du mn qn( E u B) r dt + r

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1 Aula 7 Nesta aula, continuaemos a discuti o caáte de fluido do plasma, analisando a equação de fluido que ege o movimento do plasma como fluido. 3.2 Equação de Fluido paa o Plasma Vimos no capítulo 2 que a equação de movimento paa uma única patícula sujeita aos campos E e B é dv m = q( E + V ) dt B Agoa considee a seguinte apoximação: que o plasma seja constituído de uma coleção de elementos de fluido e que também possamos despeza os eventos colisionais, assim como o movimento témico das patículas num elemento de fluido com densidade patículas caegadas n, então equação de fluido que ege a dinâmica do elemento de fluido é du mn qn( E u B) dt =

2 , onde u = velocidade média das patículas caegadas contidas num elemento de fluido, que deve se exatamente, a velocidade mais povável do elemento de fluido. Impotante! Obsevação: Na apoximação de fluido, cada elemento de fluido, pode se constituído tanto po íons, elétons ou nêutons, logo deve existi também difeentes equações de fluido paa cada espécie no plasma. Como estamos inteessados em enconta uma equação de fluido paa um sistema de coodenadas fixo, devemos eaanja a expessão 3.2.2, pois tal expessa, leva em conta um sistema de coodenadas que viaja juntamente com a patícula. Paa isso, considee uma gandeza qualque do fluido (paa facilita, vamos considea o poblema unidimensional), então a vaiação tempoal de fixo, deve se G( x, t) G( x, t) neste sistema de coodenadas dg( x, t) G G dx G G u = + = + x dt t x dt t x

3 G O pimeio temo à dieita da igualdade, t epesenta a vaiação tempoal d e G num dado ponto G fixo no espaço e os temos, x e u x epesentam, espectivamente a vaiação espacial de G paa tempos difeentes e a vaiação da posição do elemento de fluido em tempos difeentes. Podemos genealiza o caso acima, paa as 3 dimensões, isto é dg G = + ( u ) G dt t A expessão é chamada de deivada DG convectiva e pode se epesentada po Dt. Note também, que escala que age em G. G (u ) e um opeado Em nosso caso, é a pópia velocidade do elemento de fluido, então podemos eesceve a expessão como u

4 du mn + ( u ) u = qn( E + u B dt ) A expessão é também conhecida como equação de tansfeência de momentum paa elementos de fluido que se movem com velocidade quando sujeita aos campos A pati de agoa iemos adiciona à equação de tansfeência de momentum, os temos elacionados aos eventos colisionais e ao movimento témico que despezamos no início. Começaemos com a adição de um novo temo de densidade de foça à equação de tansfeência de momentum, devido ao movimento témico. Na pesença de movimento témico, o fluido teá uma tempeatua T que daá oigem a foças esultantes da pessão cinética no inteio do fluido. Paa enconta a taxa média de vaiação de momento dos elementos de fluido, vamos considea um cilindo imagináio de compimento l e áea tansvesal A, que contêm o fluido a uma tempeatua T, então E e B. u

5 F mt N Nm = V l i= 1 2 i A expessão indica a foça média execida pelo fluido, constituído de N patículas, sobe as paedes do cilindo imagináio que o contêm. Podemos eesceve a expessão 3.2.5, pois sabemos que num plasma a enegia média das N patículas contidas num elemento de fluido é N m 2 KT Vi = 2 2 i= 1 Substituindo a média acima, na expessão e dividindo o esultado pela áea tansvesal A do cilindo imagináio, encontaemos a pessão execida pelo fluido sob as paedes do cilindo imagináio, isto é P = nkt Deivando a expessão com elação ao compimento do cilindo, encontaemos a seguinte

6 expessão paa a densidade de foça devido ao movimento témico, isto é df mt dl = p Agoa podemos eesceve a equação de tansfeência de momentum da seguinte maneia Impotante! du mn + ( u ) u = qn( E + u B) p dt Obsevação: A expessão é, evidentemente apoximada no que se efee à pessão, pois em 3 dimensões p não é um escala e sim um tenso, dado pela matiz abaixo p p p t P p p p p p p xx xy xz = yx yy yz zx zy zz 3.2.9, onde os elementos de matiz na diagonal pincipal coespondem ao temos elacionados com as foças de tensão que agem no elemento de fluido e os

7 demais temos, foa da diagonal pincipal, são os temos elacionados com as foças de cisalhamento (ou temos de viscosidade). Potando paa o caso mais geal, onde a pessão p é anisotópica, deve se substituído po (poduto diádico) na expessão t P Em paticula, assuminos no início uma distibuição de velocidades que é maxwelliana, então o tenso Stees P t é t P pxx 0 0 = 0 pyy p zz Se o plasma estive sujeito a um campo magnético exteno, podem coexisti no plasma 2 tempeatuas devido às pessões nas dieções paalela e pependicula ao campo magnético, logo o tenso Stees t P é t P p 0 0 // = 0 p// p

8 Paa completa a equação de tansfeência de momentum, vamos adiciona agoa, o temo de densidade de foça elacionado os eventos colisionais. Num plasma, o elemento de fluido constituído de patículas caegadas pode, eventualmente pede momentum em colisões com o elemento de fluido não caegado, isto é, neuto. u 0 u Se u fo a velocidade elativa duante uma colisão, onde 0 é a velocidade do elemento de fluido neuto e sendo τ o tempo médio ente as colisões, podemos enconta um temo paa a densidade de foça esultante destas colisões, isto é mn( u u ) τ Potanto a expessão final paa a equação de tansfeência de momentum, consideação os eventos colisionais (expessão 3.2.9) e o movimento témico (3.2.7) é a expessão

9 du t mn + ( u ) u = qn( E + u B) P dt mn( u u0 ) τ A expessão é um caso paticula, onde a pessão é anisotópica e paa colisões ente elementos de fluido de patículas caegadas e não caegadas. Obsevação: Paa colisões apenas ente elementos de fluido de patículas caegadas, a expessão pode se apoximada po mnvu , onde agoa v é a feqüência de colisão ente os elementos de fluido de patículas caegadas. A expessão é apenas uma das equações que pemite desceve completamente, a apoximação de plasma como fluido. Paa simplificamos o poblema de encontamos um conjunto completo de equações que egem a dinâmica do plasma como fluido, vamos considea um plasma contento apenas íons (i) e elétons (e), então

10 Densidades de caga e coente σ = nq + nq J = n qv + nqv e e i i e e e i i Equações de Maxwell do eletomagnetismo clássico, paa detemina os campos E e B geados pelo plasma, isto é ε 0 E = neqe + nq i i & E = B B = 0 1 & µ o B = neqv e e + nqv i i + ε0e Equação de tansfeência de momentum, paa desceve o movimento do plasma como fluido, isto é du j t mn j j + ( u j ) u = qnj( E+ u j B) P dt, onde o índice j indica i paa íons e e paa elétons.

11 Equações de Estado da Temodinâmica, paa detemina a pessão execida pelo plasma em função da sua densidade, isto é γ p j = Cρ j, C = cons tante pj nj = γ pj nj C p γ = (2 + N) / N = C V, onde o índice j indica i paa íons e e paa elétons, N é o númeo de gaus de libedade de movimento, C p e C V são os caloes específicos a pessão e volume constante. Equação de Continuidade paa Fluidos, paa gaanti a consevação da densidade, isto é n t j + ( nu ) = j j 0, onde o índice j indica i paa íons e e paa elétons. Obseve que neste conjunto completo de equações, temos 18 incógnitas

12 ( ni, ne, pi, pe, ui, ue, E e B ) e exatamente 16 equações (desconsideando as 2 pimeias equações de Maxwell), isto pemite, cetamente enconta os campos E e B geados e desceve o movimento do plasmas como fluido.