Dinâmica de Gases. Capítulo 10 Escoamento cônico

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1 Dinâmica e Gases Capítulo 10 Escoamento cônico 1

2 10.1 Intoução Cones são fequentemente empegaos na aeoinâmica e mísseis supesônicos, ifusoes e aviões supesônicos e expeimentos e pesquisa sobe os escoamentos supe e hipesônicos.

3 10.1 Intoução Seá aboaa a solução exata não-linea paa um caso especial egeneao e escoamento tiimensional: o escoamento supesônico axissimético sobe um cone pontiaguo com ângulo e ataque nulo em elação ao escoamento live. 3

4 10.1 Intoução Po inspeção, obseva-se que o campo e escoamento eve se simético em elação ao eixo z, isto é, toas as popieaes evem se inepenentes φ o ângulo : φ 0 O escoamento epene apenas e e z. 4

5 10.1 Intoução Tal escoamento é chamao e escoamento axissimético e ocoe no espaço tiimensional. Contuo, como existem apenas uas vaiáveis inepenentes ( e z), tal escoamento é po vezes chamao e escoamento quase-biimensional. 5

6 10.1 Intoução Neste capítulo seá estuao o caso e um cone cicula eto em um escoamento supesônico. A impotância este caso se eve ao fato e que: As equações o movimento poem se esolvias exatamente paa este caso. O escoamento supesônico sobe um cone é e gane impotância pática na aeoinâmica: muitos mísseis e alta velociae e aviões supesônicos possuem elementos apoximaamente cônicos. 6

7 10.1 Intoução A pimeia solução o escoamento supesônico sobe um cone foi obtio em 199 po A. Busemann. Esta solução ea essencialmente gáfica e mostava alguns os fenômenos físicos mais impotantes. Em 1933, G. I. Taylo e J. W. Maccoll eapesentaam uma solução numéica, que é um maco na evolução o estuo e escoamentos compessíveis. Neste caso, o estuo o escoamento cônico apesenta também impotância históica. 7

8 10.1 Intoução 8

9 10. Aspectos físicos o escoamento cônico Consiee um cone semi-infinito com semi-ângulo c. Consieano-se que o cone esteja em um escoamento supesônico, então haveá a fomação e uma ona e choque oblíqua a pati o vétice o cone. O fomato a ona e choque também eve se cônico. 9

10 10. Aspectos físicos o escoamento cônico Uma linha e coente a egião o escoamento supesônico live é efletia ao atavessa o choque, cuvano-se continuamente a jusante o choque, tonano-se assintoticamente paalela à supefície o cone. Como o cone é semi-infinito, a pessão poe se assumia constante ao longo a supefície o cone, bem como as emais popieaes. 10

11 10. Aspectos físicos o escoamento cônico O escoamento cônico, este moo, apesenta como caacteística o fato e que toas as popieaes o escoamento são constantes ao longo e aios a pati e um ao vétice. 11

12 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Consiee os sistemas e cooenaas catesiano e esféico sobepostos. O eixo z é o eixo e simetia paa o cone cicula eto e é oientaa na ieção z. 1

13 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Lembano-se que no caso e um escoamento cônico axissimético φ 0 0 ou seja, as popieaes são inepenentes e φ e são constantes ao longo e um aio a pati o vétice. 13

14 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Equação a continuiae em egime pemanente: ρ = ( ) 0 Em cooenaas esféicas ρ = 1 sin ( ) 1 = φ 1 sin ( ρ ) + ( ρ sin ) + ( ρ ) 0 φ 14

15 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Avaliano-se as eivaas e aplicano-se as conições e escoamento cônico axissimético: ( ρ ) ( ρ ) 1 ( ρ ) 1 1 ( ) cos sin + = + ρ + ρ + sin sin φ 0 ρ + ρ cot + 1 ρ + ρ = 0 ρ ρ + ρ cot + ρ + = 0 15

16 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) No escoamento cônico, como a ona e choque é eta, tem-se que o aumento e entopia atavés e too o choque é o mesmo paa toas as linhas e coente. Tem-se, assim, que paa um escoamento cônico s = 0. Além isso, pelo fato e o escoamento se aiabático e em egime pemanente, tem-se h 0 = 0. 16

17 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Empegano-se o teoema e Cocco, obseva-se que o escoamento cônico é iotacional. Neste caso, tem-se então que = 1 sin eˆ eˆ ( sin ) φ = ( sin ) eˆ φ φ 0 17

18 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Expanino-se a elação anteio = + = ( sin ) ( ) ( sin ) ( ) ( sin ) eˆ ( ) ( ) 0 eˆ 1 sin eˆ φ φ φ φ φ 18

19 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Aplicano as conições e escoamento cônico axissimético, a equação anteio obtém-se = que é a conição e iotacionaliae paa o escoamento cônico axissimético. 19

20 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Como o escoamento é iotacional, poem-se empega as equações e Eule: one: Assim, p p = ρ = + ( + ) = ρ 0

21 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Lembano-se que em um escoamento isentópico Tem-se que: ρ ρ p ρ = 1 a p ρ s = a ( + ) 1

22 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Definino-se, então, uma nova velociae e efeência ( max ) E, esta foma, h 0 = const = h + = a + γ 1 = max max

23 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Da elação anteio, γ 1( ) γ 1( a = ) max = max que, substituía na equação e Eule, fonece ρ ρ = γ 1 + max Esta equação é a equação e Eule paa escoamentos cônicos. 3

24 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) A pati a equação a continuiae, temse que: ρ + cot + + = ρ Da equação e Eule paa escoamentos cônicos, ρ = ρ γ 1 + max 0 4

25 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Utilizano-se as uas elações anteioes, em conjunto ao esultao o teoema e Cocco, obtém-se a equação e Taylo- Maccoll paa escoamentos cônicos: 0 cot 1 max = γ

26 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) O valo e é ao po = Não existe uma solução analítica paa a equação e Taylo-Maccoll. Seno assim, eve-se esolvê-la numeicamente. Neste caso, efine-se a velociae aimensional max 6

27 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) Neste caso, a equação e Taylo-Maccoll assume a foma 0 cot 1 1 = γ

28 10.3 Fomulação quantitativa (seguno Taylo e Maccoll) A velociae aimensional poe se escita como função o númeo e Mach. Isto poe se visto a pati a equação a consevação a enegia, foneceno max = 1 ( γ ) M

29 10.4 Poceimento numéico Paa a solução numéica o escoamento supesônico sobe um cone cicula eto, seá empegaa a aboagem invesa, que consiste em, aa uma ona e choque, calcula o cone que a povocaia. (No caso a aboagem ieta, o cone é fonecio, enquanto a ona e choque e o escoamento são calculaos). 9

30 10.4 Poceimento numéico O poceimento numéico é o seguinte: Assume-se um ângulo s ente a ona e choque e o veto que epesenta o númeo e Mach o escoamento live. Neste caso, o númeo e Mach após o choque e o ângulo e eflexão são, espectivamente, M e δ. 30

31 Poceimento numéico A pati e M e δ, obtém-se as componentes nomal e aial a velociae, e, atás a ona e choque. Empegano-se o valo e, ietamente após o choque, eve-se esolve a equação em passos e, atavés o choque. Nesse caso, o escoamento é iviio em incementos e ângulo. 0 cot 1 1 = γ

32 10.4 Poceimento numéico Paa caa incemento em, o valo e é calculao atavés e = Paa algum valo e, chamao c, te-se-á que = 0. Como a componente nomal a velociae em uma supefície impemeável é zeo, tem-se que quano = 0 em = c, o valo e c epesenta a supefície o cone que povoca o choque. 3

33 10.4 Poceimento numéico Atavés o pocesso apesentao pelos passos anteioes, obtém-se o campo completo e velociaes o escoamento ente o choque e o copo que o povoca. As popieaes temoinâmicas após o choque poem se obtias atavés as elações isentópicas. Caso um valo ifeente e M e/ou e s seja utilizao, um campo e escoamento e um cone ifeente seão obtios. 33

34 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones Paa aos valoes o ângulo e cone c e e númeo e Mach M, existem uas onas e choque possíveis: a fote e a faca. A solução faca é quase sempe a obsevaa em cones eais finitos; contuo, poe-se inuzi a ona fote atavés o aumento inepenente a pessão na egião póxima à base o cone. 34

35 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones 35

36 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones Existe um ângulo e cone máximo a pati o qual a ona e choque tona-se estacaa. 36

37 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones Compaano-se o escoamento sobe cunhas (biimensional) com o sobe cones (tiimensional), obseva-se que a imensão exta confee ao escoamento a possibiliae e uma maio expansão. Assim, a ona e choque em um cone com um ao ângulo é mais faca que o choque obsevao paa uma cunha com mesmo ângulo. Deste moo, o ângulo máximo e cone amissível paa choque não-estacao é maio que o veificao 37 paa cunhas.

38 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones 38

39 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones As linhas e coente ente a ona e choque e a supefície o cone são cuvas, teneno assintoticamente a seem paalelas à supefície o cone. Na maioia os casos, o campo e escoamentos completo ente o choque e o cone é supesônico. No entanto, se o ângulo o cone é gane o suficiente, mas meno que c max, poem have casos em que o escoamento tona-se subsônico póximo à supefície. 39

40 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones Nesse caso, tem-se um os poucos casos em que o escoamento é ealmente compimio isentopicamente e uma velociae supesônica paa uma velociae subsônica. Nesse caso, a tansição ente os escoamentos ocoe sem a fomação e uma ona e choque. 40

41 10.5 Aspectos físicos o escoamento sobe cones 41