PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS RECÍPROCAS

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1 RAÍZES RECÍPROCAS Pof. Macelo Renato Equação Polinomial Recípoca, ou simplesmente "Equação ecípoca", é aquela que, se possui "x " como aiz, então seu ecípoco ("/x ") também seá aiz da equação. Exemplo: A equação polinomial que tem as aízes {2, /2, 2/3 e 3/2} é uma equação ecípoca do 4º gau (4 aízes), pois o ecípoco de 2 é /2 e o ecípoco de 2/3 é 3/2. COMO RECONHECER UMA EQUAÇÃO RECÍPROCA? Chamamos uma equação de RECÍPROCA se e somente se os coeficientes das pacelas eqüidistantes dos extemos, foem iguais ou opostos (sinais tocados), quando odenados segundo as potências decescentes da vaiável. Quando os coeficientes foem iguais, teemos uma equação polinomial ecípoca de ª espécie (ou ª classe) e, quando opostos, teemos uma equação polinomial ecípoca de 2ª espécie (ou 2ª classe). Veja os exemplos abaixo: 2x 4-56x x 2-56x x 3-7x 2-7x x 3-9x 2 + 9x x 5-5x 4 - x 3 + x 2 + 5x Recípoca de ª espécie ou ª classe Recípoca de 2ª espécie ou 2ª classe EQUAÇÕES RECÍPROCAS QUE TÊM x ou x 2 - COMO RAÍZES. É fácil constata que o ecípoco de é o pópio e de - é o pópio -. Potanto, paa uma equação, que tenha ou - como aiz, se ecípoca não pecisa te, necessaiamente, estas aízes duplas. Po exemplo, a equação que tem aízes {, 3/4 e 4/3} é uma equação ecípoca do teceio gau, pois estão pesentes todas as tês aízes juntamente com suas ecípocas (no caso do é ele mesmo). É o caso também da equação do quinto gau que tem as aízes {-, 3, /3, -5/7 e -7/5}. OBSERVAÇÃO : EQUAÇÃO RECÍPROCA DE GRAU ÍMPAR TEM ou como aiz. Como "" e "-" são as únicas aízes de uma equação ecípoca que não pecisam vi acompanhadas de outa ("em paes"), podemos conclui que, se temos uma equação ecípoca de gau ímpa, com ceteza ou - seá aiz desta equação. Seá - se fo de ª espécie e seá se fo de 2ª espécie. PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS RECÍPROCAS GRAU ÍMPAR GRAU PAR de ª ESPÉCIE sempe teá o "-" como aiz nada podemos afima de 2ª ESPÉCIE sempe teá o "" como aiz sempe teá o "" e o "-" como aízes Fonte: Pofesso Caju

2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS () (ITA - 99) Considee as afimações: I - A equação 3x 4-0x 3 + 0x só admite aízes eais. II - Toda equação ecípoca admite um númeo pa de aízes. III - As aízes da equação x 3 + 4x 2-4x são exatamente o dobo das aízes de x 3 + 2x 2 - x Então (A) Apenas I é vedadeia. (B) Apenas II é falsa. (C) Apenas III é vedadeia. (D) Todas são vedadeias. (E) n.d.a. I ) Po se uma equação ecípoca de segunda espécie com gau PAR, com ceteza e - seão aízes. Efetuando Biot-Ruffini paa eduzi o gau, utilizando a aiz "", teemos: Aplicando Biot-Ruffini novamente, no quociente, agoa com a aiz -, teemos: Potanto, as aízes do polinômio em questão são, - e as duas da equação 3x 2-0x + 3 0, que são eais, pois (-0) > 0. VERDADEIRA II) FALSA, pois 6x 3 - x 2 - x + 6 0, po exemplo, é ecípoca e, po te gau ímpa, possui um númeo ímpa de aízes. III) VERDADEIRA, podemos pova isso vendo a soma e o poduto das aízes. Fonte: Pofesso Caju

3 (2) (ITA - 997) Seja S o conjunto de todas as aízes da equação 2x 6-4x 5 + 4x Sobe os elementos de S podemos afima que: (A) Todos são númeos eais. (B) 4 são númeos eais positivos. (C) 4 são númeos eais. (D) 3 são númeos eais positivos e 2 não são eais. (E) 3 são númeos eais negativos. Po se uma equação ecípoca de segunda espécie e de gau PAR, com ceteza e - seão aízes. Vamos aplica o dispositivo pático de Biot-Ruffini paa diminui o gau duas vezes, pimeiamente com a aiz "": Agoa, pegamos o quociente acima e aplicamos novamente com a aiz "-": Potanto, as aízes da equação da questão são, - e as quato do quociente acima, 2x 4-4x 3 + 2x 2-4x Dividindo toda equação 2x 4-4x 3 + 2x 2-4x po x 2 : 2x 2-4x + 2-4/x + 2/x 2 0, Aumando as pacelas: 2x 2 + 2/x 2-4x - 4/x Colocando em evidência: 2(x 2 + /x 2 ) - 4(x + /x) Substituindo () x + /x t, e conseqüentemente x 2 + /x 2 po t 2-2, teemos: 2(t 2-2) - 4(t) t t t 2-4t Aplicando Báscaa, teemos: t' + e t'' - Desenvolvendo (): () x + /x t x 2 - tx + 0 Esta equação só teá aízes eais se 0. Calculando delta, teemos: t (2) t -2 ou t 2 (3) Os valoes encontados são: t' + 2,4 e t'' - 0,6 Ou seja, t' (po se maio que 2, satisfazendo (3)) iá nos etona duas aízes eais, e t'' (po não satisfaze nem (2) nem (3)) duas aízes não eais. Como já sabemos duas aízes eais ( e -), a esposta C fecha dieitinho com a situação. Fonte: Pofesso Caju

4 (3) (ITA - 998) Seja a um númeo eal tal que o polinômio p(x) x 6 + 2x 5 + ax 4 - ax 2-2x - admite apenas aízes eais. Então: (A) a [2, [ (B) a [-, ] (C) a ]-, -7] (D) a [-2, -[ (E) a ], 2 [ Po se uma equação ecípoca de segunda espécie e de gau PAR, com ceteza e - seão aízes. Vamos aplica o dispositivo pático de Biot-Ruffini e abaixa o gau duas vezes. Pimeiamente com a aiz "": Novamente, agoa com a aiz "-": Agoa, as póximas aízes dependem do valo de "a". Seão as aízes da equação x 4 + 2x 3 + (+a)x 2 + 2x + 0. É uma equação ecípoca do quato gau, vamos esolvê-la utilizando o método usual. Dividindo po x 2 : x 2 + 2x + (+a) + 2/x + /x 2 0 Aumando as pacelas: x 2 + /x 2 + 2x + 2/x + (+a) 0 Colocando em evidência: x 2 + /x 2 + 2(x + /x) + (+a) 0 Substituindo () x + /x t, e conseqüentemente x 2 + /x 2 po t 2-2, teemos: t t + (+a) 0 t 2 + 2t - + a 0 (2) Aplicando Báscaa em (2), teemos: (3) (4) É óbvio que "t" deve se um valo eal, paa que em () achemos valoes de x eais. Potanto, (2- a) 0 ou a 2 (5). Mas, de (), tiamos que (6) t -2 ou t 2 (7) Paa acha o intevalo vedadeio paa a esposta, devemos utiliza (3) com (6), (3) com (7), (4) com (6) e (4) com (7). Vamos ve (3) com (7): Como temos os dois lados da inequação, com ceteza, positivos, podemos elevá-los ao quadado: Eliminando todas altenativas, exceto a "C". Fonte: Pofesso Caju

5 (4) (ITA - 999) A equação polinomial p(x) 0 de coeficientes eais e gau 6 é ecípoca de 2 a espécie e admite i como aiz. (A) 0 (B) 8 (C) 6 (D) 2 (E) Se p(2) -05/8 e p(-2)255/8, então a soma de todas as aízes de p(x) é igual a: Sendo uma equação ecípoca de segunda espécie com gau pa (6 o gau) com ceteza teá as aízes e -. O execício nos diz que "i" é uma aiz, potanto, seu conjugado "-i" também seá aiz da equação. Po se um polinômio ecípoco, as duas aízes que falta descobi são ecípocas, ou seja, uma seá "" e outa seá "/". Fatoando o polinômio com as infomações que temos, teemos: P ( x ) a.( x ).( x + ).( x i ).( x + i ).( x ).( x ) Confome a fatoação acima, a soma de todas as aízes (pegunta da questão) seá igual a potanto, pecisamos enconta, pimeiamente, o valo de Aumando, teemos: P ( x ) a.( x ).( x + ).[ x ( + ) x + ] +, 4 P ( x ) a.( x 2 ).[ x ( + ) x + ] Substituindo as infomações dadas, P ( 2 ) 05 / 8 e P ( 2 ) 255 / 8, teemos: a.( 2 ).[ 2 ( + ).2 + ] a.[( 2 ) ].[( 2 ) ( + ).( 2 ) + ] 8 Fazendo-se k +, aumando as equações a.(5 ).( 5 a.(5 ).( 5 2.k ) + 2.k )... ( )... ( 2 ) Efetuando-se ( 2 ) : ( ), teemos: k 5 2 k k k 20 k 20 k 23 6 Assim, como k +, a soma de todas as aízes da equação dada é igual a 6. (altenativa C) Fonte: Pofesso Caju