Fundamentos da Eletrostática Aula 14 Expansão Multipolar I

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1 Funamentos a Eletostática Aula 14 Expansão Multipola I Pof. Alex G. Dias Pof. Alysson F. Feai O Campo Elético istante e uma istibuição e caga Em váias ocasiões este cuso, após calcula o campo e/ou o potencial elético e uma istibuição e caga, você foi conviao a investiga como se compota sua esposta a uma istância muito gane as cagas fontes o poblema. Assim, po exemplo, paa o campo elético e um anel e caga e aio R e ensiae linea e caga constante λ, sobe o eixo e simetia o anel, você encontou a esposta, E = λr z λr 1 ε 0 (z + R 3/ẑ = ) ε 0 z (1 + ( ) R ) 3/ ẑ. z Supono z R, tomano R z 0 temos E λr 1 (λπr) 1 ε 0 zẑ = z ẑ = Q total 1 z ẑ, ou seja, a uma istância muito gane, o campo elético é apoximaamente o e uma caga pontual com a caga total a istibuição que consieamos. O que acontece, agoa, se a istibuição tem caga total nula? Consiee po exemplo a seguinte situação: temos ois copos caegaos com caga +q e q situaos a uma istância um o outo. Qual o campo elético geao pelas cagas no ponto a gua? NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 1

2 veemos mais aiante), Pelo aciocínio anteio, se é muito gane (mais pecisamente: eve vale, E Q total ˆ = 0, ), já que Q total = +q q. Este esultao não eixa e te um ceto sentio (como mas cetamente não é muito infomativo. Anal, pela gua, o campo elético em cetamente não poe se exatamente zeo, já que a istância e ao copo caegao positivamente é claamente meno que a istância ao copo caegao negativamente. Existe algum métoo mais aequao paa tata este tipo e situação? Existe, e um fato, uma metoologia geal chamaa e expansão multipola que iemos aplica paa o campo Eletostático. Nesta aula, vamos começa com alguns casos bastante simples, paa ganha alguma iéia o métoo. Na póxima aula, este seá iscutio em toa sua genealiae, e exemplos mais inteessantes seão aos. O ipolo elético Consieemos a seguinte situação: uas cagas pontuais, e mesmo móulo e sinais opostos, encontam-se sepaaas po uma istância. A tal sistema chamaemos e um ipolo físico (iscutiemos este nome mais aiante). Nos peguntamos sobe o potencial elético geao pelas cagas num ponto bastante istante, ou seja, paa. Po simpliciae, escolhemos um efeencial como na gua. Neste caso, pelo pincípio a supeposição, temos ϕ () = 1 [ q q ] +, one + e são, espectivamente, as istâncias e até a caga +q e q. Consiee agoa o tiângulo fomao pelas cagas e pelo ponto, iviio como na gua abaixo. O ângulo θ é o ângulo ente ˆ e o eixo os z, ou seja, é o ângulo θ as cooenaas polaes esféicas. NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 3

3 Vamos agoa usa o fato que e esconsiea, nas expessões ( ), acima, os temos popocionais a ( que são muito menoes que ). Além isso, calculamos 1 e 1 expanino os enominaoes + até pimeia oem em ( ), ou seja, [ ( 1 ]1 1 ) [ ( ) ] temos Aplicano a lei os cossenos em caa um os tiângulos a gua, + = + = [ ( ) ( ( ) ) ( ( ) = + ( ) = + + = [ ( ) + ) ] ( ) cos (π θ) ( ) ] e potanto, [ ( 1 ]1 1 + ) ϕ () = [ 1 1 q [ 1 1 ] + q. ( ) ] Note que o potencial encontao não é constante, o que sinaliza que o campo elético E = ϕ não é zeo. De fato, poemos enconta o campo elético calculano o gaiente, em esféicas, a NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 4 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 5

4 expessão anteio: E = ϕ () = ϕ ˆ 1 ϕ θ ˆθ 1 ϕ sin θ φ ˆφ q [ ˆ 3 sin θ ] ˆθ 3 = q ( 1 ˆ + sin θˆθ) 3. Lembe-se, este é o campo apoximao geao pelo sistema consieao. abaixo, à esquea. As linhas e campo coesponentes apaecem na gua As linhas e campo eais apaecem à ieita. Claamente, ambos os campos são muito paecios se obsevaos a uma istância muito gane, ou se é muito pequeno (anal, a única suposição a nossa apoximação foi que 1). isso, obsevamos que a apoximação ϕ () 1 q tona-se uma igualae no limite em que aconteça paa qualque, tem que se Paa que isso Agoa tomano simplesmente 0 na equação acima, teíamos ϕ 0. É peciso, potanto, toma um limite em que 0 e q ao mesmo tempo, e e foma que q = constante = p. cagas esceve um ipolo elético ieal com potencial ϕ ipolo () = 1 p. O numeao poe se escito como p = pẑ ˆ, Tal limite o sistema e uas o que nos motiva a eni o veto momento e ipolo elético como p = pẑ = qẑ. Neste caso, o potencial esceve-se, O campo a esquea é o campo elético e um ipolo elético, seno o ipolo elético uma iealização o ipolo físico. Paa entene ϕ ipolo () = 1 p ˆ (potencial e um ipolo na oigem) NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 6 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 7

5 O campo elético poe se escito e foma simila, emboa a emonstação não seja tão fácil. Pecisamos nos lemba que ˆ = sin θ cos φˆx + sin θ sin φŷ + ẑ, ˆθ = cos φˆx + sin φŷ sin θẑ, E ipolo () = 1 [3 (p ˆ) ˆ p] 3 (campo elético e um ipolo na oigem) e potanto p ˆ + p sin θˆθ =p (sin θ cos φˆx + sin θ sin φŷ + ẑ) + p sin θ ( cos φˆx + sin φŷ sin θẑ) = ˆx (3p sin θ cos φ) + ŷ (3p sin θ sin φ) + ẑ ( p cos θ p sin θ ). Reescevemos o último paêntesis como ( 3p cos θ p cos θ p sin θ ) = ( 3p cos θ p ) p ˆ + p sin θˆθ =3p (sin θ cos φˆx + sin θ sin φŷ + ẑ) pẑ. Neste ponto, etonamos à pegunta que iniciou esta aula. Num caso como o o ipolo elético, temos Q total = 0 e, potanto, usano nosso insight e exemplos anteioes, concluíamos que o campo elético muito longe a istibuição ea ao po E 0. Agoa enamos nossa conclusão: muito longe o sistema, E não é zeo, mas cai como E 1 3. Este campo elético é muito mais faco o que o e uma caga pontual, que cai com E 1.. Genealizano o que encontamos paa o ipolo físico, poemos ama que o campo elético e uma istibuição e cagas positivas e negativas, tal que Q total = 0, cai a zeo mais apiamente confome nos istanciamos as cagas o que uma istibuição com Q total 0. O esultao não é supeenente, e é o pimeio passo paa a metoologia geal a expansão em multipolos, póxima aula. que veemos na Agoa, pẑ = p e 3p = 3 (pẑ) (ˆ), logo p ˆ + p sin θˆθ =3 (p ˆ) ˆ p e potanto: NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 8 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 9

6 O Momento e Dipolo Elético: genealização gas é apoximaamente ao po ϕ () 1 p ˆ = aq z + 3y 3, Poemos genealiza a enição e momento e ipolo elético a seguinte foma: ao um conjunto e cagas pontuais q i localizaas nos pontos i, escevemos o momento e ipolo associao a tal sistema como p = q i i. i paa pontos muito istantes as cagas. Você poe obte este mesmo esultao à foça buta, calculano o potencial num ponto e expanino os enominaoes 1/ supono que a/ 1. Esta enição se esume à anteio, no caso paticula que consieamos, já que ( ) ( p = (+q ) + ( q) ) = qẑ. ẑ ẑ Consiee agoa um conjunto e cagas como na gua. Novamente, Q total = 0, enquanto que o momento e ipolo elético é ao po p = ( 4q) ( aŷ) + ( q) (aŷ) + (3q) (aẑ) + q ( aẑ) =aqẑ + 3aqŷ. O potencial elético geao po estas ca- NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 10 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 11

7 O Quaupolo Elético Vamos agoa consiea uma situação como na gua, e ois ipolos físicos colocaos muito póximos a oigem, tais que os momentos e ipolo elético associao sejam antipaalelos. O conjunto e cagas continua teno caga total nula. Pelo pincípio e supeposição, se consieamos o potencial elético os ipolos num ponto muito istante, temos ϕ 1 ˆ p + 1 ˆ ( p) = 0. Repete-se a situação o início a aula: em nossa apoximação, o potencial elético é constante e igual a zeo paa pontos istantes a istibuição e caga, que agoa satisfaz Q total = 0 e p total = 0. Isto não signica que o potencial e/ou o campo elético sejam exatamente nulos em (não são), apenas que são muito menoes o que os coesponentes a uma caga pontual ou a um ipolo elético. paa pontos sucientemente istantes a istibuição. Num limite apopiao, a istibuição e quato cagas consieaa ene um quaupolo elético. Poemos continua imaginano agoa ois quaupolos colocaos lao a lao póximos a oigem, e esta istibuição fomaá um octupolo elético, que possui um potencial que cai como ϕ 1 4, e assim po iante. Existe toa uma hieaquia e multipolos eléticos, seno que o potencial e o campo evio a caa um eles cai muito mais apiamente, paa gane, o que o anteio. O que vamos iscuti na póxima aula é o fato e que qualque istibuição e cagas, e não apenas os exemplos muito especícos que iscutimos aqui, poem se apoximaos po estes multipolos. Esta é a chamaa expansão multipola. Na póxima aula vamos escobi que o potencial a istibuição e cagas consieaa, paa gane, cai como ϕ 1 3, o que signica po sua vez que E 1 4. Tal potencial seá chamao e potencial o quaupolo elético, e ele apoxima o potencial e qualque istibuição e caga que tenha Q total = 0 e p total = 0, NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 1 NH801 - Funamentos a Eletostática - 009t1 13