3 Torção Introdução Análise Elástica de Elementos Submetidos à Torção Elementos de Seções Circulares

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1 3 oção 3.1. Intodução pimeia tentativa de se soluciona poblemas de toção em peças homogêneas de seção cicula data do século XVIII, mais pecisamente em 1784 com Coulomb. Este cientista ciou um dispositivo paa medi a elação ente cagas eléticas e foças magnéticas, que consistia simplesmente num fio suspenso com uma agulha metálica. Ele veificou que uma pequena foça magnética na extemidade do fio causava uma toção e uma otação angula no mesmo (Hsu, 1984). Os poblemas de toção analisados segundo as teoias elástico-lineaes da esistência dos mateiais dividem-se basicamente em: vigas com seções ciculaes, vigas com seções não ciculaes e vigas com seções vazadas de paedes finas. Quando um eixo, sólido ou tubula de uma viga com seção cicula, estive submetido à toção, cada seção tansvesal pemanece plana e gia em tono do eixo desse elemento. Po outo lado, as seções tansvesais de uma viga de seção etangula ficam distocidas quando essa baa é tocida em tono do seu eixo. 3.. nálise Elástica de Elementos Submetidos à oção Elementos de Seções Ciculaes análise de toção em vigas de seções ciculaes eque a consideação das seguintes hipóteses paa sua fomulação: as seções ciculaes pemanecem ciculaes depois da toção, e o eixo da viga pemanece eto e inextensível; cada seção tansvesal pemanece plana e pependicula ao eixo, sem apesenta qualque tipo de empenamento após a toção da seção;

2 oção 43 as linhas adiais pemanecem etas e adiais à medida que a seção tansvesal gia em tono do eixo longitudinal da viga; admite-se o egime elástico linea do mateial (lei de Hooke); admite-se o egime de pequenas defomações, e que mateial seja homogêneo e isótopo. Seja uma viga com seção tansvesal cicula com aio e com uma extemidade engastada e outa live. plicando-se um momento toço em sua extemidade live, o seu eixo gia apesentando uma otação ao longo da viga, esultando num ângulo de toção φ (Figua 3.1). φ( z) + φ ( z) φ dz z Figua 3.1 Defomação em uma viga com seção cicula solicitada à toção. onde Consideando-se o elemento de compimento dz (Figua 3.) tem-se: dz elemento difeencial ao longo do eixo longitudinal; d φ elemento difeencial angula. tgγ (3.1) dz d φ φ ( z) γ φ ( z) dz z Figua 3. Elemento longitudinal de uma viga com seção cicula submetida à toção. Como γ é pequeno tem-se que: eescevendo-se a expessão 3.1: γ tgγ (3.)

3 oção 44 γ (3.3) dz onde γ é a distoção na seção tansvesal de abscissa z numa distância do eixo da peça. dmitindo-se que as seções não empenem, ou seja, as seções pemanecem planas, pode-se aplica lei de Hooke paa se detemina a tensão de cisalhamento: ( ) Gγ onde G é o módulo de defomação tansvesal. τ (3.4) distibuição da tensão cisalhante vaia de foma linea desde o eixo da viga até a sua face extena (Figua 3.3), então: τ ( ) τ máx (3.5) τ máx τ () τ ().d d Figua 3.3 Distibuição da tensão cisalhante na seção cicula. donde Consideando-se o equilíbio de uma seção elementa de áea d tem-se: d τ ( )d (3.6) Substituindo-se a expessão 3.5 na expessão 3.6 tem-se: Manipulando-se a expessão 3.7 segue-se: Integando-se a expessão 3.8 tem-se: d τ máx d (3.7) d τ máx d (3.8) τ máx d (3.9)

4 oção 45 máx τ d (3.1) O momento pola J t paa seções ciculaes é dado po: ou J t d (3.11) Substituindo-se a expessão 3.11 na expessão 3.1 tem-se: τ Jt máx (3.1) τ máx (3.13) J t 3... Elementos com Seções etangulaes fomulação desenvolvida no item anteio é aplicável apenas paa o cálculo de tensões e defomações em vigas de seção cicula. Nas vigas com seção tansvesal etangula submetidas à toção as seções tansvesais empenam (Figua 3.4). Figua 3.4 Empenamento das seções de viga com seção etangula. O desenvolvimento da teoia de toção em viga com seção genéica devese a Baé de Saint-Venant, que em 1853 apesentou sua famosa memóia sobe toção à cademia Fancesa de Ciências. Numa viga com seção cicula a tensão cisalhante vaia de foma linea a pati do cento da seção, atingindo seu valo máximo na face extena da peça. Paa vigas com seção tansvesal etangula a tensão tangencial nos vétices desses elementos é nula. O seu valo máximo ocoe no meio do lado maio, que é o ponto exteno mais póximo do cento da peça (Figua 3.5).

5 oção 46 τ B B y τ τ máx B x Figua 3.5 Distibuição da tensão cisalhante devida à toção em seções etangulaes. tensão cisalhante máxima em vigas com seção etangula submetidas à toção é dada po: onde η y x onde: momento toço solicitante; τ máx (3.14) η y x constante adimensional obtida po meio da solução da teoia da elasticidade; lado maio do etângulo; lado meno do etângulo. O ângulo de toção em elementos com seção etangula é dado po: L φ (3.15) G J 3 J β yx (3.16) sendo β uma constante adimensional e L o compimento do elemento. Os valoes de η e β são apesentados na abela 3.1. Esses valoes são válidos apenas paa y x 1.

6 oção 47 abela 3.1 Valoes de η e β. y x 1 1,5 1,75, η,8,31,39,46,58,67,8,98,37,31,333 β,141,196,14,9,49,63,81,98,37,31,333 Pandt em 193 apesentou uma fomulação matemática paa a solução de poblemas de toção utilizando a analogia da membana. Este modelo estabelece elações paticulaes ente a supefície defomada de uma membana sob caegamento unifomemente distibuído, e a distibuição de tensões em seções submetidas à toção oção em Elementos de Paede Fina Bedt em 1896 solucionou o poblema de toção em vigas com seções vazadas de paedes finas. Esta fomulação é a base paa a esolução de poblemas em vigas de conceto estutual solicitados à toção. Po meio da consideação de hipóteses simplificadoas o poblema de toção em seções de paedes finas pode se esolvido de modo imediato. Estas hipóteses são: o elemento é cilíndico com seção tansvesal constante ao longo do seu compimento; a seção tansvesal é fechada; a espessua da paede quando compaada às dimensões da seção tansvesal é pequena; as seções pemanecem planas após as defomações, logo não empenam; admite-se o egime elástico linea (lei de Hooke); admite-se o egime de pequenas defomações, e que o mateial seja homogêneo e isótopo ª Fómula de Bedt Figua 3.6 apesenta um elemento de paede fina submetida à toção. O equilíbio deste elemento é dado pela expessão 3.17:

7 oção 48 dτ dt τ t x + τ + t + s x (3.17) dt t + s dτ τ + s q s O i x t d x Figua 3.6 Seção vazada de paede fina submetida a um momento toço. Expandindo-se e manipulando-se a expessão 3.17: dt dτ dτ dt τ + t s + ( s) (3.18) Despezando-se os temos de odem supeio dessa expessão tem-se: dt dτ τ + t (3.19) Veifica-se que expessão 3.19 é a difeencial de: ( τ t ) d (3.) Definindo-se o fluxo de tensões tangenciais po: q τ t (3.1) Substituindo-se a expessão 3.1 na expessão 3. esulta: dq (3.) Conclui-se que o fluxo de tensões cisalhantes é constante ao longo das paedes desse tubo. O momento toço solicitante deve se equilibado pelas ações intenas esistentes, ou seja, pela integal do poduto vetoial ente o veto e o fluxo de tensões tangenciais ao longo da seção do tubo, logo: i ( τ t ) (3.3)

8 oção 49 Substituindo-se a expessão 3.1 na expessão 3.3: i q (3.4) O poduto vetoial ente dois vetoes esulta num veto axial pependicula a estes. O módulo deste veto esultante é igual à áea do paalelogamo cujos lados são esses dois vetoes. O módulo do poduto vetoial é igual a duas vezes a áea d indicada na Figua 3.6, e o veto esultante pependicula ao plano da seção é o veto efeente às ações intenas. O somatóio dessas ações intenas é dado po: i (3.5) integal fechada na expessão 3.5 indica que essas áeas elementaes devem se somadas ao longo da coodenada setoial s, logo: i ( τ t ) onde é a áea definida pela linha média do tubo. Isolando-se a tensão tangencial na expessão 3.6: (3.6) i τ (3.7) t Substituindo-se a expessão do fluxo de tensões tangenciais na expessão 3.7 e isolando-o tem-se: q (3.8) s expessões 3.7 e 3.8 são denominadas 1ª fómula de Bedt. Esta fomulação mosta que o fluxo de tensões tangenciais se desenvolve ao longo das paedes das seções. Como o fluxo é constante, se a espessua da paede vaia a tensão tangencial também vaia ª Fómula de Bedt Essa fómula pode se deduzida po meios enegéticos, desde que se admita um compotamento elástico linea paa o mateial. Paa a enegia potencial de defomação unitáia devida ao cisalhamento puo tem-se: com o volume elementa dw dv IN 1 τ (3.9) G dv t dx (3.3)

9 oção 5 Substituindo-se a expessão 3.3 na expessão 3.9 tem-se: dw IN 1 τ t dx (3.31) G Integando-se em ambos os lados dessa expessão esulta: W IN 1 l τ t dx G (3.3) O tabalho exteno de uma viga submetida à toção no egime elástico linea é dado po: onde φ é o ângulo de toção. 1 W EX φ (3.33) plicado-se o pincípio dos tabalhos vituais, no qual o tabalho exteno deve se igual ao tabalho inteno tem-se: W EX W IN (3.34) Substituindo-se as expessões 3.3 e 3.33 na expessão 3.34 esulta: l τ φ t dx (3.35) G Integando-se essa expessão ao longo do peímeto da seção obtém-se: l φ τ t G Manipulando-se a expessão 3.36 esulta: φ 1 τ t l G φ l dx Substituindo-se expessão 3.38 na expessão 3.37 seguem-se: 1 τ t dx G dx 4 G t (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) (3.4) Como a espessua t é constante, tem-se o ângulo de toção po unidade de compimento: onde u é o peímeto da áea. u dx 4 G t (3.41)