Cap.2 - Mecanica do Sistema Solar II: Leis de Kepler do movimento planetário

Transcrição

1 Cap. - Mecanica do Sistea Sola II: Leis de Keple do oviento planetáio

2 Johannes Keple Tycho Bahe Mateático e Astônoo Aleão Astônoo Dinaaquês

3 = Cicunfeência achatada = Elipse

4 Lei das Elipses : sobe óbitas dos planetas ª Lei: A óbita de cada planeta é ua elipse co o Sol situado e u dos focos. Mateaticaente, ua elipse é definida coo o locus de todos os pontos, de odo que a soa das distâncias a pati de dois loci (focos) até qualque ponto sobe a elipse é constante: + = a = constante onde a é o sei-eixo aio. No caso de ua óbita planetáia, o sei-eixo aio da elipse é a distância édia do Sol até o planeta.

5 Popiedades da elipse Eixo aio linha AA, onde A e A são os vétices da elipse. Sei-eixo aio as linhas CA e CA, onde C é o cento da elipse. Paa cada ponto P sobe a elipse à distância do foco S, há u ponto siético P a ua distância de S a édia dessas distâncias é ( + ) / = a. Este esultado vale paa qualque pa de pontos abitáios, as siéticos. Potanto, o sei-eixo aio é igual à distância édia ente o Sol e u planeta e ua óbita elíptica. Sei-eixo eno as linhas CB e CB. Se a e b denota os copientos dos sei-eixos aio e eno, espectivaente, então usando as linhas pontilhadas ( = = a) e o teoea de Pitágoas, enconta-se que b = a - a e = a ( - e ), onde e é a excenticidade da elipse.

6 Excenticidade a azão CS / CA. Se a elipse é u cículo, e = 0, desde que S e F seja coincidentes C. O outo liite paa e é, obtido quando a elipse é tão esteita que o foco levado paa infinito. A distância paa cada foco ao cento da elipse é ae. Peiélio quando o planeta P está e A. Logo, ais póxio do Sol e podeos esceve SA = CA - CS = a - ae = a ( - e). Afélio quando o planeta P está e A e, potanto, ais distante do Sol. Assi, podeos esceve SA = CA + CS = a + ae = a ( + e). Anoalia vedadeia o ângulo ASP.

7 É ipotante sabe a equação de ua elipse, já que isso pode nos fonece a distância de u foco a u ponto sobe a elipse (po exeplo, distância Tea-Sol) e função da posição do ponto sobe a elipse. Se centalizaos o sistea de coodenadas polaes (, ) e S e a linha SA coesponde a = 0, então ede a distância SP e (a anoalia vedadeia) ede o ângulo ASP no sentido anti-hoáio. Usando cos (80 - ) = - cos e a lei dos cossenos da tigonoetia plana, teos: = + (ae) + (ae)cos. A pati da definição de ua elipse, teos = a. Então, = a ( - e ) / ( + e cos ). Essa é a equação da elipse e coodenadas polaes.

8 E coodenadas catesianas (x, y), a equação da elipse pode se deivada usando a figua ao lado e o teoea de Pitágoas: = (x + ae) + y = (x - ae) + y Subtaindo essas duas eqçs. ente si e usando = a -, encontaos que = a + ex. Substituindo de novo na pieia das duas eqçs. acia e epegando a elação b = a ( - e ), obteos (x/a) + (y/b) =, que é a equação paa ua elipse e coodenadas catesianas. Podeos ve que essa equação se eduz à equação do cículo paa a=b.

9 Sisteas de coodenadas catesianas e polaes

10 Segunda Lei de Keple: Lei das Áeas ª Lei: O aio veto que liga o copo aciço (Sol, po ex.) ao copo ais leve (u planeta, po ex.) vae áeas iguais e tepos iguais

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12 Lei Haônica Busca de haonia (Keple a deduziu 0 anos depois) 3ª Lei: O quadado do peíodo de u planeta é popocional ao cubo de sua distância édia ao Sol. P k a 3 onde, P é o peíodo sideal do planeta e a o sei-eixo aio de sua óbita. A constante k te o eso valo paa todos os copos obitando e tono do Sol.

13 Planet Tabela : Alguas Popiedades dos Planetas Obital Sei- Majo Axis, a (astonoi cal units) Obital Peiod, P (Eath yeas) Obital Eccenticity P /a 3 Mecuy Venus Eath Mas Jupite Satun Uanus Neptune Pluto Logo se: P : e ANOS Teestes a : e UA = distancia Tea-Sol K =!

14 UNIDADES DE MEDIDAS Unidade astonôica: U.A. =,496 x 0 Ano-luz: a.l. = 9,5 x 0 5 = 634 UA Pasec: pc = 3 x 0 6 = UA

15 Mosta que a édia dos aios obitais é o sei-eixo aio Q' Q ' ' A Paa u pa de pontos siéticos F' Q + ' = a Q' ' + = a + ' + ' + = a + a + ' + ' + = 4a ( + ' + ' + ) / 4 = a = a O F P Q e Q' = a Q e Q' = a... Paa todos os paes de pontos siéticos Q N e Q' N N = a N = N.a ( N ) / N = a = a

16 A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL O que ipede os planetas de saie flutuando pelo espaço? Keple havia atibuído as óbitas elípticas a ua foça de atação agnética (Newton co 46 anos de idade) Newton (sec. XVII) linha de aciocínio seelhante lei da gavitação univesal: deonstou-a po eio do oviento da Lua, explicou o oviento dos planetas e genealizou as leis de Keple

17 Leis de oviento de Newton Supõe-se: espaço-tepo absoluto, patícula ateial de assa descevendo ua tajetóia x (t) co velocidade v (t), co quantidade de oviento p(t) v e aceleação a (t). ª Lei da inécia Qualque copo peanece e seu estado de epouso, ou de oviento etilíneo e unifoe, a enos que seja copelido a uda de estado po ua foça extena.

18 ª Lei de Newton: da foça A taxa de vaiação da quantidade de oviento de u copo é igual à foça que atua sobe o copo.. A foça da ão acelea a caixa.. Duas vezes a foça poduz ua aceleação duas vezes aio (a é popocional à foça aplicada) 3. Duas vezes a foça sobe ua assa duas vezes aio, poduz a esa aceleação oiginal (a é invesaente pop. a assa) F dp dt d(v) dt dv dt a

19 3ª Lei da ação e eação A cada ação existe sepe ua eação igual e de sentido contáio.

20 Paa siplifica, vaos supo que o copo possui óbita cicula, de aio : foça centípeta: v F cent Se P é o peíodo obital do copo: v π P as, pela teceia lei de Keple: 3 P k, então: F 4π P 4 π k 3 4π k Assi, a foça que anté a óbita é invesaente popocional ao quadado do aio.

21 Lei da gavitação Univesal Matéia atái atéia na azão dieta das assas e invesa do quadado da distância. F F, = assas dos copos envolvidos = distância ente as assas F = foça de atação gavitacional F G G a constante univesal da gavitação G= 6, c 3 g - s -. Newton cobinou suas tês leis do oviento e a lei da gavitação paa deduzi as leis epíicas de Keple.

22 3ª Lei de Keple na foulação Newtoniana Sistea isolado; dois copos e óbita cicula, sob ação de sua foça gavitacional útua (tabé se aplica a óbitas elípticas); assas e, que obita e tono de u cento de assa (CM) suposto estacionáio, do qual dista de e.

23 Ua vez que a foça gavitacional atua ao longo da linha iagináia que os une, abos os copos deve copleta ua óbita no eso peíodo P (eboa se ova co velocidades difeentes). π π Paa ua óbita cicula: P v. v P A foça centípeta necessáia paa ante as óbitas é: F v

24 Lebando a lei da gavitação univesal: podeos esceve tabé que: O copo de assa aio peanece ais póxio do cento de assa. () G F P 4 P 4 v F π π ) ( P 4 P 4 v F b π π F F as

25 Coo a a ) (a a ) ( () a Lebando que gav G F F F (3) a G F gav Podeos efoula a 3ª lei de Keple, cobinando (b), (), e (3): )G ( a a 4 F 4 P P 4 F π π π 3 a ) G( 4 P π então K!!

26 Ve slide

27 Aplicação ao Sistea Sola Ente as váias aplicações, podeos calcula, po exeplo, a assa do Sol: Se u dos copos te assa uito aio que a do outo ( M >> P ), então, P 4π G( a ) 3 4π GM Θ a 3 paa o sistea Tea-Sol a distância é de U.A. e o peíodo é de ano π (,5x0 ) 8 (6,67x0 )(3,6x0 então M =,99x0 33 g. ) c 3 (c g s M Θ 7-3 ) (s )

28 A Foça Gavitacional que u objeto exece e outo é o étodo paa deteinação de MASSAS e Astonoia!