegia potencial o sistema. Respostas: - 3,8 x 0-7 N.m, - 9,0 x 0-7 J 8