2 Equações Governantes e Formalismo Básico dos Métodos de Partículas

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1 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas Neste capítulo são apesentaas as equações goenantes que moelam o moimento os luios bem como uma bee intoução aos conceitos essenciais paa a omulação os métoos e patículas..1. Equações Goenantes As equações goenantes que poem se utilizaas como base pelos métoos MPS e SPH são a equação a continuiae a equação a quantiae e moimento e a equação e enegia Equação a Continuiae A lei e conseação e massa expessa o ato que em um sistema luio a massa não poe esapaece nem poe se ciaa. A Equação.1 é a oma ieencial a equação a continuiae ou conseação e massa one ρ é a massa especíica ou ensiae epesenta o eto elociae t é o tempo e ^ ^ ^ i + j + k é o opeao etoial gaiente. x y z ρ ρ t mateial Uma oma equialente a equação.1 é obtia intouzino-se a eiaa D + one o pimeio temo epesenta a aiação local t tempoal e o seguno a aiação conectia. Esta oma está apesentaa na Equação..

2 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 3 Dρ + ρ 0. Dois casos e escoamento paa os quais a equação ieencial a continuiae poe se simpliicaa são ignos e nota. Um pimeio caso iz espeito a escoamentos incompessíeis isto é escoamentos one a ensiae não é unção nem as cooenaas espaciais nem o tempo. Desta oma a equação a continuiae é simpliicaa paa: 0.3 Um seguno caso eee-se ao escoamento pemanente one toas as popieaes os luios são po einição inepenentes o tempo. Desta oma a equação a continuiae poe se simpliicaa e apesenta a seguinte oma: ρ Equação a Quantiae e Moimento A equação a quantiae e moimento esponsáel po escee o moimento e um luio é a epesentação a seguna lei e Newton ou seja: D ρ oças.5 A segui seá apesentaa a equação a quantiae e moimento paa os casos e escoamento e luios não iscosos e e luios iscosos Fluios Não Viscosos Toos os luios eais possuem iscosiae. Entetanto em muitos casos e escoamento é azoáel espeza os eeitos a iscosiae. Desta oma é útil inestiga a inâmica e um luio ieal que tena iscosiae nula.

3 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 4 A equação o moimento paa o escoamento sem atito one não á tensões e cisalamento está apesentaa na Equação.6 e é conecia como a equação e Eule Fox e McDonal 001. D ρ p.6 Na Equação.6 p é a pessão e F enota as oças e copo po uniae e massa po exemplo a gaiae Fluios Viscosos Na simulação e luios eais o eeito a iscosiae o luio ee se leao em consieação. Desta maneia a equação a quantiae e moimento paa luios iscosos é aa po Fox e McDonal 001: D ρ p + τ.7 one τ epesenta o tenso as tensões iscosas. Paa um luio Newtoniano a tensão iscosa é popocional à taxa e eomação a qual poe se expessa em unção o gaiente e elociae e as popieaes os luios. A Equação.8 é utilizaa paa etemina o tenso as tensões iscosas Fox e McDonal 001. T [ + ] µ I τ µ.8 3 Na Equação.8 o paâmeto e popocionaliae µ epesenta a iscosiae absoluta o luio e I é a matiz ientiae. Intouzino-se a equação o tenso as tensões iscosas.8 na equação e quantiae e moimento paa luios iscosos.7 obtém-se: D T ρ p + µ + µ I 3 { }.9

4 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 5 A Equação.9 é camaa e equação e Naie-Stokes. Ela poe se simpliicaa paa o caso e escoamento incompessíel e com iscosiae constante. Nesta situação a equação e Naie-Stokes se euz a: D ρ p + µ.10 one + + é o opeao laplaciano. x y z No caso e escoamento e luio incompessíel e/ou não iscoso a solução o escoamento poe se obtia utilizano-se somente as equações e conseação e massa e e quantiae e moimento. Paa escoamento e luios compessíeis a ensiae e um moo geal epene a pessão e a tempeatua seno necessáia uma equação e estao paa elaciona as popieaes temoinâmicas. Além isso a equação e enegia ee se satiseita Equação e Enegia Em um luio a enegia total i é consieaa como seno a soma a enegia intena e a enegia cinética po uniae e massa conome apesentao na Equação.11. i e +.11 A Equação e conseação e enegia ou pimeia lei a temoinâmica gaante que as ontes paa a aiação a enegia total são o tabalo as oças agino sobe o sistema e o calo total tansmitio paa este sistema. Desta oma a taxa e aiação e enegia intena e é aa pela seguinte equação Batcelo 1967: De ρ p + ε + kt + q H.1

5 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 6 O pimeio temo o lao ieito a Equação.1 é o tabalo eesíel as oças e pessão enquanto que ε é um temo e issipação que age como uma onte ieesíel e calo. O temo kt epesenta o onecimento e calo po conução one k é a conutiiae témica e T é a tempeatua absoluta. O temo q H está elacionao com a geação e calo po outas ontes. O temo issipatio ε poe se escito a seguinte oma: ε τ :.13 Paa o escoamento e luios compessíeis não iscosos o temo issipatio é igual a zeo. Aicionalmente amitino-se que não á geação e calo q 0 e que o temo e onecimento e calo po conução é H espezíel a equação a aiação a enegia intena e é simpliicaa e apesenta a seguinte oma: De ρ p.14 A Equação.14 oi usaa neste estuo no caso e escoamento compessíel não iscoso paa moela a aiação e enegia intena e... Fomalismo Básico os Métoos e Patículas como: Daa uma unção einia sobe too o omínio poe-se expessa δ.15 one é o omínio a integal que contém e δ é a unção elta e Diac einia po: 1 se δ.16 0 se

6 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 7 A Equação.15 inica que uma unção poe se epesentaa em uma oma integal conecia como epesentação integal a unção. Dese que a unção elta e Diac seja usaa a epesentação integal na Equação.15 é exata ou igoosa se o einia e contínua em. Se a unção elta e Diac o substituía po uma unção e suaização o tipo a epesentação integal e é aa po:.17 one epesenta o compimento aio e suaização smooting lengt. É impotante essalta que como não é a unção elta e Diac a epesentação integal na Equação.17 é apenas uma apoximação. Isto é a oigem o temo apoximação kenel Liu e Liu 003 que é epesentaa pelo opeao. Assim a Equação.17 poe se escita na seguinte oma:.18 Em muitos casos existe a necessiae e se apoxima a eiaa a unção ao inés a pópia unção. Aplicano-se a epesentação integal à apoximação a eiaa a unção obtém-se: [ ].19 Aplicano-se a integação po pates cega-se a: [ ].0 A pimeia integal pesente no lao ieito a Equação.0 poe se conetia usano-se o teoema a iegência Teoema e Gauss em uma integal sobe a supeície S o omínio e integação : ns S.1 Na Equação.1 n é o eto nomal à supeície. Se o omínio o supote estie contio no omínio o poblema omínio no qual as equações

7 Equações Goenantes e Fomalismo Básico os Métoos e Patículas 8 ieenciais paciais estão contias então a integal e supeície é zeo e a Equação.1 poe se eescita a seguinte maneia:. Assim a apoximação a eiaa a unção é a apoximação integal a unção usano-se a eiaa a unção e suaização. De maneia análoga tem-se a seguinte equação paa epesenta a seguna eiaa Liu e Liu 003:.3 A segui nos Capítulos 3 e 4 seá apesentaa uma escição etalaa a metoologia os métoos Lagangeanos e patículas MPS e SPH espectiamente.