Disciplina de Matemática Aplicada - UFRGS- Profª Irene Strauch

Transcrição

1 Disciplina e Matemática Aplicaa - UFRGS- Poª Iene Stauch A Matemática a Foça e Coiolis: Quano se eseja aze meições em sistemas que estão giano, como a Tea, é necessáio examina cuiaosamente os eeitos que apaecem Dieentemente o moimento e tanslação que é elatio, o moimento e otação é uma popieae absoluta Ou seja, poe-se etemina se um copo está ou não em otação, sem elacioná-lo à posição e qualque outo objeto, poque há oças associaas apenas ao moimento e otação Uma estas oças é a já conhecia oça centíuga e a outa é a oça e Coiolis, a qual esempenha uma impotante unção na ciculação a atmosea e os oceanos Com o objetio e euzi o apaecimento estas oças, amos etemina inicialmente, os etoes elociae e aceleação paa um eeencial em otação (não-inecial), quano obseaos e um eeencial ixo (inecial) Vamos usa o sub-escito paa o sistema ixo e paa o sistema em otação Paa simpliica, amos escolhe uma oigem comum paa os ois sistemas e coinciente no tempo t (e ig abaixo) Sejam a elociae angula o sistema em otação (em negito) e o eto posição e uma patícula P com elação ao mesmo sistema, isto é, ( t) x i y j z k, one x x ( t), y y ( t), z z ( t ) Com elação ao sistema ixo, o eto-posição t () ica: x i y j z k

2 A ieença ente essas uas escições é que os etoes unitáios ( i, j, k ) o eeencial em otação possuem ieção e sentio que aiam com o tempo, enquanto que os etoes unitáios ( i, j, k ) o eeencial ixo são constantes em ieção e sentio Assim, o eto elociae a patícula P, meio no eeencial ixo é: x y z i j k Ou, tomano o mesmo aio-eto eeenciao ao sistema em otação, poemos escee: xi y j zk x y z i j k i j k x y z i j k x y z, ( eq( I )) One é a elociae a patícula P elatia ao sistema em otação Os temos estantes expessam o moimento o sistema em otação com elação ao sistema ixo Po outo lao, sabemos o estuo o moimento e otação que, quano uma patícula P gia com elociae angula w em tono e um eixo ixo, conome igua abaixo, o eto elociae linea é ao po: Aaptano este esultao aos tês temos estantes, temos i j k i, j, k, one o 1º epesenta o eto elociae linea no ponto (1, 0,0), no sistema em otação em qualque tempo t E e maneia análoga, o 2º epesenta a elociae no ponto (0, 1,0) e o 3º a elociae no ponto (0, 0,1) Usano estes esultaos na eq, (I), poemos escee: x i y j z k ( eq( II )) Isto é, o eto elociae meio no sistema ixo é igual ao eto elociae meio no sistema em otação mais o eto elociae o sistema em otação elatio ao sistema ixo Esta aimação aina poe aina se escita matematicamente, na oma opeacional como: Esta ómula é ália paa qualque eto e não apenas paa o eto posição Assim, em casos mais geais, a leitua esta ómula é: a taxa e aiação e um ceto eto no

3 eeencial ixo() é igual à taxa e aiação o mesmo eto no eeencial em otação () mais o pouto etoial ente a elociae angula o eeencial em otação e o eeio eto Se este eto abitáio o a elociae linea com elação ao eeencial ixo, teemos: O temo a esquea é a einição o eto aceleação a no sistema ixo À ieita, açamos a substituição e pelo esultao obtio na eq(ii) Assim, a ( eq III ) Esta expessão elaciona a aceleação a com as aceleações meias no sistema em otação Obsee que se 0 então a Vamos agoa, ientiica estas aceleações que apaecem no sistema em otação (eqiii): -O temo é a aceleação meia no sistema em otação, a -Usano a eiaa e um pouto paa o temo, encontamos: Se supusemos que a elociae angula é constante, então o 2º temo se euz a -Com isso, o 2º e o 3º temos se somam, ano 2 Este é o temo que á oigem aceleação e Coiolis -O 4º temo, ( ) é um eto nomal a De acoo com a igua ao lao, etoes e é o ângulo ente os Usano a ega o pouto etoial, o móulo este tiplo pouto etoial é 2 sen Este temo é ientiicao como a aceleação centípeta e a oça coesponente é a oça centípeta

4 Potanto, um obseao inecial esceeia o moimento e otação e um copo e massa m, como uma oça esultante F aa pela 2ª Lei e Newton a Mecânica como a soma as seguintes oças: F F 2 m( ) F centípeta Já paa o obseao no sistema em otação, tuo se passa como se a patícula se moesse sob a ação e uma oça eetia aa po: F F 2 m( ) F centípeta Como este obseao não-inecial também conhece a 2ª Lei e Newton, ientiicaá no 1º temo a oça esultante O 2º e o 3 º temos são oças que só existem poque o sistema gia com elociae angula O 2º temo 2 m( ) é a chamaa oça e Coiolis e o 3º temo F centípeta é a oça conhecia como oça centíuga, com sentio oposto à oça centípeta Qualque um que tenha tentao caminha em uma plataoma giante, ee te sentio os eeitos a oça e Coiolis Ela elete o moimento em uma ieção pepenicula ao plano eteminao po e (e ig abaixo) Uma inteessante constatação a existência esta oça icou conhecia como o pênulo e Foucault Um pênulo longo em oscilação acabaá po pecessiona eio à oça e Coiolis Este moimento é uma eiência isíel o moimento e otação a Tea, inepenente e qualque obseação astonômica Quem oam Coiolis e Foucault? Gaspa-Gustae Coiolis oi um engenheio ancês que, em 1835, publicou um tabalho cientíico, esultao e suas pesquisas enoleno máquinas em otação, como as oas água, no qual menciona a existência e uma oça o tipo oça centíuga e euz com bastante pecisão sua ómula matemática No início o século XX, o temo oça e Coiolis começa a se usao em meteoologia Os eeitos a oça e Coiolis são hoje bem conhecios no moimento os entos em

5 centos e baixa pessão Isto é, quano uma áea e baixa pessão se oma na atmosea, o a tene a lui em sua ieção moio pelos gaientes e pessão, mas seá eletio pepeniculamente à sua elociae pela oça e Coiolis Um sistema e equilíbio poe então se estabelece, ciano um moimento cicula e ano oigem a uma omação tipo campo e spin, caacteística os luxos ciclônicos Também em escala micoscópica os eeitos a oça e Coiolis estão pesentes e poem se obseaos Po exemplo, em moléculas poliatômicas, o moimento a molécula poe se escito como o moimento e otação e um copo ígio, supeposto ao moimento e ibação intena os átomos, entono e sua posição e equilíbio Os espectos estas moléculas apesentam, conseqüentemente, uma mistua e moos otacionais e ibacionais Jean Bena Leon Foucault oi um ísico e astônomo ancês que, em 1851, ealizou a 1ª emonstação expeimental o moimento e otação a Tea O apaato expeimental consistiu e um longo pênulo, eixao lie paa oscila em qualque plano etical A apesentação mais sensacional oi a ealizaa no Panthéon e Pais, one usou uma massa e 28 kg suspensa em um io e 67m e compimento O moimento o pênulo em um sistema inecial seia um moimento hamônico simples, mas eio ao moimento e otação a Tea estabelece-se, gaualmente, um moimento e pecessão, esultante a composição a oça gaitacional e a oça e Coiolis que aeem o moimento e otação a Tea Paa uma escição qualitatia as oças no moimento e otação, sugeimos a leitua o paágao 19-4 o Feymann, Lições e Física, Vol I Animações inteessantes poem se acessaas no eneeço o Wikipeia, usano como palaas-chaes: Coiolis e Foucault ou no Amazing Physics o youtube Sobe o moimento a água em alos e pia, sugeimos o inteessante atigo os poessoes Fenano Lang a Sileia e Rolano Axt, publicao no Caeno Catainense e Física, Floianópolis, 17, n1: p22-26, 2000