Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 POBLEMS ESOLVIDOS DE FÍSIC Pof. neson Cose Gauio Depatamento e Física Cento e Ciências Exatas Uniesiae Feeal o Espíito Santo aneson@np.ufes.b Última atualização: 8/11/006 15:0 H 8 - Gaitação Funamentos e Física Halliay, esnick, Walke 4ª Eição, LC, 1996 Física esnick, Halliay, Kane 4ª Eição, LC, 1996 Física esnick, Halliay, Kane 5ª Eição, LC, 00 Cap Gaitação Cap Gaitação Cap Gaitação Pof. neson (Itacaé, B - Fe/006)

2 HLLIDY, ESNICK, WLKE, FÍSIC, 4.ED., LC, IO DE JNEIO, FUNDMENOS DE FÍSIC CPÍULO 15 - GVIÇÃO Um copo e massa M é iiio em uas pates, e massas m e M - m, que são epois istanciaas uma a outa. Qual a azão m/m que tona máxima a foça gaitacional ente as uas pates? (Pág. 70) 08. Qual a aiação pecentual na aceleação a ea em ieção ao Sol, quano o alinhamento a ea, o Sol e a Lua passa e uma situação e eclipse o Sol (Lua ente a ea e o Sol) paa uma e eclipse a Lua (ea ente a Lua e o Sol)? (Pág. 70) 11. Na Fig. 15-9, uas esfeas e massa m e uma teceia e massa M estão nos étices e um tiângulo eqüiláteo, e uma quata esfea e massa m 4 está no baicento o tiângulo. Se a foça gaitacional esultante sobe a quata esfea é nula, expima a massa M em temos a massa m. Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - LC Cap. 15 Gaitação

3 (Pág. 70) 14. Uma baa fina e massa M é efomaa até aquii a foma e um semicículo e aio, como na Fig (a) Qual é a foça gaitacional (em móulo e ieção) sobe uma patícula e massa m colocaa em P, cento e cuatua a baa? (b) Qual seia a foça gaitacional sobe m, se a baa tiesse a foma e um cículo completo? (Pág. 70). (a) Qual seá o peso e um objeto, que pesa 100 N na supefície a ea, na supefície a Lua? (b) que istância o cento a ea, meia em aios teestes, ee esta este mesmo objeto, paa pesa o mesmo que na supefície a Lua? (Pág. 71). O fato e g aia e acoo com a localização sobe a supefície a ea, espetou a atenção quano Jean iche tanspotou um elógio e pênulo e Pais até Caiena, na Guiana Fancesa, em 167, e notou que ele atasaa,5 min po ia. Se g 9,81 m/s em Pais, qual o seu alo em Caiena? (Pág. 71) Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - LC Cap. 15 Gaitação

4 4. (a) Queemos mei g eixano um objeto cai exatamente 10 m. Que eo pecentual, na meia o tempo a quea, esultaia num eo e 0,1% no alo e g? (b) Com que pecisão ocê teia e mei (em segunos) o tempo que um pênulo e 10 m e compimento lea paa efetua 100 oscilações, paa que o eo pecentual em g fosse o mesmo o item (a)? (Pág. 71) 6. Paa iminui o congestionamento e táfego ente uas ciaes, Boston e Washington, po exemplo, alguns engenheios popuseam a constução e um túnel feoiáio ao longo a coa (no sentio geomético) que une as uas ciaes (Fig. 15-7). Um tem, que não pecisaia e locomotia e nem e motoes, patino o epouso, caiia ataés a pimeia metae o túnel e, então, subiia até a outa extemiae. Supono que a ea é uma esfea unifome e ignoano o atito e a esistência o a, (a) moste que a iagem ente as uas ciaes é equialente ao pecuso a metae e um ciclo e um moimento hamônico simples, e (b) ache o tempo e iagem. (Pág. 7) 4. Moste que, paa uma nae em epouso e a uma istância o Sol igual à istância méia ea- Sol, a elociae inicial necessáia paa escapa a atação gaitacional o Sol é 1/ ezes a elociae a ea na sua óbita, suposta cicula. (Este é um caso paticula e um esultao geal, álio paa óbitas ciculaes, ou seja, esc 1/ obital.) (Pág. 7) 46. s tês esfeas na Fig. 15-8, com massas m g, m 100 g e m 00 g, estão com seus centos alinhaos, seno L 1 cm e 4,0 cm. Você moimenta a esfea o meio até que a sua istância cento a cento e m seja 4,0 cm. Qual o tabalho ealizao sobe m (a) po ocê e (b) pela foça gaitacional esultante sobe m, eio às outas esfeas? Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - LC Cap. 15 Gaitação 4

5 (Pág. 7) 54. foça gaitacional ente uas patículas e massas m e M, inicialmente em epouso e muito istantes uma a outa, faz com que elas se juntem. Moste que, em qualque instante, a elociae elatia e qualque uma as patículas em elação à outa é [G(M+m)/] 1/, one é a istância ente elas nesse instante. (Sugestão: Use as leis e conseação a enegia e o momento linea.) (Pág. 74) 65. Um satélite é colocao numa óbita equatoial e tal maneia que pemanece estacionáio paa um obseao teeste. (Estamos leano em conta a otação teeste.) Qual ee se a altitue esta óbita (comumente chamaa e óbita geoestacionáia)? (Pág. 74) 7. (a) Paa escapa o Sol, que elociae ee te um objeto que está a uma istância o seu cento, seno o aio a óbita a ea (não consiee a influência os planetas sobe o objeto)? (b) Se o objeto já tem uma elociae igual à obital a ea, e quanto ee aumenta sua elociae paa que ele escape, como no item (a)? (c) Imagine um objeto seno lançao a ea na ieção o seu moimento obital. Qual a elociae e lançamento paa que ele atinja a elociae e escape calculaa, quano estie bem longe a ea, mas aina a uma istância, apoximaamente, o Sol? (Pág. 75) 75. Um satélite é colocao em uma óbita cicula paa fica estacionáio sobe um ceto ponto a supefície a ea. No entanto, po um eo e manoba, é colocao numa óbita cujo aio é 1 km maio que o a coeta. Com que elociae e em que ieção se moe o ponto a supefície Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - LC Cap. 15 Gaitação 5

6 a ea, ietamente abaixo o satélite? (Pág. 75) 86. Um pojétil é lançao a supefície e um planeta e massa M e aio ; a elociae e lançamento é (/) 1/. Usano a conseação a enegia, etemine a istância máxima o cento o planeta alcançaa pelo pojétil. Expesse o esultao em temos e. (Pág. 76) Halliay, esnick, Walke - Física - 4 a E. - LC Cap. 15 Gaitação 6

7 ESNICK, HLLIDY, KNE, FÍSIC, 4.ED., LC, IO DE JNEIO, FÍSIC CPÍULO 16 - GVIÇÃO maio elociae e otação possíel paa um planeta é aquela em que a foça gaitacional sobe copos no equao mal fonece foça centípeta necessáia paa otação. (Po quê?) (a) Moste, então, que o peíoo e otação mais cuto coesponente é ao po π Gρ one ρ é a ensiae o planeta, supostamente homogêneo. (b) Calcule o peíoo e otação supono uma ensiae e,0 g/cm, típica e muitos planetas, satélites e asteóies. Nunca foi encontao um esses objetos com um peíoo meno o que o encontao nesta análise. (Pág. 5) Paa que a matéia pesente no equao possa acompanha o moimento e otação o planeta, é necessáio que a foça e atação gaitacional (F) seja igual à foça centípeta (F C ) coesponente. F F C m 4π m ω m 4π 4π π V π M G Na expessão acima, V é o olume o planeta, supostamente esféico. Ientificano V/M como a ensiae o planeta, temos: (b) π Gρ 1, 9 h esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

8 18. paelhos sensíeis, que meem a aceleação a gaiae local, g, poem se usaos paa etecta a pesença e epósitos e ochas póximos à supefície com ensiae significantemente maio ou meno o que a as suas izinhanças. Caiaes tais como caenas e poços e minas abanonaos poem também se localizaas. (a) Moste que a componente etical e g à istância x e um ponto situao ietamente acima o cento e uma caena esféica (eja a Fig. 8) é meno o que o espeao, supono uma istibuição e ocha unifome, e ensiae ρ, seno esta ifeença igual a 4π Δ g gρ, / + x ( ) one é o aio a caena e é a pofuniae o seu cento. (b) Estes aloes e Δg, enominaos anomalias, são gealmente muito pequenos e expessos em miligal, seno 1 gal 1 cm/s. Duante uma pospecção e petóleo, num leantamento gaimético, eifica-se que Δg aia e 10,0 miligals até um máximo e 14,0 miligals, numa istância e 150 m. Suponose que a maio anomalia foi etectaa ietamente acima o cento e uma caena esféica que se sabe existi na egião, etemine o seu aio e a pofuniae até o teto a caena, naquele ponto. s ochas póximas têm ensiae e,80 g/cm. (c) Suponha que a caena, ao inés e esta azia, esteja completamente cheia água. Quais são, agoa, os aloes que as leituas a gaiae em (b) fonecem paa o seu aio e sua pofuniae? (Pág. 5) (a) Suponha que no local o obseao o alo a aceleação a gaiae sem a pesença a caena esféica seja g 0 e na pesença a caena seja g. ifeença g 0 g Δg coespone ao móulo a componente etical o campo gaitacional geao unicamente pela caena peenchia com mateial e ensiae igual à as ochas cicunantes. Veja o esquema a segui, one g c é o campo gaitacional geao pela esfea e aio e massa m com mateial e ensiae ρ: gc θ Δg x m, ρ O móulo e Δg ale: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

9 Gm Δ g gc cosθ x ( + ) 1/ massa m a esfea poe se expessa em temos e sua ensiae e e seu olume V: 4 m ρv ρ π Logo: G 4 Δ g πρ 1/ + x + x ( ) ( ) 4 Δ g πgρ ( + x ) / 0. Duas camaas esféicas concênticas, e ensiae unifome, teno massas M 1 e M, estão ispostas confome mosta a Fig. 9. Detemine a foça que atua sobe uma patícula e massa m quano esta está localizaa em (a) a, (b) b e (c) c. istância é meia a pati o cento as camaas. (Pág. 5) foça e atação gaitacional ente uma patícula e massa m, localizaa no exteio e uma casca esféica e massa M é a mesma que ocoe ente uas patículas e massas m e M. Se a patícula estie localizaa no inteio a casca, a foça gaitacional sobe ela seá nula (teoema a casca esféica e Newton). (a) patícula e massa m na posição a está sujeita às foças gaitacionais eias às uas cascas esféicas: 1m m Fa F1+ F + a a Gm Fa ( M1+ M) a (b) Na posição b, a patícula sofe atação gaitacional apenas a casca M 1 : GmM1 Fb b (c) Na posição c, a patícula não sofe qualque atação gaitacional: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

10 F c 0. Moste que, no funo e um poço e mina etical e pofuniae é D, o alo e g seá D g gs 1, one g s é o alo na supefície. Suponha que a ea seja uma esfea unifome e aio. (Pág. 5) Consiee o seguinte esquema a situação: g0 g D - D aceleação a gaiae na supefície a ea (g 0 ) ale: g0 (1) Na Eq. (1), M e são a massa e o aio a ea, espectiamente. No funo e um poço e pofuniae D, a aceleação a gaiae (g) ale: g D ( ) Na Eq. (), M é a massa a esfea e aio D. goa amos aplica a efinição a ensiae paa a ea e paa a esfea e aio D: M M ρ 4 4 π ( ) π D M ( ) M D () Substituino-se () em (): ( D) ( ) ( ) G M D D D g 1 (4) Substituino-se (1) em (4): D g g0 1 () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

11 . O poblema seguinte foi apesentao na Olimpíaa a Uniesiae Pública e Moscou, em 1946 (eja a Fig. 40): Numa esfea e chumbo e aio, faz-se uma caiae esféica e tal moo que a sua supefície toca a supefície extena a esfea e chumbo e passa pelo cento esta. massa a esfea antes que a caiae fosse feita ea M. Com que foça, e acoo com a lei a gaitação uniesal, a esfea e chumbo iá atai uma pequena esfea e massa m, que está à istância o cento a esfea e chumbo, sobe uma linha eta que une os centos as esfeas e a caiae? Consiee o seguinte esquema a situação: - / (Pág. 5) m F / simetia esféica e o alinhamento os copos pemitem a solução o poblema po ifeença. Ou seja, poemos calcula a foça gaitacional execia pela esfea sem a caiae (F 1 ) e a foça gaitacional (F ) que a caiae execeia caso fosse uma esfea e aio /, localizaa a uma istância / a massa m. Logo: F F1 F O móulo e F 1 ale: m F1 () goa amos calcula o móulo e F. massa M a esfea gane ale: 4 M ρv ρ π massa M a esfea pequena ale: M ' 4 4 ρ π ρ π 1 8 (1) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

12 Potanto: ' M M 8 M G m 8 1 m 8 Substituino-se () e () em (1): F m 1 m 1 1 F m 8 8 m 1 F 1 81 () 9. Consiee uma patícula num ponto P em algum luga no inteio e uma camaa esféica mateial. Suponha que a camaa tenha espessua e ensiae unifomes. Constua um cone uplo esteito com étice em P, inteceptano as áeas 1 e, sobe a camaa (Fig. 4). (a) Moste que a foça gaitacional esultante execia sobe a patícula em P pelos elementos e massa inteceptaos é nula. (b) Moste, então, que a foça gaitacional esultante que a camaa inteia exece sobe uma patícula no seu inteio é nula. (Este métoo foi imaginao po Newton.) Consiee o seguinte esquema a situação: (Pág. 5) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

13 1 1n 1 α 1n α 1 1 Ω Ω (a) Paa um cone efinio pelo ângulo sólio Ω e cuja altua é 1, a áea a base ( 1n ) é aa po: Ω 1n 1 Paa um seguno cone que patilha o mesmo ângulo sólio com o pimeio cone temos: Ω n O elemento e áea 1 (supefície a camaa esféica) faz um ângulo α com o elemento e áea 1n (o ângulo ente e n também é α). Logo: cos 1n 1 α () cos n α (4) Igualano-se (1) e (): 1 Ω 1 (5) cosα Igualano-se () e (4): Ω (6) cosα Seja σ a ensiae supeficial a camaa esféica: m1 σ 1 (7) m σ (8) Substituino-se (5) em (7): 1 m σ Ω 1 (9) cosα Substituino-se (6) em (8): m σ Ω (10) cosα azão ente as foças gaitacionais execias pelas camaas supeficiais 1 e sobe uma patícula e massa m localizaa em P ale: F F 1 1 Gmm1 Gmm (11) (1) () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

14 Substituino-se (9) e (10) em (11): Logo: F Gmσ Ω cosα 1 F Gm Ω F 1 1 cosα 1 σ F 1. Um foguete é aceleao até a elociae [g ] 1/, peto a supefície a ea e, então, segue paa cima. (a) Moste que ele escapaá a ea. (b) Moste que, muito longe a ea, sua elociae é V [g ] 1/. (Pág. 54) (a) Nas poximiaes a supefície a ea a aceleação a gaiae ale (e Poblema ): g (1) Substituino-se este alo na expessão a elociae inicial o foguete fonecia no enunciao: 1/ elociae mínima e escape ( esc )a ea ale: Logo: esc esc 1/ 1/ Potanto o foguete não mais etonaá à ea. (b) plicano-se o pincípio a conseação a enegia mecânica à supefície a ea e ao infinito, teemos: E E K + U K + U 1 m 1 m mv + 0 V () Substituino-se () em (): 4 V (4) Substituino-se (1) em (4): () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

15 V ( g ) 1/ 6. Um pojétil é atiao eticalmente a supefície a ea, com uma elociae inicial e 9,4 km/s. Despezano o atito com o a, a que altua acima a supefície teeste ele chegaá? (Pág. 54) Consiee o seguinte esquema a situação: h m mp 0 0 Poe-se esole este poblema po meio a aplicação o pincípio a conseação a enegia mecânica, one os ínices P e efeem-se ao pojétil e à ea, espectiamente: E0 E K + K + U K + K + U P P0 0 P0 P 1 m P 0 Gm Gm + h GmmP GmmP h h Gm 1 h 1 0 Gm 1 h 1 ( 9,4 10 m/s) ( 6,7 10 m) ( 6,67 10 N.m /kg )( 5,98 10 kg) h 7 1, m h km ( 6, m) 41. Duas estelas e nêutons estão sepaaas pela istância cento-a-cento e 9,4 km. Caa uma tem massa e 1, kg e aio e 1,6 km. Elas estão inicialmente em epouso, uma em elação à outa. (a) que elociae elas estaão se moeno quano a sepaação ente elas houe iminuío até a metae o seu alo inicial? (b) que elociae elas estaão se esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

16 moeno pouco antes e coliiem? Ignoe efeitos elatiísticos. Consiee o seguinte esquema a situação: M M (Pág. 54) B 1-1 / C - (a) plicano-se o pincípio a conseação a enegia mecânica aos estaos e B: E E B U + K UB + KB M ( 6,67 10 N.m /kg )( 1,56 10 kg) ( 9,4 10 m) 1 1,4 10 km/s 0,11 c 7,77 10 m/s (b) plicano-se o pincípio a conseação a enegia mecânica aos estaos e C: E E B M esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

17 ( 6, N.m /kg )( 1,56 10 kg) 1,6 ( 10 m) ( 9,4 10 m) 7 5, m/s 54,9 10 km/s 0,18 c 4. Diesos planetas (os gigantes gasosos Júpite, Satuno, Uano e Netuno) possuem anéis apoximaamente ciculaes em tono e si, poaelmente constituíos e mateial que não conseguiu foma um satélite. lém isso, muitas galáxias contém estutuas semelhantes a anéis. Consiee um anel homogêneo e massa M e aio. (a) Enconte uma expessão paa a foça gaitacional execia pelo anel sobe uma patícula e massa m localizaa à istância x o cento o anel, ao longo o seu eixo? Veja a Fig. 45. (b) Suponha que a patícula caia a pati o epouso, como esultao a atação o anel. Enconte uma expessão paa a elociae com que ela passa ataés o cento o anel. (a) Consiee o seguinte esquema a situação: θ (Pág. 54) M θ x α F Fx Fz Fy y z x O elemento e massa M exece uma foça F sobe a massa m. Esta foça ale: F F i+ F j+ Fk x y z foça total F que o anel exece sobe m é a integal e F: F F F i+ F j+ Fk x y z esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

18 simetia enolia na situação inica que as integais em j e k seão nulas eio à istibuição simética e paes e elementos M nas cooenaas positia e negatia os eixos y e z. Logo: F F i F cosα i x Como estamos inteessaos apenas no móulo a foça: F Fcosα GmM x Gmx F + x M (1) ( ) 1/ + x ( + x ) / expessão o elemento M poe se extaía a efinição a ensiae linea e massa o anel: M M ρ π θ Mθ M () π Substituino-se () em (1): Gmx Mθ mx π F θ / / 0 x π + π + x F ( ) ( ) mx ( + x ) / Paa pontos one x >>, esta expessão se euz a: mx mx m F x x x ( ) / Que coespone à foça gaitacional ente uas massas pontuais m e M. Paa x 0 (cento o anel), a foça é zeo eio à simetia a istibuição e massa em tono e m (o numeao a expessão e F é nulo). (b) enegia potencial a massa m à istância otogonal x ao cento o anel (U x ) ale: GmM Ux Ux + x () ( ) 1/ Substituino-se () em (): Gm M m m U θ x θ θ 0 x π + π + x + x ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 1/ plicano-se o pincípio a conseação a enegia mecânica aos pontos localizaos em x (E x ) e no cento o anel (E c ): E x E c Kx + Ux Kc + U c m 1 m 0 m 1/ c ( + x ) 1/ c ( + x ) (4) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

19 1 1 c x ( + ) 1/ 4. Duas patículas e massas m e M estão inicialmente em epouso a uma istância infinita uma a outa. Moste que, em caa instante, a sua elociae e apoximação elatia, eio à atação gaitacional, é [G(M + m)/] 1/, one é a sepaação ente elas em caa instante. (Pág. 54) Consiee o seguinte esquema a situação: m x elociae elatia as patículas ( el ) quano sepaaas pela istância é aa pela ifeença e suas elociaes nessas posições: el 1 ( ) V el +V Pecisamos calcula e V paa etemina a elociae elatia à istância. Seja E 0 a enegia mecânica inicial o sistema e E () a enegia mecânica em função a istância e sepaação os copos. mitino-se que o sistema é conseatio, a enegia mecânica o sistema não aia: E E 0 ( ) U0 + K0 U( ) + K( ) m MV + m m MV + m () plicano-se a conseação o momento linea: P 0 P( ) p + p p + p M 0 m0 M( ) m( ) 0+ 0 m + MV m V M () M V m (4) Substituino-se () em (): m M + m M m V M (1) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

20 m M + M ( m+ ) Substituino-se (4) em (), obtemos: Gm V M ( m+ ) Substituino-se (5) e (6) em (1): el el el Gm G ( ) ( ) ( ) ( M m ) m+ M m+ M m+ M + + G M + ( m+ ) ( + M) G m ( M m ) (5) (6) 50. Consiee ois satélites e B, ambos e massa m, moeno-se na mesma óbita cicula e aio, em tono a ea, mas em sentios e eolução opostos, e, potanto, em ota e colisão (eja a Fig. 47). (a) Em temos e G, M, m e, etemine a enegia mecânica total o sistema constituío pelos ois satélites mais a ea, antes a colisão. (b) Se a colisão fo completamente inelástica, e moo que os estoços pemaneçam como uma única peça e mateial etocio, etemine a enegia mecânica total imeiatamente após a colisão. (c) Descea o moimento subseqüente os estoços. (a) Consiee o seguinte esquema a situação: (Pág. 55) θ B ea esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

21 enegia mecânica total é a soma as enegias mecânicas os satélites e B: E E + EB K + U + KB + UB + UB GmM GmM GmM GmM Gmm E + ( θ ) O temo U B é espezíel, pois Gmm << GmM. Logo: GmM E (b) colisão ente os satélites é completamente inelástica. plicano-se o pincípio a conseação o momento linea aos instantes imeiatamente antes (P i ) e imeiatamente após o impacto (P f ), teemos: P P i f ( ) mi + mbi mf + mbf m + m f m f No instante imeiatamente anteio à colisão temos B. B Logo: f 0 Potanto, o copo esultante a colisão, cuja massa é m, somente possuiá enegia potencial gaitacional: GmM E (c) Como os estoços não possuem elociae tangencial (obital), caião eticalmente paa o solo. 51. O cento o Sol está em um os focos a óbita a ea. que istância ele se enconta o outo foco? Expesse sua esposta em temos o aio o Sol S 6, m. excenticiae a óbita a ea é 0,0167 e o semi-eixo maio mee 1, m. (Pág. 55) Consiee o seguinte esquema a situação: ea Sol a De acoo com o esquema acima, a istância pocuaa ale: ( )( ) 11 9 ea 0,0167 1,50 10 m 5,01 10 m Em temos e aios solaes ( S ), a istância ente os focos a óbita elíptica a ea ale: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

22 S 9 ( ) 11 ( 1,50 10 m) 5, m 7,198 7, S 5. Use a conseação a enegia e a Eq. 7 paa a enegia total e emonste que a elociae e um objeto numa óbita elíptica satisfaz a elação 1 a. (Pág. 55) Eq. 7 citaa no enunciao é a enegia mecânica total e um objeto e massa m em óbita cicula em tono a ea (massa M), em que é o aio a óbita: m E (7) No caso e óbitas elípticas, ale a elação em que a é o compimento o semi-eixo maio a tajetóia elíptica: m E a enegia mecânica o sistema é aa po: E K + U m 1 m m a a a 1 a 5. Um cometa moe-se em uma óbita e excenticiae igual a 0,880 e tem elociae e,7 km/s quano está o mais istante possíel o Sol. Detemine a sua elociae quano estie no ponto mais póximo o Sol. (Pág. 55) Consiee o seguinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

23 P ea y P Sol z x a a Sejam P o eto posição o cometa no peiélio e no afélio, em elação ao Sol, e p P e p os momentos lineaes o cometa no peiélio e afélio, espectiamente. Vamos aplica a conseação o momento angula o cometa no peiélio (l P ) e no afélio (l ), consieano-se o Sol em epouso: l P l P pp p Na cooenaa z: M M P P P P Obseano-se o esquema, poemos pecebe as seguintes elações, one a é o aio maio a óbita elíptica o cometa e e a excenticiae a óbita: a+ ea a(1+ e a ea a(1 e P Substituino-se () e () em (1): P ( e) ( e) ) ) ( ) ( ) ( ) ,880,7 km/s 58,8 km/s 1 1 0,880 58, km/s P (1) () () 61. Um eteminao sistema tiplo e estelas consiste em uas estelas, caa uma e massa m, que giam em tono e uma estela cental e massa M, na mesma óbita cicula. s uas estelas situam-se nos extemos opostos e um iâmeto a óbita cicula; eja a Fig. 49. Deuza uma expessão paa o peíoo e eolução as estelas; o aio a óbita é. esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

24 Consiee o seguinte esquema a situação: (Pág. 55) - m M m Fmm Fmm foça centípeta o moimento obital e caa massa m é igual à esultante as foças gaitacionais que agem sobe caa uma: F F Na cooenaa aial: F Mm C m + Fmm m Gmm mω + 4 G m 4π M + 4 4π / ( 4 + ) G M m Poe-se nota que se fizemos m 0, a expessão final iguala-se-á à teceia lei e Keple: 4π 64. Um sistema e estelas bináias consiste em uas estelas, caa uma com massa igual à o Sol, que giam em tono o seu cento e massa. istância ente elas é igual à istância ente a esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

25 ea e o Sol. Qual é o seu peíoo e eolução, em anos? Consiee o seguinte esquema a situação: (Pág. 56) - M CM -Fg M Fg foça centípeta (F c ) o moimento obital as estelas em tono o cento e massa o sistema é a foça gaitacional (F g ) que uma estela exece sobe a outa: F F c M g ω 4π 9 π ( m) 11 0 ( 6, N.m /kg )( 1,99 10 kg) π 59 ias 7, s 68. óbita a ea em tono o Sol é quase cicula. s istâncias maio e meno são 1, km e 1, km, espectiamente. Detemine as aiações máximas (a) na enegia potencial, (b) na enegia cinética, (c) na enegia total, e () na elociae obital esultantes a aiação na istância ea-sol, no cuso e um ano. (Sugestão: plique a conseação a enegia e o momento angula.) (Pág. 56) Consiee o seguinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

26 p a p a a p Sol a (a) Seja U p a enegia potencial o sistema ea-sol no peiélio (ponto e maio poximiae ente Sol e ea) e U a a enegia potencial no afélio (ponto e maio afastamento). aiação a enegia potencial ente o peiélio e o afélio (ΔU) ale: M M Δ U Ua U p a p 1 1 Δ U MS p a S S ( 6, N.m /kg )( 5,98 10 kg)( 1,99 10 kg) Δ U ( 1, m) ( 1,5 10 m) ΔU 1, J 1, J (b) Num sistema conseatio, como o sistema ea-sol, ale a seguinte elação: Δ K+Δ U 0 Δ K ΔU ΔK 1, J (c) enegia mecânica o sistema ea-sol ale: SM E a Nesta expessão, a é o compimento o semi-eixo maio a tajetóia elíptica. Como o sistema ea-sol é conseatio, não há aiação em sua enegia mecânica. Δ E 0 () No peiélio, a ea apesenta sua maio elociae obital eio à poximiae máxima o Sol. No afélio ocoe o ineso, com a ea em sua meno elociae obital. aiação na elociae obital ente o peiélio e o afélio ale: Δ a p Paa etemina a e p amos utiliza a aiação a enegia cinética: 1 1 Δ K Ka Kp Ma Mp (1) esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

27 ΔK () M a p goa amos aplica o pincípio a conseação o momento angula: L a L p a pa p p p π π p a asen p p psen M M a a p p p p a () a Substituino-se () em (): p p ΔK p a M p ΔK 1 p a M p p a ΔK p a M ( ) ( 1, m ) ( 1,5 10 m) ( ) ( 5,98 10 kg) 11 1,5 10 m 1, J 0.99,5 m/s 4 Substituino-se o alo e p em (): a 11 ( 1, m)( 0.99, 5 m/s) 9.0,571 m/s goa poemos esole (1): 11 ( 1,5 10 m) ( ) ( ) Δ 9.0,571 m/s 0.99, 5 m/s 996, 6861 m/s Δ 996 m/s 69. Suponha que um satélite e comunicações geossíncono esteja em óbita na longitue e Chicago. Você está em Chicago e eseja capta os seus sinais. Em que ieção ocê eeia aponta o eixo a sua antena paabólica? latitue e Chicago é 47,5 o. (Pág. 56) Consiee o seguinte esquema a situação: esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

28 ea Chicago M Equao θ φ 0 x α Fg m Eixo e otação Neste esquema, φ é o ângulo e isaa, acima o hoizonte, que ee se utilizao paa ieciona a antena. Em pimeio luga amos etemina o aio obital o satélite ( O ) po meio a foça centípeta (foça gaitacional) que age sobe o satélite: m F O O m mω O 4π O nálise o ângulo α: O O 1/ ,1 m 4π π α π θ + φ π α θ φ (1) Obseano-se o esquema, poemos nota que: π sen φ senα + Substituino-se (1) em (): O π π sen θ φ sen + φ ( + ) cos θ φ cos φ cosθ cosφ senθsenφ cosφ O O O esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC () 8

29 cosθ senθ tanφ 1 φ tan cotθ O O senθ 6 ( 6,7 10 m) o ( ,1 m ) sen ( 47,5 ) φ ( ) 1 o tan cot 47,5 5, 444 φ 5, 4 antena eeá se apontaa paa 5,4 o acima o hoizonte, na ieção sul. 7. Um satélite meteoológico está em óbita geossíncona, paiano sobe Naiobi, que está situaa bem peto o equao. Se o aio a sua óbita fo aumentao em 1,00 km, a que elociae e em que ieção o seu ponto e efeência, que estaa inicialmente estacionáio, iá se moe sobe a supefície a ea? (Pág. 56) 7. ês estelas iênticas, e massa M, estão localizaas nos étices e um tiângulo eqüiláteo e lao L. que elociae elas eem se moe, peseano o tiângulo eqüiláteo, sabeno-se que toas elas giam sob a influência gaitacional umas as outas, numa óbita cicula cicunscita? (Pág. 56) Consiee o seguinte esquema a situação: M L L F1 FC CM 1 M F1 L M Como o tiângulo fomao pelas estelas 1, e é eqüiláteo, o ângulo θ que apaece no esquema é π/6. Consieano-se a simetia enolia no poblema temos 1. Vamos calcula a foça centípeta o moimento obital a estela 1: F F + F C 1 1 esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

30 Na ieção aial: Mas: Logo: F F cosθ + F C 1 1 cosθ M 1 + L L L M1 L L 1 L 1 L 74. Quanto tempo leaá um cometa, que se moe numa tajetóia paabólica, paa moe-se ese o seu ponto e maio apoximação o Sol, em (eja a Fig. 50), até completa um ângulo e 90 o, meio em elação ao Sol, alcançano B? Suponha que a istância e maio apoximação ao Sol é igual ao aio a óbita a ea, suposta cicula. Consiee o seguinte esquema a situação: Óbita a ea (Pág. 56) B B θ Sol y z x esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

31 componente z o momento angula o cometa, e massa m, quano este passa pelo ponto (L,z ) é igual à componente z o seu momento angula em outo ponto qualque a tajetóia paabólica, como no ponto escito pelo ângulo θ (L z ). L L z,z π Iω p msen Na equação acima, I é o momento e inécia o cometa, ω θ m m t θ t Paa esole (1), pecisamos e uma função e em temos e θ e a elociae o cometa no ponto ( ). elociae poe se calculaa a pati a pincipal caacteística a óbita cicula, que é possui enegia mecânica nula. Ou seja: E K + U 0 1 m Sm 0 S Potanto, no ponto, a elociae o cometa ale: S () função e em temos e θ que pecisamos coespone à equação a paábola, escita em cooenaas polaes: ( 1 cosθ ) + l Na equação acima, l é a istância o foco à paábola, meia ataés e uma linha pepenicula ao eixo. No pesente caso, l B. B Poemos etemina o alo e sabeno que quano θ 0, temos BB : B ( 1 cos0) + Logo a função pocuaa é: ( θ ) 1+ cos θ ( Substituino-se () e () em (1): 4 ( 1+ cosθ ) θ ) B θ ( 1+ cosθ ) π / t S S t t (1) () esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

32 ( + θ) 1 ( + cosθ ) cos senθ t 8 S π / t S ( 1,50 10 m) 11 0 ( )( ) t 9 9 6, N.m /kg 1,99 10 kg S t 110 ias 6 9, s esnick, Halliay, Kane - Física - 4 a E. - LC

33 ESNICK, HLLIDY, KNE, FÍSIC, 5.ED., LC, IO DE JNEIO, 00. FÍSIC CPÍULO 14 - GVIÇÃO EXECÍCIOS POBLEMS esnick, Halliay, Kane - Física - 5 a E. - LC Cap. 14 Gaitação