HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA 2 CAPÍTULO 15 GRAVITAÇÂO

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1 Poblemas esolios e Física HIDY, ESNICK, WKE, FUNDENOS DE FÍSIC, 4.ED., C, IO DE JNEIO, 996. FÍSIC CPÍUO 5 GVIÇÂO 05. Um copo e massa é iiio em uas pates, e massas m e - m, que são epois istanciaas uma a outa. Qual a azão m/ que tona máxima a foça aitacional ente as uas pates? (Pá. 70) Consiee o seuinte esquema: m F F m O móulo a foça e atação aitacional ente as pates o copo iiio é: m F Paa calcula a azão m/ capaz e maximiza a foça F é peciso localiza o ponto e máximo a função F = f(m): F G m 0 m m 0 m Vamos apenas checa a eiaa seuna e F = f(m): F G 0 m Como a eiaa seuna é neatia, confimamos que a concaiae a cua F = f(m) é oltaa paa baixo, o que confima se tata e um ponto e máximo (maximização e F). 08. Qual a aiação pecentual na aceleação a ea em ieção ao Sol, quano o alinhamento a ea, o Sol e a ua passa e uma situação e eclipse o Sol (ua ente a ea e o Sol) paa uma e eclipse a ua (ea ente a ua e o Sol)? (Pá. 70) Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação

2 Poblemas esolios e Física Consiee o seuinte esquema a situação: Sol ua ea Inicial Eclipse o Sol S FS F Final Eclipse a ua S Na situação e eclipse o Sol, temos: FS F ai Na expessão acima, a i é a aceleação expeimentaa pela ea na situação inicial. a i S S ai S S Na situação e eclipse a ua, temos: FS F a f a a f S S S S aiação a aceleação a ea (a) nas uas situações é: a a a f i Em elação à situação inicial, a aiação pecentual a aceleação ale: a a i S S S S S S f a 0, 040 a 0 8 i,99 0 k,8 0 m 7,60 k,50 0 m a,% a i FS F Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação

3 Poblemas esolios e Física. Na Fi. 5-9, uas esfeas e massa m e uma teceia e massa estão nos étices e um tiânulo eqüiláteo, e uma quata esfea e massa m 4 está no baicento o tiânulo. Se a foça aitacional esultante sobe a quata esfea é nula, expima a massa em temos a massa m. Consiee o seuinte esquema a situação: (Pá. 70) m4 F4 a F4 c F4 b m m Po meio e análise eomética, conclui-se que: a b a 6 c a O somatóio as componentes eticais e F 4, F 4 e F 4 ee se zeo: F F cos F cos F cos Gm4 Gm4m cos b 6 mcos m m m m c m Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação

4 Poblemas esolios e Física 4. Uma baa fina e massa é efomaa até aquii a foma e um semicículo e aio, como na Fi (a) Qual é a foça aitacional (em móulo e ieção) sobe uma patícula e massa m colocaa em P, cento e cuatua a baa? (b) Qual seia a foça aitacional sobe m, se a baa tiesse a foma e um cículo completo? Consiee o seuinte esquema a situação: y Fy F Fx 0 F F F F F F F F x y x y y y (Pá. 70) Na expessão acima, a inteal e F x é iual a zeo eio à simetia os elementos e massa o semicículo em elação ao eixo y. Isso faz com que os elementos e foça nas cooenaas +x e x anulem-se ois a ois. oo: F Gm F sen j sen j () oa pecisamos e uma função e em temos e. Paa isso, amos usa a ensiae linea e massa o semicículo,, que é constante. () Substituino-se () em (): m sen m F 0 j j m F j (b) Po azão e simetia, a foça aitacional seia nula. x. (a) Qual seá o peso e um objeto, que pesa 00 N na supefície a ea, na supefície a ua? (b) que istância o cento a ea, meia em aios teestes, ee esta este mesmo Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 4

5 Poblemas esolios e Física objeto, paa pesa o mesmo que na supefície a ua? (Pá. 7) (a) O peso e um objeto e massa m na supefície a ea (P ) é ao pela equação abaixo, one e são a massa e o aio a ea, espectiamente: oo: m P m P () Na ua, o peso o objeto (P ) ale: m P () Substituino-se () em (): P P P P 6 7,60 k00 N6,7 0 m 4 6 5,980 k, 740 m P 6,5 N (b) Vamos chama e P ' P m m 6, 495 N ' P o peso o objeto nessas conições ,980 k, 740 m 7,60 k 7, m Em temos e aios a ea, n n n :, m,46 6 6,7 0 m,46. O fato e aia e acoo com a localização sobe a supefície a ea, espetou a atenção quano Jean iche tanspotou um elóio e pênulo e Pais até Caiena, na Guiana Fancesa, em 67, e notou que ele atasaa,5 min po ia. Se = 9,8 m/s em Pais, qual o seu alo em Caiena? (Pá. 7) Sejam P e C os peíoos o pênulo e P e C as aceleações a aiae em Pais e Caiena, espectiamente. Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 5

6 Poblemas esolios e Física P l P O fato e o elóio atasa em Caiena sinifica que lá o pênulo oscila mais lentamente, ou seja, o peíoo o pênulo em Caiena é maio o que em Pais na azão e 50 s/ia. C 50 s P l Diiino-se as expessões acima: P P 50 s l P l C C C P Como o ataso e,50 min (50 s) é iáio, consieaemos P = 4 h = s. oo: C s P P 9,8 m/s 9, 7760 m/s P 50 s s 50 s 9,78 m/s C 4. (a) Queemos mei eixano um objeto cai exatamente 0 m. Que eo pecentual, na meia o tempo a quea, esultaia num eo e 0,% no alo e? (b) Com que pecisão ocê teia e mei (em seunos) o tempo que um pênulo e 0 m e compimento lea paa efetua 00 oscilações, paa que o eo pecentual em fosse o mesmo o item (a)? (Pá. 7) (a) Um eo e 0,% na meia e implica em: 0 0,00 Na expessão acima, 0 é o alo e efeência a aceleação a aiae. oo, poe ale,00 0 ou 0, O tempo e quea lie a pati e uma altua y 0 = h até y = 0 ale: y y0 0yt t 0 h 0 t t h Paa uma aceleação 0, o tempo e quea é t 0 : t 0 h 0 O eo elatio no alo o tempo é: Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 6

7 Poblemas esolios e Física e t t t 0 e% 0,05 (b) O peíoo o pênulo simples é: l O tempo paa 00 oscilações ale: h h 0,999 h 0, l O eo cometio, em seunos, seá: 0, l l l l , l ,999 O alo e efeência e 0 é: oo: 4 6, 670 N.m /k 5,980 k 6 6,7 0 m 9,898 m/s 0 0 m 00 0,70 s 00 9,898 m/s 0, , s 6. Paa iminui o conestionamento e táfeo ente uas ciaes, Boston e Washinton, po exemplo, aluns enenheios popuseam a constução e um túnel feoiáio ao lono a coa (no sentio eomético) que une as uas ciaes (Fi. 5-7). Um tem, que não pecisaia e locomotia e nem e motoes, patino o epouso, caiia ataés a pimeia metae o túnel e, então, subiia até a outa extemiae. Supono que a ea é uma esfea unifome e inoano o atito e a esistência o a, (a) moste que a iaem ente as uas ciaes é equialente ao pecuso a metae e um ciclo e um moimento hamônico simples, e (b) ache o tempo e iaem. Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 7

8 Poblemas esolios e Física (a) Consiee o seuinte esquema a situação: (Pá. 7) m Fx x F plicano-se a seuna lei e Newton na cooenaa x: F x x m t m x Fsen t x 0 t x m x () Na expessão acima, é a massa a esfea e aio. Paa etemina, utilizamos a ensiae a ea: 4 4 () Substituino-se () em (): x x x 0 t equação ifeencial o moimento hamônico simples é: x x 0 t Compaano-se as uas equações acima concluímos que o moimento o tem sob a ação a aiae é HS. (b) O peíoo o tem ale: Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 8

9 Poblemas esolios e Física O tempo e iaem ente Boston e Washinton coespone à metae o peíoo o HS: t 4. oste que, paa uma nae em epouso e a uma istância o Sol iual à istância méia ea- Sol, a elociae inicial necessáia paa escapa a atação aitacional o Sol é / ezes a elociae a ea na sua óbita, suposta cicula. (Este é um caso paticula e um esultao eal, álio paa óbitas ciculaes, ou seja, esc = / obital.) (Pá. 7) elociae obital a ea em tono o Sol é obtia econheceno que a foça aitacional F o Sol sobe a ea é a foça centípeta F c o seu moimento obital. Nas equações abaixo, os ínices e S efeem-se à ea e ao Sol, espectiamente. F F c S obital S S S obital () S Paa calcula a elociae e escape um copo e massa m a pati a istância S (ponto ), aplicamos o pincípio a conseação a eneia mecânica aos pontos e ao infinito: E E K U K U m esc Sm 0 0 S Como a elociae e escape é a meno elociae que um copo m ee possui paa escapa a atação aitacional e outo copo, a elociae e m ee se zeo no infinito. Po conenção, quano m e estão sepaaos po uma istância infinita, o sistema possui eneia potencial aitacional zeo. esc S () S Compaano-se () e (), concluímos: esc obital 46. s tês esfeas na Fi. 5-8, com massas m = 800, m = 00 e m = 00, estão com seus centos alinhaos, seno = cm e = 4,0 cm. Você moimenta a esfea o meio até que a sua istância cento a cento e m seja = 4,0 cm. Qual o tabalho ealizao sobe m (a) po ocê e (b) pela foça aitacional esultante sobe m, eio às outas esfeas? Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 9

10 Poblemas esolios e Física (Pá. 7) Vamos amiti que m é eslocao com elociae constante o ponto inicial () até o ponto final (B). oo, as foças que aem sobe m ao lono e too o tajeto somam zeo: F F F Ext 0 Como há uma foça extena atuano sobe m (F Ext ), a eneia mecânica não seá conseaa. E W Ext WExt U K U 0 Gmm Gmm Gmm Gmm WExt UB U m m m m m m m m WExt Gm Gm ( ) ( ) WExt Gm m m W Ext ( ) 6, 67 0 N.m /k 0,00 k 0,800 k 0, 00 k 0, m 0,040 m 5, 0050 J 0,040 m 0, m 0,040 m W Ext 5,0 0 J O tabalho ealizao pelas foças eias às outas esfeas (W Gait ) poe se calculao com base no seuinte aciocínio: Wotal WGait WExt 0 W Gait Ext W () W Gait 5,0 0 J O tabalho a foça aitacional poeia se calculao a seuinte foma: W W W F x.cos F x.cos 0 Gait F F ( x) ( x) Gmm Gmm Gait x W x x Gm m Gm m x x x WGait Gm m m ( ) Compae o esultao acima com as Eqs. () e (). () Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação 0

11 Poblemas esolios e Física 65. Um satélite é colocao numa óbita equatoial e tal maneia que pemanece estacionáio paa um obseao teeste. (Estamos leano em conta a otação teeste.) Qual ee se a altitue esta óbita (comumente chamaa e óbita eoestacionáia)? (Pá. 74) Paa que o satélite apesente óbita estacionáia em elação a um obseao localizao no Equao (eja que a óbita é equatoial), o peíoo obital () ee se iual ao peíoo e otação a ea em tono e seu eixo. Utilizano a teceia lei e Keple, one e são a massa e o aio a ea e h é a altua o satélite, meia a pati a supefície a ea: 4 h h 4 / 4 6, 67 0 N.m /k 5,98 0 k 4 h.600 s/h h 4 h , m h km / 6 6,7 0 m 86. Um pojétil é lançao a supefície e um planeta e massa e aio ; a elociae e lançamento é (/) /. Usano a conseação a eneia, etemine a istância máxima o cento o planeta alcançaa pelo pojétil. Expesse o esultao em temos e. (Pá. 76) Vamos aplica o pincípio a conseação a eneia mecânica aos pontos i, localizao na supefície o planeta, one a elociae é (/) /, e f, localizao no alto a tajetóia o pojétil a uma istância H o cento e planeta, one a elociae é nula. E i E f Ki Ui K f U f m i m m 0 H H H H Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - C Cap. 5 Gaitação

12 Poblemas esolios e Física ESNICK, HIDY, KNE, FÍSIC, 4.ED., C, IO DE JNEIO, 996. FÍSIC CPÍUO 6 GVIÇÂO 7. maio elociae e otação possíel paa um planeta é aquela em que a foça aitacional sobe copos no equao mal fonece foça centípeta necessáia paa otação. (Po quê?) (a) oste, então, que o peíoo e otação mais cuto coesponente é ao po G one é a ensiae o planeta, supostamente homoêneo. (b) Calcule o peíoo e otação supono uma ensiae e,0 /cm, típica e muitos planetas, satélites e asteóies. Nunca foi encontao um esses objetos com um peíoo meno o que o encontao nesta análise. (Pá. 5) Paa que a matéia pesente no equao possa acompanha o moimento e otação o planeta, é necessáio que a foça e atação aitacional (F) seja iual à foça centípeta (F C ) coesponente. F F C m 4 m m 4 4 V G Na expessão acima, V é o olume o planeta, supostamente esféico. Ientificano V/ como a ensiae o planeta, temos: (b) G,9 h 8. paelhos sensíeis, que meem a aceleação a aiae local,, poem se usaos paa etecta a pesença e epósitos e ochas póximos à supefície com ensiae sinificantemente maio ou meno o que a as suas izinhanças. Caiaes tais como caenas e poços e minas abanonaos poem também se localizaas. (a) oste que a componente etical e à istância x e um ponto situao ietamente acima o cento e uma caena esféica (eja a Fi. 8) é meno o que o espeao, supono uma istibuição e ocha unifome, e ensiae, seno esta ifeença iual a 4, / x one é o aio a caena e é a pofuniae o seu cento. (b) Estes aloes e, enominaos anomalias, são ealmente muito pequenos e expessos em milial, seno al = cm/s. Duante uma pospecção e petóleo, num leantamento aimético, eifica-se que aia e 0,0 milials até um máximo e 4,0 milials, numa istância e 50 m. Supono- esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

13 Poblemas esolios e Física se que a maio anomalia foi etectaa ietamente acima o cento e uma caena esféica que se sabe existi na eião, etemine o seu aio e a pofuniae até o teto a caena, naquele ponto. s ochas póximas têm ensiae e,80 /cm. (c) Suponha que a caena, ao inés e esta azia, esteja completamente cheia áua. Quais são, aoa, os aloes que as leituas a aiae em (b) fonecem paa o seu aio e sua pofuniae? (Pá. 5) (a) Suponha que no local o obseao o alo a aceleação a aiae sem a pesença a caena esféica seja 0 e na pesença a caena seja. ifeença 0 = coespone ao móulo a componente etical o campo aitacional eao unicamente pela caena peenchia com mateial e ensiae iual à as ochas cicunantes. Veja o esquema a seui, one c é o campo aitacional eao pela esfea e aio e massa m com mateial e ensiae : c x m, O móulo e ale: Gm c cos x / massa m a esfea poe se expessa em temos e sua ensiae e e seu olume V: 4 m V oo: G 4 x x 4 G x / / esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

14 Poblemas esolios e Física 0. Duas camaas esféicas concênticas, e ensiae unifome, teno massas e, estão ispostas confome mosta a Fi. 9. Detemine a foça que atua sobe uma patícula e massa m quano esta está localizaa em (a) = a, (b) = b e (c) = c. istância é meia a pati o cento as camaas. (Pá. 5) foça e atação aitacional ente uma patícula e massa m, localizaa no exteio e uma casca esféica e massa é a mesma que ocoe ente uas patículas e massas m e. Se a patícula estie localizaa no inteio a casca, a foça aitacional sobe ela seá nula (teoema a casca esféica e Newton). (a) patícula e massa m na posição a está sujeita às foças aitacionais eias às uas cascas esféicas: m m Fa F F a a Gm Fa a (b) Na posição b, a patícula sofe atação aitacional apenas a casca : Gm Fb b (c) Na posição c, a patícula não sofe qualque atação aitacional: F 0 c. oste que, no funo e um poço e mina etical e pofuniae é D, o alo e seá D s, one s é o alo na supefície. Suponha que a ea seja uma esfea unifome e aio. (Pá. 5) Consiee o seuinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 4

15 Poblemas esolios e Física 0 D - D aceleação a aiae na supefície a ea ( 0 ) ale: () 0 Na Eq. (), e são a massa e o aio a ea, espectiamente. No funo e um poço e pofuniae D, a aceleação a aiae () ale: D Na Eq. (), é a massa a esfea e aio D. oa amos aplica a efinição a ensiae paa a ea e paa a esfea e aio D: 4 4 D D () Substituino-se () em (): G D D D D Substituino-se () em (4): 0 D () (4). O poblema seuinte foi apesentao na Olimpíaa a Uniesiae Pública e oscou, em 946 (eja a Fi. 40): Numa esfea e chumbo e aio, faz-se uma caiae esféica e tal moo que a sua supefície toca a supefície extena a esfea e chumbo e passa pelo cento esta. massa a esfea antes que a caiae fosse feita ea. Com que foça, e acoo com a lei a aitação uniesal, a esfea e chumbo iá atai uma pequena esfea e massa m, que está à istância o cento a esfea e chumbo, sobe uma linha eta que une os centos as esfeas e a caiae? esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 5

16 Poblemas esolios e Física Consiee o seuinte esquema a situação: - / (Pá. 5) m F / simetia esféica e o alinhamento os copos pemitem a solução o poblema po ifeença. Ou seja, poemos calcula a foça aitacional execia pela esfea sem a caiae (F ) e a foça aitacional (F ) que a caiae execeia caso fosse uma esfea e aio /, localizaa a uma istância / a massa m. oo: F F F () O móulo e F ale: m F () oa amos calcula o móulo e F. massa a esfea ane ale: 4 V massa a esfea pequena ale: Potanto: ' ' G m 8 m F 8 Substituino-se () e () em (): () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 6

17 Poblemas esolios e Física m m F m 8 8 m F 8 9. Consiee uma patícula num ponto P em alum lua no inteio e uma camaa esféica mateial. Suponha que a camaa tenha espessua e ensiae unifomes. Constua um cone uplo esteito com étice em P, inteceptano as áeas e, sobe a camaa (Fi. 4). (a) oste que a foça aitacional esultante execia sobe a patícula em P pelos elementos e massa inteceptaos é nula. (b) oste, então, que a foça aitacional esultante que a camaa inteia exece sobe uma patícula no seu inteio é nula. (Este métoo foi imainao po Newton.) Consiee o seuinte esquema a situação: (Pá. 5) n n (a) Paa um cone efinio pelo ânulo sólio e cuja altua é, a áea a base ( n ) é aa po: () n Paa um seuno cone que patilha o mesmo ânulo sólio com o pimeio cone temos: () n esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 7

18 Poblemas esolios e Física O elemento e áea (supefície a camaa esféica) faz um ânulo com o elemento e áea n (o ânulo ente e n também é ). oo: cos n () cos n (4) Iualano-se () e (): (5) cos Iualano-se () e (4): (6) cos Seja a ensiae supeficial a camaa esféica: m m (7) (8) Substituino-se (5) em (7): (9) m cos Substituino-se (6) em (8): (0) m cos azão ente as foças aitacionais execias pelas camaas supeficiais e sobe uma patícula e massa m localizaa em P ale: F F Gmm Gmm () Substituino-se (9) e (0) em (): oo: F Gm cos F Gm F cos F. Um fouete é aceleao até a elociae = [ ] /, peto a supefície a ea e, então, seue paa cima. (a) oste que ele escapaá a ea. (b) oste que, muito lone a ea, sua elociae é V = [ ] /. (Pá. 54) (a) Nas poximiaes a supefície a ea a aceleação a aiae ale (e Poblema ): () Substituino-se este alo na expessão a elociae inicial o fouete fonecia no enunciao: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 8

19 Poblemas esolios e Física / elociae mínima e escape ( esc )a ea ale: oo: esc esc / / Potanto o fouete não mais etonaá à ea. (b) plicano-se o pincípio a conseação a eneia mecânica à supefície a ea e ao infinito, teemos: E E K U K U m m mv 0 V () Substituino-se () em (): V 4 (4) Substituino-se () em (4): V / () 6. Um pojétil é atiao eticalmente a supefície a ea, com uma elociae inicial e 9,4 km/s. Despezano o atito com o a, a que altua acima a supefície teeste ele cheaá? (Pá. 54) Consiee o seuinte esquema a situação: h m mp 0 = 0 Poe-se esole este poblema po meio a aplicação o pincípio a conseação a eneia mecânica, one os ínices P e efeem-se ao pojétil e à ea, espectiamente: E0 E K K U K K U P0 0 P0 P P esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 9

20 Poblemas esolios e Física m P 0 Gm Gm h Gm mp Gm mp h 0 0 h Gm h 0 Gm h 9, 40 m/s 6 4 6,7 0 m 6, 670 N.m /k 5,980 k 7 h, m h km 6 6,7 0 m 4. Duas estelas e nêutons estão sepaaas pela istância cento-a-cento e 9,4 km. Caa uma tem massa e, k e aio e,6 km. Elas estão inicialmente em epouso, uma em elação à outa. (a) que elociae elas estaão se moeno quano a sepaação ente elas houe iminuío até a metae o seu alo inicial? (b) que elociae elas estaão se moeno pouco antes e coliiem? Inoe efeitos elatiísticos. (Pá. 54) Consiee o seuinte esquema a situação: 0 = 0 0 = 0 B - / C - esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 0

21 Poblemas esolios e Física (a) plicano-se o pincípio a conseação a eneia mecânica aos estaos e B: E E B U K UB KB 0 0 6, 670 N.m /k,56 0 k 9, 40 m, 40 km/s 0, c 7,77 0 m/s (b) plicano-se o pincípio a conseação a eneia mecânica aos estaos e C: E E B 0 0 6, 670 N.m /k,56 0 k,6 0 m 9,4 0 m 7 5, m/s 54,9 0 km/s 0,8 c 4. Diesos planetas (os iantes asosos Júpite, Satuno, Uano e Netuno) possuem anéis apoximaamente ciculaes em tono e si, poaelmente constituíos e mateial que não conseuiu foma um satélite. lém isso, muitas aláxias contém estutuas semelhantes a anéis. Consiee um anel homoêneo e massa e aio. (a) Enconte uma expessão paa a foça aitacional execia pelo anel sobe uma patícula e massa m localizaa à istância x o cento o anel, ao lono o seu eixo? Veja a Fi. 45. (b) Suponha que a patícula caia a pati o epouso, como esultao a atação o anel. Enconte uma expessão paa a elociae com que ela passa ataés o cento o anel. (Pá. 54) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

22 Poblemas esolios e Física (a) Consiee o seuinte esquema a situação: x F Fx Fz Fy z x O elemento e massa exece uma foça F sobe a massa m. Esta foça ale: F F i F j F k x y z foça total F que o anel exece sobe m é a inteal e F: F F F i F j F k x y z simetia enolia na situação inica que as inteais em j e k seão nulas eio à istibuição simética e paes e elementos nas cooenaas positia e neatia os eixos y e z. oo: F F i F cos i x Como estamos inteessaos apenas no móulo a foça: F F cos F Gm x Gmx x () / x x / expessão o elemento poe se extaía a efinição a ensiae linea e massa o anel: () Substituino-se () em (): F F Gmx mx x x mx x / / / 0 Paa pontos one x, esta expessão se euz a: mx mx m F x / x x y Que coespone à foça aitacional ente uas massas pontuais m e. Paa x = 0 (cento o anel), a foça é zeo eio à simetia a istibuição e massa em tono e m (o numeao a expessão e F é nulo). (b) eneia potencial a massa m à istância otoonal x ao cento o anel (U x ) ale: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

23 Poblemas esolios e Física U x Gm U x () x / Substituino-se () em (): U x Gm m m / / 0 / x (4) x x plicano-se o pincípio a conseação a eneia mecânica aos pontos localizaos em x (E x ) e no cento o anel (E c ): E x E c Kx Ux Kc Uc m m 0 m / c x / c x c x / 4. Duas patículas e massas m e estão inicialmente em epouso a uma istância infinita uma a outa. oste que, em caa instante, a sua elociae e apoximação elatia, eio à atação aitacional, é [G( + m)/] /, one é a sepaação ente elas em caa instante. (Pá. 54) Consiee o seuinte esquema a situação: m V x elociae elatia as patículas ( el ) quano sepaaas pela istância é aa pela ifeença e suas elociaes nessas posições: V el el V () Pecisamos calcula e V paa etemina a elociae elatia à istância. Seja E 0 a eneia mecânica inicial o sistema e E () a eneia mecânica em função a istância e sepaação os copos. mitino-se que o sistema é conseatio, a eneia mecânica o sistema não aia: E0 E( ) U K U K 0 0 ( ) ( ) m 0 0 V m m V m () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

24 Poblemas esolios e Física plicano-se a conseação o momento linea: P0 P( ) p p p p 0 m0 ( ) m( ) 0 0 m V m V () V m (4) Substituino-se () em (): m m m m m Substituino-se (4) em (), obtemos: Gm V m Substituino-se (5) e (6) em (): el Gm G m m m m G el m m el G m (5) (6) 50. Consiee ois satélites e B, ambos e massa m, moeno-se na mesma óbita cicula e aio, em tono a ea, mas em sentios e eolução opostos, e, potanto, em ota e colisão (eja a Fi. 47). (a) Em temos e G,, m e, etemine a eneia mecânica total o sistema constituío pelos ois satélites mais a ea, antes a colisão. (b) Se a colisão fo completamente inelástica, e moo que os estoços pemaneçam como uma única peça e mateial etocio, etemine a eneia mecânica total imeiatamente após a colisão. (c) Descea o moimento subseqüente os estoços. (Pá. 55) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 4

25 Poblemas esolios e Física (a) Consiee o seuinte esquema a situação: B ea eneia mecânica total é a soma as eneias mecânicas os satélites e B: E E EB K U KB UB U B E Gm Gm Gm Gm Gmm ( ) O temo U B é espezíel, pois Gmm Gm. oo: Gm E (b) colisão ente os satélites é completamente inelástica. plicano-se o pincípio a conseação o momento linea aos instantes imeiatamente antes (P i ) e imeiatamente após o impacto (P f ), teemos: P P i f m m m m m m m i Bi f Bf f f No instante imeiatamente anteio à colisão temos = B. oo: 0 f Potanto, o copo esultante a colisão, cuja massa é m, somente possuiá eneia potencial aitacional: E Gm (c) Como os estoços não possuem elociae tanencial (obital), caião eticalmente paa o solo. 5. O cento o Sol está em um os focos a óbita a ea. que istância ele se enconta o outo foco? Expesse sua esposta em temos o aio o Sol S = 6, m. excenticiae a óbita a ea é 0,067 e o semi-eixo maio mee,50 0 m. (Pá. 55) Consiee o seuinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 5

26 Poblemas esolios e Física ea Sol a De acoo com o esquema acima, a istância pocuaa ale: 9 ea 0, 067, 50 0 m 5, 0 0 m Em temos e aios solaes ( S ), a istância ente os focos a óbita elíptica a ea ale: S 7, S 9 5,00 m 7,98,50 0 m 5. Use a conseação a eneia e a Eq. 7 paa a eneia total e emonste que a elociae e um objeto numa óbita elíptica satisfaz a elação a. (Pá. 55) Eq. 7 citaa no enunciao é a eneia mecânica total e um objeto e massa m em óbita cicula em tono a ea (massa ), em que é o aio a óbita: m E (7) No caso e óbitas elípticas, ale a elação em que a é o compimento o semi-eixo maio a tajetóia elíptica: m E a eneia mecânica o sistema é aa po: E K U m m m a a a a esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 6

27 Poblemas esolios e Física 5. Um cometa moe-se em uma óbita e excenticiae iual a 0,880 e tem elociae e,7 km/s quano está o mais istante possíel o Sol. Detemine a sua elociae quano estie no ponto mais póximo o Sol. (Pá. 55) Consiee o seuinte esquema a situação: P ea y P Sol z x a a Sejam P o eto posição o cometa no peiélio e no afélio, em elação ao Sol, e p P e p os momentos lineaes o cometa no peiélio e afélio, espectiamente. Vamos aplica a conseação o momento anula o cometa no peiélio (l P ) e no afélio (l ), consieano-se o Sol em epouso: l P l P pp p Na cooenaa z: P P P () P Obseano-se o esquema, poemos pecebe as seuintes elações, one a é o aio maio a óbita elíptica o cometa e e a excenticiae a óbita: a ea a e () a ea a e () P Substituino-se () e () em (): P e 0,880,7 km/s 58,8 km/s e 0,880 58, km/s P 6. Um eteminao sistema tiplo e estelas consiste em uas estelas, caa uma e massa m, que iam em tono e uma estela cental e massa, na mesma óbita cicula. s uas estelas situam-se nos extemos opostos e um iâmeto a óbita cicula; eja a Fi. 49. Deuza uma expessão paa o peíoo e eolução as estelas; o aio a óbita é. esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 7

28 Poblemas esolios e Física Consiee o seuinte esquema a situação: (Pá. 55) foça centípeta o moimento obital e caa massa m é iual à esultante as foças aitacionais que aem sobe caa uma: F F Na cooenaa aial: F m C m Fmm m Gmm m 4 G m G 4 m Poe-se nota que se fizemos m = 0, a expessão final iuala-se-á à teceia lei e Keple: Um sistema e estelas bináias consiste em uas estelas, caa uma com massa iual à o Sol, que iam em tono o seu cento e massa. istância ente elas é iual à istância ente a esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 8

29 Poblemas esolios e Física ea e o Sol. Qual é o seu peíoo e eolução, em anos? Consiee o seuinte esquema a situação: (Pá. 56) - C -F F foça centípeta (F c ) o moimento obital as estelas em tono o cento e massa o sistema é a foça aitacional (F ) que uma estela exece sobe a outa: F F c m 0 6, 670 N.m /k,99 0 k 59 ias 7, 40 0 s 68. óbita a ea em tono o Sol é quase cicula. s istâncias maio e meno são, km e,5 0 8 km, espectiamente. Detemine as aiações máximas (a) na eneia potencial, (b) na eneia cinética, (c) na eneia total, e () na elociae obital esultantes a aiação na istância ea-sol, no cuso e um ano. (Suestão: plique a conseação a eneia e o momento anula.) (Pá. 56) Consiee o seuinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 9

30 Poblemas esolios e Física p a p a a p Sol a (a) Seja U p a eneia potencial o sistema ea-sol no peiélio (ponto e maio poximiae ente Sol e ea) e U a a eneia potencial no afélio (ponto e maio afastamento). aiação a eneia potencial ente o peiélio e o afélio (U) ale: U Ua U p a p U S p a S S 4 0 6, 67 0 N.m /k 5,98 0 k,99 0 k U, 470 m,5 0 m U,78 0 J, J (b) Num sistema conseatio, como o sistema ea-sol, ale a seuinte elação: K U 0 K U K,78 0 J (c) eneia mecânica o sistema ea-sol ale: S E a Nesta expessão, a é o compimento o semi-eixo maio a tajetóia elíptica. Como o sistema ea-sol é conseatio, não há aiação em sua eneia mecânica. E 0 () No peiélio, a ea apesenta sua maio elociae obital eio à poximiae máxima o Sol. No afélio ocoe o ineso, com a ea em sua meno elociae obital. aiação na elociae obital ente o peiélio e o afélio ale: () a p Paa etemina a e p amos utiliza a aiação a eneia cinética: K K K a p a p esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 0

31 Poblemas esolios e Física K () a p oa amos aplica o pincípio a conseação o momento anula: a p a pa p p p a pa sen p pp sen a a p p p p a () a Substituino-se () em (): p p K p a p K p a p p a K p a, 470 m,5 0 m 4 5,980 k Substituino-se o alo e p em (): a,5 0 m, J, 470 m0.99, 5 m/s oa poemos esole ():,5 0 m 9.0,57 m/s 9.0,57 m/s 0.99, 5 m/s 996,686 m/s 996 m/s 0.99, 5 m/s 69. Suponha que um satélite e comunicações eossíncono esteja em óbita na lonitue e Chicao. Você está em Chicao e eseja capta os seus sinais. Em que ieção ocê eeia aponta o eixo a sua antena paabólica? latitue e Chicao é 47,5 o. (Pá. 56) Consiee o seuinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

32 Poblemas esolios e Física ea Chicao Equao 0 x F m Neste esquema, é o ânulo e isaa, acima o hoizonte, que ee se utilizao paa ieciona a antena. Em pimeio lua amos etemina o aio obital o satélite ( O ) po meio a foça centípeta (foça aitacional) que ae sobe o satélite: m F O O m m O 4 O nálise o ânulo : O O / , m 4 () Obseano-se o esquema, poemos nota que: sen sen () Substituino-se () em (): O sen sen cos cos Eixo e otação cos cos sen sen cos O O O esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

33 Poblemas esolios e Física cos sen tan tan cot O O sen 6 6,7 0 m o , msen 47,5 o tan cot 47,5 5, 444 5,4 antena eeá se apontaa paa 5,4 o acima o hoizonte, na ieção sul. 7. ês estelas iênticas, e massa, estão localizaas nos étices e um tiânulo eqüiláteo e lao. que elociae elas eem se moe, peseano o tiânulo eqüiláteo, sabeno-se que toas elas iam sob a influência aitacional umas as outas, numa óbita cicula cicunscita? (Pá. 56) Consiee o seuinte esquema a situação: F FC C F Como o tiânulo fomao pelas estelas, e é eqüiláteo, o ânulo que apaece no esquema é /6. Consieano-se a simetia enolia no poblema temos = =. Vamos calcula a foça centípeta o moimento obital a estela : F F F C Na ieção aial: as: oo: F F cos F C cos esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação

34 Poblemas esolios e Física 74. Quanto tempo leaá um cometa, que se moe numa tajetóia paabólica, paa moe-se ese o seu ponto e maio apoximação o Sol, em (eja a Fi. 50), até completa um ânulo e 90 o, meio em elação ao Sol, alcançano B? Suponha que a istância e maio apoximação ao Sol é iual ao aio a óbita a ea, suposta cicula. Consiee o seuinte esquema a situação: Óbita a ea (Pá. 56) B B Sol y z x componente z o momento anula o cometa, e massa m, quano este passa pelo ponto (,z ) é iual à componente z o seu momento anula em outo ponto qualque a tajetóia paabólica, como no ponto escito pelo ânulo ( z ). z, z I p m sen Na equação acima, I é o momento e inécia o cometa, m m t t () Paa esole (), pecisamos e uma função e em temos e e a elociae o cometa no ponto ( ). elociae poe se calculaa a pati a pincipal caacteística a óbita cicula, que é possui eneia mecânica nula. Ou seja: E K U 0 esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 4

35 Poblemas esolios e Física m Sm 0 S Potanto, no ponto, a elociae o cometa ale: S () função e em temos e que pecisamos coespone à equação a paábola, escita em cooenaas polaes: cos l Na equação acima, l é a istância o foco à paábola, meia ataés e uma linha pepenicula ao eixo. No pesente caso, l = B. Poemos etemina o alo e B sabeno que quano = 0, temos = : B cos0 oo a função pocuaa é: ( ) cos Substituino-se () e () em (): 4 cos B t / t S cos cos sen cos t 8 S / S t t S 8 0,50 0 m 0 t 9 9 6, 67 0 N.m /k,99 0 k S t 0 ias 6 9,508 0 s () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - C Cap. 6 Gaitação 5