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Transcrição

1 Ã Ã $Ã /(,Ã '(Ã *$866Ã $/,&$'$Ã $Ã 8Ã (/((17 ',)(5(1&,$/Ã'(Ã9/8( 17 ',9(5*Ç1&,$')/8;(/e75,& (7(5($'$',9(5*Ç1&,$ Ao final deste capítulo você deveá se capa de: ½ Entende o que é a Divegência de um veto ½ Obte e entende a epessão paa a foma difeencial da Lei de Gauss. ½ Epessa a lei de Gauss utiliando o opeado. ½ Entende e utilia o Teoema da Divegência. No capítulo vimos que a Lei de Gauss pemite estuda o compotamento do campo elético devido a cetas distibuições especiais de caga. Entetanto, paa se utiliada, a Lei de Gauss eige que a simetia do poblema seja conhecida, de foma a esulta que a componente nomal do veto densidade de fluo elético em qualque ponto da supefície gaussiana seja constante ou nula. Neste capítulo petendemos considea a aplicação da Lei de Gauss a poblemas que não possuem nenhum tipo de simetia. Suponhamos um volume vã etemamente pequeno, poém finito. Se assumimos uma densidade de caga unifome neste volume, a caga Q seá o poduto da densidade de caga ρãpelo volume v. Pela Lei de Gauss, podemos esceve: D.dS Qρ V (C) (.1) D ( / ) D D P D ( / ) D ( / ) D

2 18 fig..1 - Volume incemental em tono do ponto P. Vamos agoa desenvolve a integal de supefície da equação acima, sobe uma supefície gaussiana elementa que engloba o volume v Este volume está epesentado na figua.1, e é fomado po supefícies incementais.,., e.. Considee um ponto P(,,) envolvido pela supefície gaussiana fomada pelas supefícies incementais. A epessão paa D no ponto P em coodenadas catesianas é: D D.â D.â D. â (.) A integal sobe a supefície fechada é dividida em seis integais, uma sobe cada lado do volume v. D.dS fente atás esq. di. topo base (.) Como as supefícies são etemamente pequenas, cada integal acima pode se substituída pelo poduto escala ente uma componente do veto densidade de fluo elético e um veto S, apontando na dieção da componente escolhida. Po eemplo, paa a pimeia delas: fente D fente. S fente D fente...â D(fente).. (.4) (D é a componente de D nomal ao plano ). Apoimando D (fente) Ãpelos dois pimeios temos da epansão em séie de Talo de D : D (fente) D. (4.5) Potanto: fente D... (.6) Consideemos agoa a integal : atá s D (atás) D. (.7)

3 19 atás D (atás). S D. (.8) (poque o veto unitáio â Ãtem agoa dieção negativa). Combinando as duas integais: fente atás... (.9) Utiliando o mesmo aciocínio paa as outas integais: di. esq.... (.1) topo base... (.11) Assim: D.dS. v (.1) A epessão acima di que o fluo elético que atavessa uma supefície fechada muito pequena é igual ao poduto ente o volume envolvido po essa supefície e a soma das deivadas paciais das componentes do veto D em elação às suas pópias dieções. Igualando-se as equações.1 e.1, e em seguida dividindo todos os temos po v tem-se: D.dS v ρ (.1) Passando ao limite, com v tendendo a eo: lim v D.dS v ρ (.14)

4 )L[DQGRÃHÃPHPRUL]DQGRÃ Antes de possegui, efaça as passagens ealiadas paa obte a epessão (.14): 1. Antes, cite que equisitos devem se obedecidos paa que a lei de Gauss na foma integal (equação.8) possa se utiliada.. Utiliando um sistema de coodenadas catesianas, epesente um pequeno volume com densidade de cagas ρ.. Repesente as componentes do veto densidade de fluo em cada supefície, apoimandoas pelos dois pimeio temos de uma epansão em séie de Talo. 4. Calcule cada integal, e combinea-as duas a duas. 5. Some os tês esultados paciais, divida po V, passe ao limite e obtenha a equaçao.14. ÃÃ',9(5*Ç1&,$ A opeação indicada pelo pimeio membo da equação.14 não é petinente apenas ao fenômeno oa em estudo. Ela sugiu tantas vees no estudo de outas gandeas físicas descitas po campos vetoiais, que cientistas e matemáticos do século passado esolveam batiá -la com um nome especial: 'LYHUJQFLD. Matematicamente: lim A.dS diva v v (.15) $ÃGLYHUJQFLDÃGHÃXPÃYHWRUÃGHQVLGDGHÃGHÃIOX[RÃ A ÃTXHÃÃUHSUHVHQWD XPÃ IHQ{PHQRÃ ItVLFRÃ pã DÃ YDULDomRÃ GRÃ Ã IOX[RÃ Ã DWUDYpVÃ GDÃ VXSHUItFLH IHFKDGDÃGHÃXPÃSHTXHQRÃYROXPHÃTXHÃWHQGHÃDÃ]HUR A divegência é uma opeação matemática sobe um veto, definida como sendo a soma das deivadas paciais das componentes do veto, cada uma em elação à sua pópia dieção. Apesa de se uma opeação sobe um veto, o esultado é um escala. A pati da definição da divegência, e da equação.14, podemos epessa a lei de Gauss na foma difeencial: div.dρ (.16) A equação.16 nos di que

5 1 RÃ IOX[RÃ HOpWULFRÃ SRUÃ XQLGDGHÃ GHÃ YROXPHÃ Ã GHL[DQGRÃ Ã XPÃ YROXPH LQILQLWHVLPDOÃTXHÃWHQGHÃDÃ]HURÃpÃLJXDOÃjÃGHQVLGDGHÃYROXPpWULFDÃGH FDUJDÃQHVWHÃSRQWR ÃÃÃ(5$'5Ã Ã(ÃÃ7(5($Ã'$Ã',9(5*Ç1&,$ O opeado Ãé definido como sendo o opeado difeencial:.â.â. â (.17) Realiando o poduto escala. D, tem-se: ( D.â D.â D. â ). D.â.â.â. (.18) Lembando que o poduto escala ente vetoes unitáios otogonais é nulo, o esultado seá:.d (.19) ou ainda:. Dρ (.) )L[DQGRÃHÃPHPRUL]DQGRÃ Antes de possegui, eecute as seguintes atividades: 1. Defina o que é divegência de uma gandea vetoial.. Epesse matematicamente a divegência de um veto.. Enuncie a lei de Gauss na foma difeencial. 4. Equacione a lei de Gauss na foma difeencial. O opeado não é utiliado somente em opeações de divegência, mas também em outas opeações vetoiais. Entetanto, ele é definido somente em coodenadas catesianas. A pincípio, a epessão. D seviia apenas paa se calcula as deivadas paciais do veto D em coodenadas catesianas. Entetanto, a epessão. D como sendo a divegência do

6 veto densidade de fluo elético é consagada, e pode se utiliada mesmo quando o veto é definido em outos sistemas de efeência. Po eemplo, em coodenadas cilíndicas: 1.D ( D ) 1 φ φ (.1) e em coodenadas esféicas: 1 D. 1 ( A ) ( A sen θ) sen θ θ θ 1 sen A θ φ (.) Deve-se lemba, poém, que as epessões.1 e. não foam obtidas atavés de opeações matemáticas de um poduto escala ente e D, pois não possui uma foma especifica paa estes tipos de sistemas de coodenadas. Finalmente, vamos associa as fomas integal e difeencial da Lei de Gauss, paa obte o teoema da divegência. Lembando que: e: D.dS ρ. dv vol. Dρ Substituindo ρ po. D na epessão em integais, podemos esceve: D.dS (.D) dv vol (.) A equação. é o 7HRUHPDÃGDÃÃ'LYHUJQFLD (ou teoema de Gauss), e estabelece que a integal da componente nomal de qualque campo vetoial sobe uma supefície fechada é igual à integal da divegência deste campo no volume envolvido po essa supefície fechada. Uma maneia simples de se entende fisicamente o teoema da divegência é atavés da figua.. Um volume v, limitado po uma supefície fechada S é subdividido em pequenos volumes incementais, ou células. O fluo que divege de cada célula convege paa as células viinhas, a não se que a célula possua um de seus lados sobe a supefície S. Então a soma da divegência da densidade de fluo de todas as células seá igual à soma do fluo liquido sobe a supefície fechada. Fig.. - Volume v subdividido em volumes incementais

7 ([HPSORÃ Calcula os dois lados do teoema da divegência, paa uma densidade de fluo elético D.â.â, em um cubo de aestas igual a unidades. 6ROXomR Vamos coloca a oigem do sistema de coodenadas catesianas em uma dos vétices. O veto D possui componentes nas dieções e. Potanto, a pincípio, a integal de supefície deve se calculada sobe 4 lados do cubo: D.dS fente atás esq...â d.d.â di fente..â.d.d.( â) atás..â.d.d.( â ) esq. di...â.d.d.â.d 64 D.dS. D (.D) dv ( ) vol (.D) dv ( ) vol v 4 d ( ) 64.D dv vol d.d.d d.d d 5HIDoDÃHVWHÃH[HPSORÃ Antes de possegui, efaça o eemplo acima 1. Desenhe um cubo e coloque a oigem de um sistema de coodenadas catesianas em um de seus vétices.. Divida a supefície do cubo em quato supefícies lateais.. Calcule a integal paa cada supefície e some-as. 4. Calcule a divegência da densidade de fluo.. 5. Intege a epessão paa a divegência da densidade de fluo no volume do cubo. 6. Veifique se os esultados foam iguais

8 4 (;(5&Ë&,6 1) - Dado A ( ).â ( ).â calcule. A. ) -Obtenha a divegência em coodenadas esféicas. Use um volume infinitesimal com aestas, θ e senθ φ. ) - Dipolo Elético, ou simplesmente dipolo, é o nome dado ao conjunto de duas cagas pontuais de igual magnitude e sinais opostos, sepaadas po um distância pequena se compaada com a distância ao ponto P onde se deseja conhece o campo elético. O ponto P é descito em coodenadas esféicas (figua 1), po, θ e φ 9 gaus, em vista da simetia aimutal. As cagas positivas e negativas estão sepaadas po d m, e localiadas em (,,d/) m e (,,-d/) m. O campo no ponto P é que a divegência deste campo é nula. E Qd $ $ ( cos θ. a sen θ. a θ ) 4πε. Moste 1, 5 4) - Paa a egião < m (coodenadas cilíndicas), D e 1, 5 $ ( 4 4 e ) a, e paa $ > m, D (, 57 1 ). a. Pede-se obte a densidade de cagas ρ paa ambas as egiões. 5) - Dado D ( 1 $ 4 ). a em coodenadas cilíndicas, calcule cada um dos lados do teoema da divegência, paa o volume limitado po m, m e 1 m. 6) - Dado D 1 sen θ. a cos θ. a θ, pede-se calcula ambos os lados do teoema da divegência, paa o volume limitado pela casca m. 7) - Uma linha unifome de cagas de densidade ρ l petence ao eio ]. (a) Moste que. D em qualque luga, eceto na linha de cagas. (b) substitua a linha de cagas po uma densidade volumética de cagas em m. Relacione ρ l com de modo que a caga po unidade de compimento seja a mesma. Detemine então. D em toda pate. θ P R 1 Q R figua 1 - figua do poblema d - Q