ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. PME Mecânica dos Sólidos II 3 a Lista de Exercícios

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1 ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PME-50 - Mecânica dos Sólidos II a Lista de Eecícios 1) Pode-se mosta ue as elações deslocamentos-defomações, em coodenadas esféicas, são dadas po: u 1 u uϕ u ϕ ε = γ ϕ =. + ϕ 1 uϕ u 1 u uθ uθ εϕ =. + e γ θ =. + ϕ.senϕ 1 u u θ ϕ u 1 uϕ 1 uθ uθ εθ =. +.cotgϕ + γ ϕθ =. +..cotgϕ. senϕ.senϕ ϕ Patindo das elações dadas acima, moste como as mesmas podem se simplificadas paa o caso de um vaso de pessão esféico (de paede espessa ou não) submetido unicamente a pessões intena e etena distibuídas unifomemente sobe as supefícies intena e etena, espectivamente (Sugestão: faça consideações aceca do campo de deslocamentos, lembando ue se tata de uma estutua simética sob caegamento simético, onde ualue plano diametal é um plano de simetia. Veifiue ue, em vitude destas consideações, todas as distoções assinaladas acima esultam nulas). ) Utilizando as euações difeenciais de euilíbio em coodenadas esféicas obtidas paa um vaso de pessão esféico submetido a pessões intena e etena distibuídas unifomemente sobe as supefícies (ve eecício 4 da Lista 1), as elações deslocamentos-defomações coespondentes a este poblema (obtidas no eecício anteio) e as euações constitutivas do mateial (admita mateial com compotamento elásticolinea, homogêneo e isótopo), detemine: a) a euação difeencial de segunda odem ue possibilita a deteminação do campo de deslocamentos adiais dos pontos do vaso (sugestão: utilize o mesmo pocedimento visto na solução de um vaso de pessão cilíndico de paede espessa); b) a solução da euação difeencial obtida; c) a solução completa dos campos de tensão, defomação e deslocamentos em função dos dados do poblema (apliue as condições de contono petinentes paa detemina as constantes de integação encontadas no passo anteio). São dados: a = aio inteno do vaso esféico; b = aio eteno do vaso esféico; p i = pessão intena aplicada ao vaso; p o = pessão etena aplicada ao vaso; E, ν, λ e G são as constantes elásticas do mateial. ) Consideando ue no poblema anteio apenas uma pessão intena (p i ) seja aplicada ao vaso, detemine a distibuição da máima tensão de cisalhamento nos pontos do vaso, τ má = τ má () nesta situação. Responda: em ue pontos do vaso a máima tensão cisalhante tem o valo máimo? Qual o valo da tensão nestes pontos? 1

2 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-50 / Mecânica dos Sólidos II Pof. R. Ramos J. 4) Diga ual poblema de estado plano de tensões ue é esolvido pela função de tensão: F φ (, ) = (d ) d aplicado à egião do eio positivo, compeendida ente as etas = 0, = d e = 0, confome a figua abaio: d Obs: Considee ue o sólido indicado na figua acima coesponde a uma chapa fina de espessua unitáia (t = 1) e de altua d (etaído de Timoshenko & Goodie [4], cap., pg. 61). 5) Veifiue se o seguinte campo de defomações é compatível (considee estado plano de defomação): ε = l 4 ε = l + 0,01 γ = + l l Obs: i) Nas epessões acima, os paâmetos e epesentam as coodenadas de um ponto genéico da seção tansvesal de um dado sólido em estudo e l epesenta um compimento caacteístico da seção (note ue as epessões das defomações são todas adimensionais); ii) Poblema adaptado de Sinath [], cap., pg ) O anel de espessua t, aio inteno a e aio eteno b, está pefeitamente ajustado numa cavidade de aio b confome ilusta a figua. Consideando ue o mateial da estutua ao edo do anel é infinitamente ígido (indefomável), detemine a pessão de contato (p c ) ente o anel e tal estutua ao aplicamos uma pessão unifomemente distibuída de intensidade sobe as faces do anel, confome a figua. Considee ue as constantes elásticas do anel são E e ν. a b

3 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-50 / Mecânica dos Sólidos II Pof. R. Ramos J. 7) Sabe-se ue a distibuição de tensões num eio sólido de aio R e compimento l (ve figua abaio) submetido a um deteminado caegamento é dada po: σ = 0, σ = 0, σ z = 0 τ = τ = 0, τ z = τ z = C., τ z = τ z = C. onde C é uma constante. Pede-se: a) Veifica ue o campo de tensões dado acima satisfaz as euações difeenciais de euilíbio; b) Admitindo ue o mateial tenha compotamento elástico linea (sendo E e ν suas constantes elásticas), obtenha o campo de defomações coespondente a pati da lei de Hooke; c) Veifica ue o campo de defomações obtido é compatível; d) Veifica se há esfoços distibuídos aplicados na supefície lateal do eio. Se houve, ualifiue-os e uantifiue-os; e) Como são conhecidas as tensões ue agem numa seção tansvesal genéica do eio, detemine po integação os esfoços solicitantes ue são estaticamente euivalentes a tal distibuição de tensões (em outas palavas, detemine N, Q, Q, M, M e T ); f) Responda: afinal, a ue poblema coesponde o estado de tensão dado acima? E ual é o significado físico da constante C? z 8) A figua a segui mosta a seção tansvesal de uma tubulação fomada po dois tubos de aço, cilíndicos, de aios a, b e c. Sabendo-se ue a pessão intena é p i, a pessão etena é p o e ue os dois tubos foam montados atavés de uma ajustagem po etação (sendo a etação dada po δ), pede-se detemina uma epessão paa o cálculo da pessão de contato ente os dois tubos, em função dos paâmetos dados. As constantes elásticas do mateial são: E (módulo de elasticidade) e ν (coeficiente de Poisson). Considee condições de estado plano de defomação (E.P.D.). a b c 9) Repita o poblema anteio consideando condições de estado plano de tensão (E.P.T.).

4 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-50 / Mecânica dos Sólidos II Pof. R. Ramos J. 10) Com elação à tubulação do poblema anteio, considee ue sejam dados: a = 00 mm, b = 00 mm e c = 400 mm. A pessão intena é p i = 10 MPa e a pessão etena é a pópia pessão atmosféica (podendo se despezada). A etação vale δ = 0, mm e as constantes do mateial (aço) são: E = 00 GPa e ν = 0,. Pede-se: a) detemina as epessões paa as distibuições de tensões adiais ( σ ) e cicunfeenciais ( σ θ ) nos dois tubos; b) detemina as distibuições de tensões adiais ( σ ) e cicunfeenciais ( σ θ ) admitindo ue a tubulação seja fomada po um único tubo com aio inteno a = 00 mm e aio eteno c = 400 mm, e sendo submetida à mesma pessão intena p i = 10 MPa; c) utilizando o Ecel (ou outo aplicativo semelhante) plota, num mesmo gáfico, as distibuições de tensões adiais ( σ = σ (), a c) paa os dois casos apesentados ( tubos com etação e 1 tubo único); d) idem ao item anteio com elação às distibuições de tensões cicunfeenciais ( σ θ = σ θ (), a c); e) idem com elação à distibuição da máima tensão de cisalhamento ( τ má = τ má (), a c); f) ue conclusões podemos tia com elação às duas soluções apesentadas (tubo único dois tubos com etação)? Alguma delas apesenta vantagens em elação à outa? 11) Moste ue a função dada po: φ = 8c ( c + c ) ( c ) 5 é uma função de tensão e pocue o poblema ue ela esolve uando aplicada à egião delimitada pelos planos = c, = - c e = 0, no semi-eio positivo dos. (ve Timoshenko & Goodie [4], cap., pg. 61). 1) Moste ue, na ausência de foças distibuídas no volume, as euações difeenciais de euilíbio, epessas em coodenadas cilíndicas, são totalmente satisfeitas nos poblemas de estado plano de tensão ou de defomação, desde ue as tensões σ, σ θ e τ sejam dadas po: τ φ σθ = 1 = θ 1 φ 1 φ σ =. +. θ onde φ = φ(, θ ) é uma função de tensão. φ 1 φ 1 φ.. =. 1) Moste ue as elações dadas no eecício anteio podem se obtidas a pati das euações de tansfomação de tensões (ue epessam σ, σ θ e τ θ em função de σ, σ e τ ) e das elações dadas po: φ φ φ σ =, σ =, τ = onde φ = φ(, ) é a função de tensão epessa em função de e (ve Timoshenko & Goodie [4], cap.4, at.7). 4

5 EPUSP - Depto. de Eng. Mecânica PME-50 / Mecânica dos Sólidos II Pof. R. Ramos J. 14) Veifiue ue a função dada po: φ(, θ ) = C. (onde C é uma constante) é uma função de tensão. ( ( α θ ) + senθ.cosθ cos θ. tanα ) 15) Detemine o valo da constante C na função de tensão dada no eecício anteio ue satisfaz às condições de contono nos bodos supeio e infeio da chapa tiangula epesentada na figua abaio. Calcule as componentes de tensão σ e τ paa uma seção vetical genéica mn. Tace cuvas paa o caso α = 0 o e tace também, paa compaação, as cuvas dadas pela teoia elementa de vigas (Etaído de Timoshenko & Goodie, cap. 4, pg. 14). α θ m n Refeências bibliogáficas: [1] Rékatch, V. Poblèmes de la théoie de l élasticité, Ed. Mi, Moscou, [] Sinath, L.S. Advanced Mechanics of Solids, Tata McGaw-Hill Publishing Co. Ltda., New Delhi, [] Timoshenko, S.P. Resistência dos Mateiais, v., Ed. Ao Livo Técnico Ltda., Rio de Janeio, [4] Timoshenko.S.P.; Goodie, J.N. Teoia da Elasticidade, a ed., Ed. Guanabaa Dois, [5] Washizu, K. Vaiational Methods in Elasticit and Plasticit, d ed., Pegamon Pess,