Aula 05 Mecânica Celeste

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1 Aula 05 Mecânica Celeste Expessão intoduzida po Piee Sion de Laplace ( ) e seu célebe livo Mécanique Celeste ( ) (vide BCE) O conjunto de teoias que contê todas os esultados da gavitação univesal sobe o equilíbio e o oviento dos copos sólidos e fluidos, que copõe o Sistea Sola e os sisteas seelhantes distibuídos na iensidão do cosos, foa a MECÂNICA CELESTE. Oigens da Mecânica Celeste de Laplace: 1. Philosophiae Natualis Pincipia Matheatica (1687) de Isaac Newton. No qual foulou as leis do oviento e a lei da gavitação univesal, deduzindo assi alguas da ais significativas popiedades do oviento planetáio e de satélites.. O sistea Heliocêntico de Nicolau Copénico, as obsevações e expeientos de Galileu, o tabalho eticuloso de Tycho Bahe e finalente o tabalho de Johannes Keple. LEIS DE KEPLER Lei das óbitas elípticas (1609): Os planetas se ove e elipses focadas no Sol. Supondo-se que a assa do Sol M seja uito aio que a assa do planeta. O Sol ocupa o foco F das Elipses, que coo o outo foco (foco vazio) está a ua distância a do cento.

2 Pe Peiélio (posição ais póxia do Sol) Af Afélio (posição ais afastada do Sol) E Excenticidade a sei-eixo aio da elipse CÔNICAS

3 Lei das áeas (1609): Ua linha que liga u planeta ao Sol vae áeas iguais e tepos iguais. Paa vaia áeas iguais e tepos iguais os planetas se ove co velocidade angula constante, isto é, o oento angula L é constante. A taxa instantânea co que a áea está sendo vaida é, então: da dt Onde ω é a velocidade angula. 1 θ 1 d dt ω O oentu angula L do planeta e elação ao Sol é dado po: L p Onde p é a coponente pependicula do Moentu Linea do planeta: p v

4 L p v L ω ( ω) Potanto da dt L E coo L e são constantes: da dt cte ** então a segunda lei de Keple é equivalente a lei de consevação do Moentu Angula. Lei Haônica (1619): A elação ente os cubos dos eixos aioes das elipses e os quadados dos peíodos dos ovientos planetáios é igual paa todos os planetas. A copovação desta últia lei tabé pode se feita a pati das leis de Newton. GRAVITAÇÃO UNIVERSAL F G 1 Onde G 6,67x10-11 N /Kg e no caso de copos não pontuais, utiliza-se o cento de assa do copo.

5 PROPRIEDADES: Pincípio da Supeposição: n F a F i i 1 Vaiação da aceleação gavitacional paa pequenos copos situados na supefície da Tea F a a g G g M T G M T

6 Vaiação típica da aceleação gavitacional co a latitude na supefície da Tea. Há tabé a vaiação co o aio (visto que o núcleo é ais denso). Aplicando a a Lei de Newton paa o planeta e óbita do Sol, teeos: M G F P P S ω Coo velocidade angula e feqüência angula possue a esa expessão: T f π π ω Teos: cte GM T T M G S P P S 3 4 π π

7 A LEI DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Ua das gandes contibuições da ecânica Newtoniana paa a Astonoia foa as leis de consevação do oentu e da enegia. Enegia cinética de u copo e óbita: K 1 p v Enegia potencial gavitacional: U µ P Onde µ G ( M S + P ) é a assa equivalente do sistea de copos constituído pelo Sol e pelo Planeta e óbita. Usando a Lei de consevação da enegia total: 1 µ P 1 µ ET K + U Pv + p v + cte A EQUAÇÃO DE TRAJETÓRIA DO PLANETA M

8 Da segunda lei de Newton: d M G ˆ dt d ( t) M G ( t) 3 dt && + µ 0 Equação difeencial cuja solução é dada po 1 : l ( t) µ l v senθ e 1+ E ( 1+ ecosθ ) l µ T Onde e é a excenticidade, e θ é a outa coponente do sistea (,θ) de coodenadas. Esta é ua equação de ua cônica, e específico da elipse. O sei-eixo aio desta elipse é dado po: 1 ; a p 1 e ; p l µ Onde p é o paâeto de óbita ou tajetóia. ** Coetas e asteóides possue óbitas elípticas de baixa excenticidade ou pode te óbitas paabólicas. 1 Paa detalhes de coo esolve esta equação, vide Syon, Mechanics, cap. 3, pates 3.13 e 3.14.

9 ELEMENTOS ORBITAIS CLÁSSICOS Cinco quantidades independentes chaadas de eleentos obitais são suficientes paa desceve copletaente a diensão, a foa e a oientação de ua óbita. U sexto é necessáio paa localiza o copo, ao longo da tajetóia, nu dado instante. São eles: 1. Sei-eixo aio (a) define a diensão da óbita. Excenticidade (e) define o tipo de óbita 3. Inclinação (I) ângulo ente o oento angula obital e o veso k 4. Longitude do nodo ascendente (Ω) ângulo, no plano fundaental, ente o veso i e a dieção do nodo ascendente; 5. Aguento de peicento (ω) ângulo, no plano da óbita, ente o nodo ascendente e a dieção de peicento. 6. Tepo de passage pelo peicento (T) o instante e que o copo se enconta no peicento. Estes eleentos são válidos tanto paa óbitas heliocênticas coo óbitas geocênticas. Outos dois teos, feqüenteente usados paa desceve u oviento obital são dieto (paa leste) e etógado (paa oeste).

10 SATÉLITES ARTIFICIAIS E TRAJETÓRIAS (exeplo de aplicação da ecânica celeste na Astonáutica) Tês tipos básicos de óbitas de satélites: de baixa altitude, de alta altitude e inteplanetáios. Existe ais de satélites, co váias funções: científica, ilita, counicações, eteoológico, navegacional e de ecusos da Tea. Os satélites estacionáios ou sínconos estão a ua altua de apoxiadaente K, nua óbita cicula equatoial. A anoba de tansfeência de óbita: A foa ais siples de se insei u satélite de alta altitude e sua óbita é colocá-lo nua óbita de baixa altitude e executa ua tansfeência de óbita, sendo a ais cou chaada de tansfeência de Hohann. Consideando duas óbitas ciculaes co-planaes, a tansfeência é feita atavés de ua óbita elíptica duplaente tangente, de sei-eixo aio dado po: a t 1 + µ E a enegia seá: ε t 1 + Assi a velocidade de tansfeência e a velocidade na óbita 1 é espectivaente: v µ / 1 + ε t ; v1 µ / 1 v v v Assi a difeença de velocidade é: 1 Co este acéscio de velocidade o satélite passa de ua óbita eno paa ua aio. (co decéscio, ele passa de ua aio paa ua eno).