Movimentos de satélites geoestacionários: características e aplicações destes satélites

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1 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... Moimentos de satélites geoestacionáios: caacteísticas e aplicações destes satélites Um dos tipos de moimento mais impotantes é o moimento cicula com apidez constante. Esse é o tipo de moimento de, po exemplo, a maioia dos satélites atificiais da ea. Num moimento deste tipo, a magnitude da elocidade é constante ou unifome. Diz-se que é um moimento cicula unifome. Mas, note-se, a elocidade, que é uma gandeza ectoial, tangente à tajectóia, está pemanentemente a aia em diecção. No moimento cicula unifome há, pois, aceleação, apesa da magnitude da elocidade não aia. A aceleação no moimento cicula unifome aponta paa o cento da tajectóia, e é tanto maio quanto mais ápido fo o moimento cicula. Diz-se que a aceleação é centípeta. Como eemos adiante, é possíel calcula a magnitude desta aceleação centípeta, conhecendo a elocidade e o aio da tajectóia cicula. Há centenas de satélites que têm um moimento cicula com uma elocidade tal que faz com que estejam sempe po cima do mesmo ponto da ea. Esses satélites dão uma olta completa à ea em 4 h, exactamente o tempo que a ea demoa a da uma olta em tono do seu eixo de otação. Assim, são istos do mesmo local da ea no mesmo ponto do céu. São, po isso, designados po satélites geoestacionáios. A óbita desses satélites está no plano do equado. As óbitas dos satélites geoestacionáios (ou óbitas geoestacionáias) têm um aio de 4 00 km e são utilizadas paa satélites de comunicações, apesa de estaem tão longe e teem tempos de lactência (isto é, atasos na comunicação) elatiamente gandes (ceca de 0,5 segundos). Sendo istos sempe no mesmo ponto do espaço, as antenas na ea podem aponta apenas paa esse ponto (daí o seem muito utilizados como satélites de comunicações). As óbitas geoestacionáias são um caso paticula das óbitas geosínconas, isto é, óbitas em que o moimento do satélite é tal que na mesma hoa de cada dia é isto da ea exactamente na mesma posição do céu. As óbitas dos satélites do sistema GPS são semi geosínconas: têm um peíodo obital de 1 h, apaecendo no mesmo ponto do céu, istos da ea, duas ezes po dia. O aio destas óbitas semi-geosínconas é km. a Num moimento cicula unifome, a magnitude da elocidade é constante mas a diecção da elocidade está pemanentemente a aia. A aceleação aponta paa o cento da tajectóia (é centípeta). Se este satélite de uma olta à ea em 4 h (exactamente o mesmo tempo que a ea demoa a da uma olta completa em tono do seu eixo de otação), o satélite é isto da ea como estando sempe no mesmo ponto do espaço. Pólo Note Euopa a Este ângulo é descito pelo aio da óbita do satélite e pelo aio da ea exactamente no mesmo intealo de tempo... As óbitas geoestacionáias estão no plano do equado. 1 O aio da ea é km. Quantas ezes é que o aio da óbita de um satélite geoestacionáio é maio que o aio da ea? A óbita da figua acima está à escala? Fundamente a esposta. 3 Quantos minutos demoa um satélite geoestacionáio a da a olta à ea? E quantos segundos? Compae esses aloes com a duação de um dia teeste. 88

2 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... Velocidade angula no moimento cicula unifome Que um satélite geoestacionáio que a ea desceem uma olta de em 4 h. Potanto, podemos dize que o aio da óbita do satélite e o aio da ea odam com uma apidez de 15 gaus po hoa: 4 h 15º /h Esta gandeza física que descee a apidez com que um objecto oda é designada po elocidade angula. (Nota: em igo, a elocidade angula também é um ecto pelo que 15º/h epesenta apenas a magnitude da elocidade angula da ea e do aio da óbita do satélite. A elocidade angula elocidade angula = aponta numa diecção pependicula ao plano de otação.) ângulo descito pelo aio da tajectóia da patícula intealo de tempo decoido w= q Dt w= paa uma olta completa, tem-se A elocidade angula, que se epesenta pela leta gega ómega,, pode se facilmente calculada conhecendo o peíodo de otação (tempo que demoa uma olta completa), paa uma otação unifome: = Po exemplo, se o peíodo fo 10 s, a elocidade angula é /10 s = 36º/s. Já a elocidade angula de um satélite geoestacionáio (e a da ea!) ale, em gaus po segundo, tendo em conta que um dia tem 4 h, que 1 hoa tem 60 minutos e que 1 minuto tem 60 s: = = 0, 004 º/s = 4, 10-3 º /s ( ) s A oda gigante de Londes (London Eye) demoa 30 min a da uma olta completa. Qual é a elocidade angula da oda, em gaus po minutos? E em gaus po segundo? 1 Os gia-discos antigos tinham uma elocidade angula de 33 pm (otações po minuto). Qual é a elocidade angula destes gia-discos, em gaus po segundo? Qual é a elocidade angula, em gaus po segundo, da Estação Espacial Intenacional, que completa 15,77 óbitas num dia, numa óbita apoximadamente cicula a uma altitude de ceca de 400 km? 89

3 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... Velocidade angula em gaus po segundo e em adianos po segundo O gau, ou seja a facção 1/360 de uma olta completa, é uma unidade conencional e não é a unidade de ângulo do Sistema Intenacional de Unidades (SI). (A azão pela qual uma olta completa são tem a e com o facto de na Antiguidade se te consideado que a ea demoaa 360 dias a da uma olta completa ao Sol). A unidade SI de ângulo é o adiano. Um adiano (1 ad) é o ângulo que coesponde a um aco em que o compimento do aco é igual ao compimento do espectio aio. ângulo de 1 adiano: o compimento do aco é igual ao compimento do aio Assim, um ângulo de adianos ( ad) é um ângulo cujo aco tem um compimento que é o dobo do espectio aio. E um ângulo de 3 ad é um ângulo cujo compimento do aco é o tiplo do compimento do aio. O compimento do aco que coesponde a uma olta completa é igual ao peímeto da cicunfeência. O peímeto ale 3, aio = p aio = 6, ,8 ângulo de adianos: o compimento do aco é igual ao dobo do compimento do aio Logo, o aco da olta completa é 6,8 ezes maio que o aio da cicunfeência (em igo, p ezes maio). E, potanto, o ângulo coespondente a um olta completa ale 6,8 adianos. E quantos gaus ale um adiano? Simples: se são 6,8 ad, então 1 ad são 57,3º: = 57, 3º 68, Um aio que ode à apidez de 1 adiano po segundo, 1 ad/s (= 57,3º/s), dá uma olta completa em 6,8 s. E se demoa 10 s a da a olta completa, oda com uma apidez de ângulo de 3 adianos: o compimento do aco é igual ao tiplo do compimento do aio 68, 10 ad s = 0, 68 ad/s Mas se demoa 1 s, a apidez de otação, que é, em gaus/s, = = 30º/ s 1 s ale, em ad/s: = p ad 68,... ad = = 0, 54 ad/s 1 s 1 s Em unidades SI (ad/s), paa moimentos unifomes, a elocidade angula pode se calculada a pati da equação Uma olta completa coesponde a uma otação de 6,8 adianos = p adianos. E uma otação de meia olta a 3,14 ad = p ad. E uma otação de 1/4 de olta a 1,57 ad = p/ ad. 90

4 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... 1 Qual é, em adianos, o ângulo descito pelo aio da óbita de um satélite geoestacionáio em 4 h? A elocidade angula de um satélite geoestacionáio ale, em unidades SI, = 3,14159 ad ( ) s y Fundamente a escita desta equação e obtenha o alo da elocidade angula. 3 Qual é, em adianos, o ângulo descito pelo aio da óbita de um satélite do sistema GPS em 4 h, tendo em conta que o seu peíodo é de 1 h. 4 Calcule a elocidade angula de um satélite do sistema GPS, em unidades SI. Obsee a foto abaixo e os dados da legenda. 5 Qual é a elocidade angula da Estação Espacial Intenacional? 6 Qual é o aio da óbita da Estação Espacial? enha em conta que o aio da ea ale 6400 km. 7 Qual é a distância pecoida pela Estação Espacial numa olta completa? Desenho de atista epesentando a apoximação da nae Júlio Vene à Estação Espacial Intenacional, que está numa óbita apoximadamente cicula a baixa altitude (ceca de 400 km), com uma elocidade de 8000 km/h e com um peíodo de 1,5 h. 91

5 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... Moimento cicula com elocidade de módulo constante e caacteísticas das óbitas dos satélites geoestacionáios O moimento cicula unifome, seja de um satélite seja de qualque outo objecto, é um moimento com aceleação centípeta constante e, potanto, de acodo com a lei fundamental do moimento, com esultante das foças constante, diigida paa o cento da tajectóia. Neste tipo de moimentos, a elocidade tem módulo ou magnitude constante que é dada pelo quociente ente o compi mento da tajectóia cicula e o intealo de tempo espectio, = p onde é o aio da tajectóia e o peíodo do moimento cicula a (tempo que demoa uma olta completa). Po outo lado, imos que a elocidade angula num moi- aio mento cicula é, em unidades SI, dada po Combinando esta equação com a anteio, em, paa a magnitude da elocidade : p p = = = E, como se mosta na página ao lado, a aceleação centí- compimento de uma cicunfeência: p intealo de tempo de uma olta completa: ângulo descito numa olta completa, em adianos: p elocidade angula, em adianos po segundo: w= peta a é é dada po a= Substituindo o alo de, obtém-se: a= a= ( ) a = Esta última equação mosta que: a aceleação centípeta a é diectamente popocional ao aio da tajectóia, mantendo constante a elocidade angula. a aceleação centípeta a é popocional ao quadado da elocidade angula,, mantendo constante o aio da tajectóia (ou seja, duplicando a elocidade angula, quadiplica a aceleação centípeta a; tiplicando, aumenta noe ezes a aceleação centípeta a; etc.). 9 p elocidade (também designada p po elocidade linea ): = aceleação centípeta: a= a = w

6 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... Como calcula a magnitude da aceleação centípeta, a, num moimento cicula unifome? A D a» D t A B B A B B D A distância s ente A e B no intealo de tempo t s AB» s» Dt B a = D A amaelo, dois tiângulos semelhantes poque têm lados pependiculaes dois a dois. Ente tiângulos semelhantes, os espectios lados são popocionais ente si. endo em conta que a distância pecoida ente A e B é o poduto da elocidade pelo tempo decoido, em: Simplificando, e tendo em conta que a aceleação num instante qualque da tajectóia é o quociente ente a aiação de elocidade e o intealo de tempo espectio, quando esse intealo de tempo é muito pequeno, em: D s = D Dt = D = Dt a = O esquema acima mosta como se pode demonsta que a aceleação centípeta a num moimento cicula unifome é dada po a = / em que é a magnitude da elocidade e é o aio da tajectóia. 1 A óbita de um satélite geoestacionáio tem um aio de 400 km. A aceleação a de um satélite geoestacionáio, em unidades SI, pode se deteminada po: æ 3 3, ö èç ø a = Fundamente a equação anteio e obtenha o alo de a. Paa onde aponta a aceleação de um satélite geoestacionáio? E paa onde aponta a foça gaítica no satélite? Qual destas gandezas, aceleação ou foça gaítica, depende da massa do satélite? Fundamente a esposta. 3 Seá possíel coloca um satélite geoestacionáio numa óbita de aio infeio ou supeio a 400 km? Fundamente a esposta. 4 A óbita de um satélite do sistema GPS tem um aio de 600 km e peíodo obital de 1 h. Calcule a aceleação de um satélite do sistema GPS em unidades SI. 5 Dois satélites obitam em óbitas difeentes, um com uma óbita de aio e outo com uma óbita de aio, com o mesmo peíodo. Qual tem maio elocidade angula? Fundamente a esposta, utilizando um esquema e as equações adequadas. 6 Dois satélites obitam em óbitas difeentes, um com uma óbita de aio e outo com uma óbita de aio, com o mesmo peíodo. Qual tem maio aceleação? Fundamente a esposta, utilizando um esquema e as equações adequadas. 7 Dois satélites obitam em óbitas difeentes, ambas com o mesmo aio, mas o peíodo de um é o dobo do peíodo do outo. Relacione a elocidade angula e a aceleação dos dois satélites, fundamentando a esposta, utilizando esquemas e as equações adequadas. 93

7 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... O esquema abaixo mosta como se pode deduzi teoicamente a equação que pemite calcula o aio da óbita dos satélites geoestacionáios, a pati da lei da Gaitação Uniesal, da lei fundamental do moimento e das equações do moimento cicula unifome. enha em conta que: a massa da ea ale 5, kg; a constante de gaitação uniesal, G, ale 6, (em unidades SI); o aio da ea são km; e, clao, não se esqueça do peíodo dos satélites geoestacionáios... 1 Qual é a equação que pemite calcula o aio da óbita de um satélite geoestacionáio? Veifique que o aio dessa óbita é dado po , 10 = 667, 10 3 æ 3, 14159ö èç ø e calcule o espectio alo em metos e em quilómetos. 3 Fundamente os aloes utilizados na equação anteio. 4 Qual é a altitude dos satélites geoestacionáios? O desenho abaixo está à escala? Fundamente a esposta. 5 Descea esumidamente os passos da dedução teóica da equação que pemite calcula o aio da óbita dos satélites geoestacionáios. massa do satélite, m s pela lei fundamental do moimento, tem-se, paa o satélite: F = ms a a F a = w g foça gaítica, a única foça no satélite m ms Fg = G aio massa da ea, m Pólo Note Euopa tendo em conta a lei da Gaitação Uniesal, m ms Fg = G e a equação da aceleação centípeta, em: m ms S = G m simplificando e esolendo em odem ao aio : ms m ms = G 1 m = G æ p ö m G = ç è ø m = G m w = G 3 m = G w ( w ) m = 3 G w 94

8 OK Necessito de ee esta página... Necessito de apoio paa compeende esta página... 6 Calcule a elocidade dos satélites geoestacionáios. 7 Qual é o ângulo ente a elocidade dos satélites geoestacionáios e o aio da tajectóia? Fundamente a esposta. 8 Calcule a aceleação dos satélites geoestacionáios. 9 Qual é o ângulo ente a aceleação dos satélites geoestacionáios e o aio da tajectóia? Fundamente a esposta. 10 A aceleação dos satélites geoestacionáios depende da massa do satélite? Fundamente a esposta. 11 Qual é a azão poque se utilizam óbitas geoestacionáias nos satélites de comunicações? E que desantagem apesentam essas óbitas? A ideia da utilização de óbitas geoestacionáias foi publicada em 198 pelo engenheio esloeno Heman Potocnik, pioneio da astonáutica. Mais tade, em 1945, foam populaizadas pelo escito de diulgação científica Athu C. Clake, ecentemente falecido, auto de inúmeos omances de ficção científica e de diesos pogamas de teleisão. As óbitas geoestacionáias são também conhecidas como óbitas de Clake, em sua homenagem. 95

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