Eletromagnetismo. As leis da Eletrostática: A lei de Gauss

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1 Eletomagnetismo As leis da Eletostática: A lei de Gauss

2 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 1 São duas as leis que egem o compotamento do campo elético nas condições especificadas em (). E essas leis podem se apesentadas sob duas fomas ou vesões. Na pimeia foma, as leis são apesentadas como elações ente taxas de vaiação de campos vetoiais e as gandezas que lhes dão oigem (densidades de caga e de coente, po exemplo). Na segunda foma, elacionamos quantidades não locais (como fluxos ao longo de supefícies) com gandezas globais (como a caga elética contida num volume). Na eletostática, uma das vesões dessas leis estabelece elações ente taxas de vaiação do campo poduzido e a densidade de caga que deam oigem aos campos. Na fomulação que pivilegia o aspecto local dos campos, a pimeia lei estabelece que a combinação de taxas de vaiação das componentes do campo elético, conhecida como divegente do campo, é popocional à densidade de cagas que o poduz: E + E x y + E z x y z ρ = ε ( 1 ) Utilizando a definição do opeado gadiente, escevemos essa lei, esumidamente, como i ρ E( x yz)= ( xyz,,,, ) ε ( 2 ) Essa lei estabelece, potanto, uma elação linea ente taxas de vaiação das componentes do campo elético e a densidade de caga elética que lhe dá oigem. A constante ε, a pemitividade do vácuo, é a constante fundamental da eletostática. Essa lei estabelece, po outo lado, que os campos se oiginam das cagas eléticas, ou seja, elas são as fontes dos campos. Como esultado, as linhas de foça ou começam nas cagas eléticas (no caso de cagas positivas) ou teminam nelas (caso de cagas negativas). A segunda lei da eletostática especifica que o campo elético poduzido pela distibuição estática é tal que uma combinação de taxas de vaiação das componentes do campo elético se anula: E x E y E = E E = E = y z z x y x z y x z ( 3 ) As condições acima podem se escitas de uma foma esumida como: E = ( 4 )

3 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 2 Essa lei estabelece que o campo elético é um campo consevativo. Dela decoe que o campo eletostático pode se escito como: Exyz (,, ) = V( x, yz, ) ( 5 ) O fato é que a segunda lei especifica também uma popiedade do campo elético, ou seja, ele é iotacional, isto é, as linhas de foça do campo elético nunca se fecham e nunca se voltam. A segui, apesentaemos as leis do eletomagnetismo sob a foma de popiedades globais do campo elético, ou seja, sob a foma de integais sobe supefícies e caminhos. Campo iotacional e campo otacional. Lei de Gauss Na segunda vesão dessas leis, vesão essa que enfatiza popiedades globais do campo elético, temos igualmente duas leis. A pimeia delas é a lei de Gauss, que estabelece que o fluxo do campo elético atavés de uma dada supefície fechada é igual ao quociente ente a caga elética contida na egião delimitada pela supefície e a constante denominada pemitividade do vácuo. Desde o tabalho pioneio de Coulomb, sabe-se que uma distibuição de cagas dá oigem a um campo elético.a pimeia lei se peocupa em estabelece uma elação ente o campo elético geado e a distibuição de cagas que lhe dá oigem. Essa elação envolve taxas de vaiação do campo elético e é escita sob a foma da equação (). Essa é uma das quato equações de Maxwell. Integando-semembo a membo a equação (), num volume V, obtemos: V 1 3 td ε 3 E(, t) d = ρ(, ) V ( 6 ) O pimeio temo pode se escito, usando o teoema de Gauss, como o fluxo do campo elético sobe a supefície que delimita o volume. Φ E S E ds O segundo temo da equação () é a caga elética contida no volume dividido po ε. Obtemos assim uma elação ente o fluxo do campo elético e a caga contida no volume consideado. ( 7 )

4 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 3 E ds Q = S ε ( 8 ) ou seja, o fluxo do campo elético atavés de uma supefície S é igual, com exceção de uma constante de popocionalidade, à caga elética contida na egião delimitada po essa mesma supefície. Essa lei, expessa em (), é conhecida como lei de Gauss, ou seja, Φ E Q = ε ( 9 ) O campo eletostático é consevativo Na vesão que enfatiza aspectos globais do campo, a segunda lei especifica que, paa qualque caminho que inteliga dois pontos A e B cujos vetoes de posição são A e B, espectivamente, a integal de caminho que inteligaesses pontos é tal que ela depende, ou seja, ela é uma função, apenas desses dois pontos sob a foma: B A Edl V V = ( ) ( ) A Tudo que se afima, a pati da expessão acima, é que o campo elético é um campo que dá oigem a uma foça consevativa. Dizemos que o campo elético é consevativo. B ( 1 ) Comentáios sobe as Leis da Eletostática Existem duas consequências impotantes que emegem das leis da eletostática. É bom lemba que, na pimeia lei, está expessa a ideia de que o efeito da pesença de cagas numa ceta egião do espaço leva a poduzi campos, cuja taxa de vaiação das divesas componentes do campo são especificadas po (). Esse é um conteúdo fundamental da eletostática. Podemos assim, em pincipio, detemina o campo geado pela distibuiçao de caga. Um pimeia consequência da equação () é a de que as linhas de foça do campo elético exibem, em alguns pontos do espaço, caacteísticas de fontes e sovedouos de linhas de campo.

5 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 4 Esse nunca é o caso das linhas de foça do campo magnético. E isso estabelece uma difeença fundamental ente a eletostática e a magnetostática. Linhas de foça começam ou teminam no local onde existe uma caga. A segunda consequência diz espeito à lei (). A pati dela é fácil conclui que sua solução é qualque função da foma: E x, yz, V x, yz, ( )= ( ) ( 11 ) onde V é uma função escala, já identificada com o potencial elético. Assim, o conteúdo da segunda lei é basicamente estabelece que o campo eletostático é um campo consevativo. A substituição da solução () em () nos leva a uma fomulação da eletostática na qual o poblema agoa passa a se a deteminação do potencial a pati da solução da equação difeencial: ρ ( )= ( xyz,, ) 2 V x, yz, ε ( 12 ) que é, em última análise, a equação que esulta das duas outas () e ().

6 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 5 Não levando em conta poblemas de contono, a solução da equação acima é: V( x, yz, )= 1 πε 4 V ρ( x, y, z ) dxdydz ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) ( 13 ) onde a integal acima deve se efetuada sobe o volume no qual as cagas estão distibuídas. A Lei de Gauss Desde o tabalho pioneio de Coulomb, sabe-se que uma distibuição de cagas dá oigem a um campo elético. A elação ente o campo poduzido num deteminado ponto do espaço e o agente induto do campo (as cagas eléticas) é simples apenas no caso de uma distibuição disceta de cagas. No caso de uma distibuição contínua de cagas, essa elação é bastante sutil e ela é a base da pimeia lei impotante do eletomagnetismo: a Lei de Gauss. De acodo com essa lei, uma distibuição de cagas caacteizada pela densidade volumética de cagas ρ( t, ) geaá um campo elético de tal foma que sua taxa de vaiação pontual é dada po: ( )= ( ) + ( ) + ( ) = ( E t E t E t ) x, y, Ez, t ρ t,, ( 14 ) x y z A pimeia lei estabelece uma elação ente a taxa de vaiação do campo elético e a distibuição de cagas que lhe dá oigem. Essa é uma fomulação que leva em conta aspectos locais do campo elético (o divegente do campo). Na segunda fomulação, a lei de Coulomb é expessa como uma elação ente o fluxo do campo elético (ao longo de uma supefície fechada) e a caga elética total (no inteio da supefície). As duas gandezas não são definidas ponto a ponto, mas são definidas como integais sobe volumes e supefícies. Assim, pode-se fomula a pimeia lei afimando que, dada uma distibuição de cagas, o campo elético poduzido po essa distibuição é tal que o seu fluxo Φ E numa supefície que delimita uma egião é popocional à caga elética no inteio dela: Φ E Q E ds = ε S ε ( 15 )

7 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 6 ou seja, o fluxo do campo elético atavés de uma supefície S é, com exceção de uma constante de popocionalidade, igual à caga elética contida na egião delimitada po essa mesma supefície. Essa lei é inteessante poque ela estabelece uma elação muito simples ente a caga total dento do volume delimitado po uma supefície e o fluxo do campo elético atavés dela. Alteando-se a supefície, alteamos a quantidade de caga e o fluxo. Simetias na Física O uso da lei de Gauss eque o uso de agumentos de simetias. Simetias desempenham um papel muito impotante na física e isso poque, muitas vezes, podemos faze uso de simetia paa esolve um poblema ou paa facilita a sua solução. Essa foma de ajuda na solução de um poblema advém do fato de que o uso da simetia implica uma dependência específica de uma gandeza com espeito a uma deteminada vaiável. Na eletostática devemos considea, pincipalmente, 4 tipos de simetia: 1. Simetia po invesão espacial e eflexão espacial Consideemos uma tansfomação na qual invetemos todas as coodenadas, ou seja: ( 16 ) Na eflexão espacial, consideamos apenas a eflexão da coodenada x: x x ( 17 ) Pode-se peve que cetas gandezas físicas são invaiantes sob uma eflexão em elação a um deteminado plano. Admitindo-se que o plano seja aquele descito pela condição x =, podemos esceve: F(x) = F( x) ( 18 ) onde F é uma gandeza física invaiante po eflexão.

8 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 7 O fato é que o potencial e o campo elético se tansfomam da seguinte foma em elação a eflexões: V( )= V( ) ( 19 ) E( )= E( ) enquanto o campo magnético é tal que: B( )= B ( ) ( 2 ) ou seja, o campo elético é uma gandeza vetoial, ao passo que o campo magnético é uma gandeza pseudovetoial. 2. Simetia tanslacional Quando gandezas físicas, como a distibuição de átomos numa ede, são invaiantes sob tanslações ao longo de planos (paalelos), dizemos que temos uma simetia tanslacional. Em muitos casos, a invaiância é po um valo finito das coodenadas. Assim, se uma gandeza física fo invaiante sob tanslações ao longo dos planos y e z, po um valo qualque das coodenadas, isso se eflete na dependência dessa gandeza, ou seja, ela depende apenas da coodenada x. F(x, y, z) = F(x) ( 21 )

9 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 8 3. Simetia otacional Se um objeto como uma molécula fo invaiante, sob a otação de um deteminado valo do ângulo, dizemos que esse objeto exibe uma simetia otacional. Quando o valo do ângulo fo abitáio, dizemos que ele é invaiante po otações. Se as gandezas físicas foem invaiantes po deslocamentos ao longo de cilindos concênticos, dizemos que temos uma simetia cilíndica. A situação física é a mesma paa qualque ponto ao longo de uma supefície cilíndica. A condição necessáia paa a existência de uma simetia cilíndica é a de que as gandezas físicas dependem apenas da coodenada ρ: F = F(ρ) ( 22 ) 4. Simetia esféica Quando a análise de um poblema evela que as soluções são as mesmas ao longo de pontos sobe uma supefície esféica, dizemos que o poblema exibe uma simetia esféica. A consequência de uma simetia esféica é as gandezas envolvidas no poblema dependeem apenas da vaiável : F(, θ, φ) = F() ( 23 ) Simetias e a Lei de Gauss Como ega geal, podemos afima que a lei de Gauss, fomulada em temos do fluxo do campo, não é muito útil paa a deteminação do campo elético poduzido po uma deteminada distibuição de cagas. Como toda ega, essa também compota exceções. De fato, é possível detemina o campo elético dietamente a pati da lei de Gauss () sempe que pudemos faze alguma infeência sobe o campo elético utilizando, paa isso, agumentos de simetia. Tais agumentos de simetia dizem espeito à simetia da distibuição de cagas. Vamos ilusta, po meio de exemplos, o uso de simetias na eletostática.

10 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 9 Distibuição de cagas com simetia tanslacional Suponhamos que a distibuição de cagas tenha simetia tanslacional envolvendo os planos y e z, isto é, a distibuição de cagas é a mesma ao longo de um plano, o qual seá denominado plano x. Assim, a distibuição de cagas depende apenas da coodenada x. Escevemos, potanto, ρ = ρ(x) ( 24 ) As supefícies equipotenciais são supefícies igualmente planas. Nessas cicunstâncias, constatamos que o campo elético seá um campo cuja dieção está ao longo do eixo x e depende (como acontece com a distibuição de cagas) apenas dessa coodenada, isto é: E = E( x)= Ex ( x) i ( 25 ) Assim, mediante o uso de agumentos de simetia, somos levados a uma foma geal paa o campo elético. Agoa, depois de fazemos uso desses agumentos de simetia, a lei de Gauss nos pemitiá detemina o campo elético, isto é, seemos capazes de detemina uma expessão simples paa a componente do campo E x. Tomando o volume compeendido ente duas supefícies de áea A e a uma distância d uma da outa, temos, de acodo com a lei de Gauss, a seguinte expessão paa as componentes do campo: ( ) ( ) E x E x A A x x = x ρ dx ε Além dessa simetia, sabemos que a eflexão em elação ao plano x implica que: x xo ( ) ( 26 ) E x (x) = E x ( x) ( 27 ) Potanto, da expessão acima esulta que, tendo em vista as duas simetias, o campo elético fica deteminado pela expessão: 1 Ex ( x)= ρ x dx 2ε x x ( ) ( 28 )

11 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 1 Po exemplo, no caso de uma distibuição supeficial de cagas constante, com densidade supeficial σ, a expessão paa o campo elético é: Ex ( x)= σ 2ε ( 29 ) ou seja, o campo elético é constante. Distibuição de Cagas com Simetia Cilíndica Consideemos agoa o caso da simetia cilíndica. Ela ocoe se a distibuição de caga exibi uma tal simetia, ou seja, se a distibuição de cagas depende apenas de uma das coodenadas cilíndicas, a coodenada. Nesse caso, escevemos: ρ() ( 3 ) só a distibuição de cagas e depois os campos. Consequentemente, a distibuição de cagas é a mesma ao longo de um cilindo qualque e de aio. As supefícies equipotenciais são supefícies cilíndicas. Nessas cicunstâncias, constatamos que o campo elético seá sempe pependicula a uma supefície cilíndica. Além disso, o campo igualmente dependeá apenas da coodenada. Podemos, assim, conclui com base em agumentos de simetia que só existe a componente E e essa componente depende apenas de, ou seja, E( )= E( ) e ( 31 ) ds = dzdϕe Φ E E ds E dz dϕ E 2πL L 2π S = = ( ) = ( ) ( 32 ) Agoa, depois de usamos agumentos de simetia paa a única componente do campo não nula, podemos utiliza o teoema de Gauss paa deteminá-la. Utilizando o teoema, podemos esceve: E L2π L2π ε ( ) = ρ( ) d ( 33 )

12 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 11 e, potanto, 1 E ( )= d ε ρ ( ) ( 34 ) Paa os pontos foa da distibuição, podemos esceve: 1 Q λ E ( )= = 2ε L 2ε ( 35 ) onde λ é a quantidade de caga po unidade de compimento do cilindo que contém as cagas. Distibuição de cagas com Simetia Esféica Consideemos finalmente o caso da simetia esféica. Ela ocoe se a distibuição de caga exibi tal simetia, ou seja, se a distibuição de cagas depende apenas de uma das coodenadas cilíndicas, a coodenada. Nesse caso, escevemos: ρ() ( 36 ) Distibuição de cagas com simetia esféica e o campo elético esultante. Consequentemente, a distibuição de cagas é a mesma ao longo de uma esfea independentemente do seu aio.

13 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 12 As supefícies equipotenciais são supefícies esféicas. Nessas cicunstâncias, constatamos que o campo elético seá sempe pependicula a uma supefície esféica. Além disso, o campo igualmente dependeá apenas da coodenada. Podemos, assim, conclui com base em agumentos de simetia que só existe a componente adial E e essa componente depende apenas de, ou seja, E( )= E( ) e ds = 2 sen θdθdϕe ( 37 ) Donde se infee que Φ E S 2π π 2 E ds E dθsenθdϕ E 4π = = ( ) = ( ) 2 ( 38 ) Assim, o uso de simetia aplicado de novo paa a única componente do campo não nula pemite-nos utiliza o teoema de Gauss paa deteminá-la. Utilizando o teoema, podemos esceve: E 4π 2 ( ) = Q onde Q() é a caga dento do volume esféico de aio, isto é: ( ) ε ( 39 ) Q ( )= ( ) ρ d 3 ( 4 ) Pimeio, a distibuição de cagas e o campo elético e, depois, a supefície gaussiana. A solução é, potanto: E ( ) Q ( )= ε4π 2 2 4π 2 E ( ) 4π = ρ d ε ( ) ( 41 )

14 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 13 e, potanto, 1 2 E ( )= d 2 ε ρ ( ) ( 42 ) Paa uma distibuição unifome, escevemos: ρ = ρ ( 43 ) Paa os pontos intenos à distibuição, admitindo que a distibuição se estenda até um valo do aio dado po: = R ( 44 ) concluímos que a caga total seá dada po: Q =ρ 4πR 3 ao passo que, usando a expessão (), o campo elético seá: E ( )= ρ 3 ε 3 ( 45 ) ( 46 ) Em temos da caga total Q, o campo elético assume a foma: E ( Q )= 4 πε R 3 ( 47 ) Vemos assim que o campo elético cesce lineamente com a distância a pati do cento. Paa os pontos foa da distibuição, podemos esceve: Q E ( )= 4 2 πε ( 48 ) Consequentemente, o campo elético se compota como se toda a caga estivesse concentada num ponto (no caso, a oigem).

15 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 14 Potenciais Eléticos Utilizando agumentos de simetia, podemos esceve expessões muito simples paa os potenciais. No caso da simetia plana, o potencial depende apenas da coodenada x e, consequentemente, pode se escito como: E ( dv x x x ) ( ) = dx Integando-se membo a membo, obteemos o potencial, que é dado pela integal: x V( x) V( x )= E x ( x ) dx x ( 49 ) ( 5 ) No caso da simetia cilíndica, utilizando o opeado gadiente em coodenadas cilíndicas, podemos esceve: E ρ dv ( ρ) ( x) = dρ ( 51 ) Novamente, integando cada um dos membos, obteemos o potencial em temos de uma integal simples: ρ V( ρ) V( ρ )= Eρ ρ dρ ρ ( ) Se escevemos o opeado gadiente em coodenadas esféicas, então, os agumentos de simetia esféica nos levaão à seguinte expessão paa o potencial: ( 52 ) E () dv () = d Donde o potencial podeá se escito como a integal: V( ) V( )= E ( ) d ( 53 ) ( 54 )

16 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 15 Como usa este ebook Oientações geais Cao aluno, este ebook contém ecusos inteativos. Paa peveni poblemas na utilização desses ecusos, po favo acesse o aquivo utilizando o Adobe Reade (gatuito) vesão 9. ou mais ecente. Botões Indica pop-ups com mais infomações. Sinaliza um ecuso midiático (animação, áudio etc.) que pode esta incluído no ebook ou disponível online. Ajuda (etona a esta página). Céditos de podução deste ebook. Indica que você acessaá um outo techo do mateial. Quando temina a leitua, use o botão coespondente ( ) paa etona ao ponto de oigem. Bons estudos!

17 Eletomagnetismo» As leis da Eletostática: A lei de Gauss 16 Céditos Este ebook foi poduzido pelo Cento de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Univesidade de São Paulo (USP). Autoia: Gil da Costa Maques. Revisão Técnica e Execícios Resolvidos: Paulo Yamamua. Coodenação de Podução: Beatiz Boges Casao. Revisão de Texto: Maina Keiko Tokumau. Pojeto Gáfico e Editoação Eletônica: Daniella de Romeo Pecoa, Leando de Oliveia e Piscila Pesce Lopes de Oliveia. Ilustação: Alexande Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Toano, Celso Robeto Louenço, João Costa, Lidia Yoshino, Mauício Rheinlande Klein e Thiago A. M. S. Animações: Celso Robeto Louenço e Mauício Rheinlande Klein.