Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 11

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1 Fluidos Física II Ondas, Fluidos e Temodinâmica USP Pof. Antônio Roque Intodução Segundo a concepção clássica, pode-se classifica qualque tipo de matéia em um de tês estados básicos: sólido, líquido e gasoso. Atualmente, costuma-se acescenta a esses tês estados mais dois: plasma e condensado de Bose-Einstein. Também se pode dize que há muitos tipos de matéia que estão em um estado intemediáio ente líquido e sólido o nome usado atualmente paa designa esses tipos de matéia é matéia mole, de maneia que haveia de fato um continuum de estados ente o estado sólido e o estado líquido. Neste cuso, vamos deixa de lado essas questões, pois elas petencem à fonteia da física e paa chega a estudá-las (e entendêlas) vocês pecisam passa pimeio pelo estudo das popiedades básicas dos tês estados clássicos: sólido, líquido e gasoso. É deles, mais paticulamente dos líquidos e gases, que tataemos aqui. O que difeencia cada um desses tês estados básicos? 1

2 Despezando a inteação gavitacional, que afeta todos os copos, as popiedades de um copo são deteminadas pelas inteações ente as moléculas que o constituem, que são de natueza eletomagnética. De maneia geal, as foças intemoleculaes em qualque mateial são do tipo foças de van de Waals 1 : fotemente epulsivas quando as moléculas se apoximam tanto a ponto de enta em contato e modeadamente atativas quando elas estão sepaadas po uma pequena distância, mas desapaecendo a distâncias maioes 2 (a figua abaixo mosta o esboço da enegia potencial V ente duas moléculas em função da distância ente elas). Note que esse potencial possui um mínimo a ceta distância de sepaação ente as duas moléculas. A enegia associada a esse mínimo (a pofundidade do mínimo, medida a pati da oigem) é a chamada enegia de ligação da molécula. 1 Nome dado em homenagem ao físico holandês Johannes Diedeik van de Waals ( ), ganhado do Pêmio Nobel de Física de 1910 po seus tabalhos sobe fluidos. 2 Na ealidade, a descição mais adequada das foças intemoleculaes só é feita pela Mecânica Quântica, que está além dos objetivos deste cuso. 2

3 O estado da matéia (sólido, líquido ou gasoso) depende, gosso modo, da elação ente essa enegia de ligação e a enegia cinética média das moléculas devida ao seu movimento témico (veja a figua abaixo). Em um sólido, o mínimo da enegia potencial é tão pofundo que o movimento témico não consegue supeá-lo. Os átomos e moléculas do mateial ficam então fotemente pesos em tono do ponto de mínimo (ou de equilíbio), fazendo apenas movimentos oscilatóios de pequena amplitude (como em um MHS) em tono desse ponto. Essa situação só é alteada quando a tempeatua é tão alta a ponto de eleva a enegia das moléculas bem acima do mínimo de enegia potencial, o que povoca o deetimento do sólido. Em um sólido, potanto, as moléculas estão ligadas de maneia ígida. Po causa disso, um sólido tem foma e volume bem definidos. 3

4 Quando foças extenas são aplicadas a um sólido, ele pode se defoma elasticamente. Se as foças foem muito gandes, o sólido pode tona-se maleável ou mesmo fatua. A maio pate do tabalho feito pelas foças extenas que defomam um sólido antes de fatuá-lo pode se ecupeada como tabalho quando as foças cessam. Em líquidos e gases o mínimo de enegia potencial não é tão pofundo e o movimento témico das moléculas é capaz de supea as foças atativas ente elas. No caso dos líquidos, as foças atativas ainda têm algum efeito e conglomeados moleculaes podem se fomados. A consequência disso é que as moléculas que constituem um líquido não estão ligadas de maneia tão fote paa mante uma foma definida um líquido adapta a sua foma à do ecipiente que o contém, mas as foças ente elas são suficientes paa peseva seu volume. Já no caso dos gases as foças atativas são tão facas que, efetivamente, as moléculas movem-se como patículas lives ente colisões. Potanto, um gás não tem nem foma e nem volume definidos. Ele se expande no inteio do ecipiente onde está até peenche todo o seu volume. 4

5 A aplicação de foças extenas sobe líquidos e gases faz com que eles fluam e, po isso, eles são chamados de fluidos. Pate do tabalho feito po essas foças extenas é dissipado como calo (movimento molecula aleatóio) e não pode se ecupeada como tabalho depois que as foças acabam. Os fluidos obedecem às mesmas leis físicas que os sólidos, mas a sua caacteística fluídica faz com cetos fenômenos não obsevados em sólidos ocoam nos fluidos. São esses fenômenos que seão estudados nesta aula e na póxima. Antes de começa, vamos faze mais um comentáio intodutóio. Ele diz espeito à escala com a qual vamos olha paa os fluidos. Emboa saibamos que os líquidos e gases são feitos de moléculas sepaadas umas das outas, vamos estudá-los aqui como se eles fossem meios contínuos. A chamada física dos meios contínuos pocua desceve e estuda a matéia usando escalas de tamanho muito gandes em compaação com as escalas típicas dos tamanhos moleculaes. Em geal, essas gandes escalas de tamanho são as escalas da nossa pópia expeiência com o mundo mateial. 5

6 Isto seve como possível agumento qualitativo paa justifica o uso da apoximação contínua. Como a nossa pecepção dos objetos mateiais como contínuos funciona muito bem paa a maio pate das nossas aplicações cotidianas (em mecânica, engenhaia, ates, etc), uma descição física em temos de meios contínuos também deve se igualmente eficaz. De um ponto de vista mais quantitativo, se as flutuações nas quantidades físicas de inteesse, como densidade e pessão, causadas pela natueza disceta da matéia foem menoes do que a pecisão desejada, então a apoximação contínua é justificada. Sabemos que as escalas macoscópicas usadas pela apoximação contínua são gigantescas em compaação com a escala das distâncias moleculaes. Em um pequeno volume de qualque mateial (pequeno do ponto de vista macoscópico) a quantidade de moléculas é tão gande que todas as flutuações estatísticas aleatóias se cancelam paa qualque nível de pecisão de inteesse pático desejado. Apenas gandezas médias, que se compotam como vaiáveis contínuas em escalas macoscópicas, são elevantes. 6

7 A segui, faemos algumas estimativas numéicas paa enconta escalas adequadas ao tatamento contínuo. Elas não são necessáias paa o entendimento do esto do cuso e podem se puladas sem peda de continuidade (ou seja, pode-se i dietamente paa a página 13 sem pejuízo da leitua deste texto). Seja uma substância de densidade ρ e massa mola M mol. Um mol dessa substância ocupa um volume M mol /ρ, de maneia que o volume po molécula é M mol /ρn A, onde N A é o númeo de Avogado 3. Um cubo com esse volume teia lados de compimento L m M mol N A 1/ 3 ρ, (1) que pode se tomado como a escala das sepaações moleculaes. Paa o feo temos L m 0,24 nm, paa a água L m 0,31 nm e paa o a a condições nomais de tempeatua e pessão L m 3,4 nm. Suponhamos que queemos detemina a densidade de um mateial com ceta pecisão elativa ε, digamos ε 1%. Ou seja, queemos que ρ/ρ 0,01. 3 O númeo de Avogado dá o númeo de moléculas em um mol de substância. Ele vale N A 6, moléculas/mol. 7

8 Paa isso, vamos toma um volume V do mateial e conta o númeo N de moléculas de massa m no seu inteio. A densidade seá então dada po mn V ρ. (2) Devido ao movimento aleatóio das moléculas do fluido, o númeo N sofe flutuações e mediemos um valo difeente de N a cada nova medida. Vamos chama de N o tamanho típico da flutuação nas medidas de N. Po causa de (2), podemos elaciona a flutuação elativa de N com a flutuação elativa de ρ ρ ρ N N. (3) Se quisemos que a flutuação elativa da densidade seja, no máximo, igual a ε, então devemos te N εn. Paa estima N, vamos usa um modelo estatístico. Vamos supo que o intevalo de tempo ente cada medida de N é muito gande em compaação com o tempo caacteístico ente colisões moleculaes. Com isso, podemos supo que a cada nova medida de N todas as N moléculas que estavam no volume V no tempo anteio foam substituídas (com eposição) po N novas moléculas tiadas de um conjunto de M > N moléculas. 8

9 O númeo M coesponde ao total de moléculas num volume bem maio que V e que inclui V. Consideando que a pobabilidade de enconta uma molécula no volume V é p, podemos esceve a pobabilidade de enconta N moléculas no volume V pelo pocesso acima usando a fómula da distibuição binomial de pobabilidades (lembe-se das aulas de estatística) P M M! N M N N M N ( N M, p ) p ( 1 p ) p ( 1 p ). (4) N N!( M N )! Lembando um pouco mais das aulas de estatística (ou consultando o capítulo sobe distibuições de pobabilidade discetas de um livo de estatística), temos que a média e a vaiância da distibuição binomial acima são iguais, espectivamente, a N 2 pm e p( 1 p)m σ. (5) Vamos usa a aiz quadada da vaiância acima (isto é, o desvio padão de N) como estimativa da flutuação N, Supondo que p << 1, podemos esceve N p( 1 p)m. (6) N pm N N, (7) pois N N. Potanto, a condição paa que a flutuação elativa seja no máximo ε é 9

10 ε ε 1 ε N N N N N 2. (8) Podemos então defini N mico ε 2 como o meno númeo de moléculas num volume V mico capaz de pemiti a apoximação contínua com pecisão elativa ε. O sub-índice mico foi usado poque este númeo define o limia de tansição ente a possibilidade da abodagem contínua (macoscópica) e a abodagem disceta (micoscópica). Paa ε 0,01, este númeo é N mico 10 4 moléculas. (9) Este é um númeo bastante gande. Como o volume ocupado po uma molécula é L m 3, o volume V mico ocupado po N mico moléculas é ou V 3 3 mico N micolm Lmico N L, mico 3 m L mico 1/3 3 N L 2 / mico m ε L m. (10) O meno volume cúbico paa o qual a apoximação contínua ainda seia válida com pecisão de ε 1% tem lado L mico 21,5L m. Paa o feo esse lado seia L mico 5,2 nm, paa a água L mico 7,0 nm e paa o a a condições nomais de tempeatua e pessão L m 73 nm. Estes númeos são muito pequenos. 10

11 De maneia geal, paa gases a apoximação contínua funciona bem até escalas da odem de 100 nm e, paa sólidos e líquidos, ela funciona bem até escalas uma odem de gandeza meno (~10 nm). Outo conceito impotante paa a definição do limia a pati do qual a apoximação contínua é justificável é o de live caminho médio. O live caminho médio λ de uma molécula pode se definido como a distância média que uma molécula pecoe ente colisões sucessivas com outas moléculas. Paa o a, a condições nomais de tempeatua e pessão, λ 94 nm. Paa sólidos e líquidos este valo é ainda meno, da odem de 1 nm. Uma maneia altenativa de estima L mico é considea que λ/l mico 1 define a meno escala paa a qual a apoximação contínua é válida. Temos então, novamente, paa gases um valo de L mico 100 nm e paa líquidos e sólidos um valo de L mico ainda meno do que o da estimativa anteio. Estas estimativas numéicas são suficientes paa gaanti que tabalhando em escalas de até apoximadamente 0,1 µm podemos usa confotavelmente a apoximação contínua. 11

12 Quando fo peciso tabalha usando escalas abaixo desse valo, a apoximação contínua não pode mais se adotada. Em tais casos deve-se usa modelos micoscópicos discetos baseados em teoias físicas conhecidas como mecânica estatística, mecânica quântica ou teoia cinética da matéia. É po isso que a nanofísica é tão impotante e estimulante nos dias atuais: o fato de que tecnologicamente estamos podendo tabalha com mateiais em escala nanomética obiga os físicos a desenvolve modelos micoscópicos discetos que nada tem a ve com os modelos contínuos tadicionais. Isso está levando a física a aplica suas teoias em teitóios ainda não exploados e sempe que isso acontece há a pomessa de que novos fenômenos físicos sejam descobetos. Como o título de uma palesta pofeida pelo físico note-ameicano Richad Feynman ( ) em 1959 hoje tida como uma das pecusoas da nanociência sugee: Thee s plenty of oom at the bottom. Veja uma epodução dessa palesta em Não estamos inteessados em nanofísica e em teoias micoscópicos neste cuso, potanto não vamos consideá-las aqui. 12

13 Nosso objetivo, daqui po diante, seá estuda a mecânica dos fluidos tatando-os como meios contínuos. Vamos começa po fluidos em epouso. Estática dos fluidos As foças que atuam sobe uma poção de um meio contínuo podem se classificadas em foças voluméticas e foças supeficiais. As foças voluméticas são foças de longo alcance, como a foça gavitacional, que atuam sobe todos os pontos do meio. Po causa disso, a foça volumética total atuando sobe um elemento de volume V do meio é popocional a V. Po exemplo, supondo que o elemento de volume tem massa m a foça gavitacional atuando sobe o elemento é F mg ρ Vg, (11) onde ρ é a densidade do meio e g é a aceleação da gavidade. A expessão acima pode se eescita como F f g V, (12) onde f g é a chamada densidade de foça gavitacional: 13

14 f g ρg. (13) Paa qualque outa foça volumética atuando sobe o fluido se pode defini uma densidade de foça f coespondente. As foças supeficiais são foças de cuto alcance, como as foças intemoleculaes, ente poções vizinhas do meio. As foças supeficiais ecebem este nome poque são tansmitidas atavés das supefícies de contato ente difeentes egiões do meio e, po causa disso, elas também são chamadas de foças de contato. Dado um elemento de áea S do fluido ou do ecipiente que o contém, o númeo de moléculas que está em contato dieto com esse elemento de áea é tanto maio quanto maio fo S. Po causa disso, a foça de supefície sobe um elemento de supefície de áea S é popocional a S. A foça de supefície po unidade de áea é chamada geneicamente de tensão. Paa que um fluido esteja em equilíbio mecânico, ou equilíbio hidostático, é necessáio que as esultantes das foças voluméticas e supeficiais que atuam sobe todos os seus pontos se anulem. 14

15 Pessão Física II Ondas, Fluidos e Temodinâmica USP Pof. Antônio Roque Uma foça supeficial atuando sobe um pequeno elemento de áea do meio é um veto que pode te qualque oientação em elação a nomal à áea, mas que sempe pode se sepaado em uma componente nomal e em uma componente tangencial à áea. A componente nomal é chamada de pessão e a componente tangencial é chamada de tensão de cisalhamento (veja a figua abaixo). A tensão de cisalhamento ainda pode se decomposta em duas componentes dadas po suas pojeções ao longo de dois eixos otogonais paalelos à supefície (veja a figua acima). Tanto a pessão como a tensão de cisalhamento são medidas em unidades de foça po unidade de áea. A unidade de pessão e de tensão no Sistema Intenacional é o pascal (Pa), em homenagem ao filósofo, físico e matemático fancês Blaise Pascal ( ), que foi um dos pioneios do estudo de fluidos. 15

16 1 Pa 1 N/m 2. Outas unidades comumente encontadas são o ba, a atm e o to (ou milímetos de mecúio, mm Hg): 1 ba 10 5 Pa; 1 atm 1, Pa; 1 to 1 mm Hg 1, Pa. A difeença fundamental ente sólidos e fluidos está na sua maneia de esponde a tensões de cisalhamento. Quando uma supefície de um sólido é submetida à ação de uma tensão de cisalhamento, devida a uma foça extena tangencial à supefície, po exemplo, ele se defoma até que as tensões de cisalhamento intenas que apaecem em esposta à foça extena equilibem a foça extena. Nesse momento, o sólido fica novamente em equilíbio. Dizemos que os sólidos podem equiliba tensões de cisalhamento. Po outo lado, quando um fluido é submetido a uma tensão de cisalhamento ele escoa, ou flui, e pemanece escoando até que a tensão de cisalhamento temine. Dizemos que os fluidos não podem equiliba tensões de cisalhamento. Esta popiedade dos fluidos pode se consideada como a definição de fluido do ponto de vista macoscópico. 16

17 Uma definição fomal de pessão pode se feita da seguinte maneia. Consideemos uma supefície imagináia S que divide um fluido em duas pates. Um elemento de áea infinitesimal dessa supefície seá caacteizado como tendo áea ds e dieção dada pelo veto nomal ao elemento de áea e de módulo unitáio nˆ (veja a figua abaixo). Pode-se então defini o veto elemento de supefície como ds ( ds, ds, ds ) nˆ ds x y z. (14) A escolha sobe qual dos dois lados da supefície S deve se definido como a dieção positiva do veto nˆ é abitáia, mas uma vez feita a escolha ela deve se consistentemente mantida. O lado paa o qual nˆ aponta seá chamado de positivo e o lado oposto de negativo. Po convenção univesal, dada uma supefície fechada o lado positivo é escolhido como o lado que aponta paa foa do volume enceado pela supefície (veja a figua a segui). 17

18 Seja agoa um elemento de supefície como o definido acima em um ponto qualque de um fluido em equilíbio hidostático. Como o fluido está em equilíbio, não há tensões de cisalhamento e a única foça de contato atuando sobe o elemento de supefície é a foça nomal execida pelo mateial do lado positivo da supefície sobe o mateial do lado negativo dela. Essa foça pode se escita como df pds pnds ˆ, (15) onde o coeficiente de popocionalidade p é chamado de pessão. Segundo convenção também univesal, uma pessão positiva coesponde a uma foça apontando paa dento de um volume (pense na pessão atmosféica sobe o seu copo). Como a dieção positiva da supefície que envolve o volume aponta paa foa do volume, paa que a definição acima esulte numa foça apontando paa dento do volume quando a pessão é positiva é necessáio o sinal de menos multiplicando o temo da dieita em (15). 18

19 A figua abaixo ilusta o que foi dito acima: a foça atuando sobe um elemento de supefície quando a pessão é positiva aponta no sentido contáio ao da nomal à supefície. A foça total atuando sobe uma supefície S é dada pela soma de todas as pequenas foças atuando sobe todos os elementos de supefície que compõem S: F df S S pds. (16) Em pincípio, a definição de pessão feita acima pemite que a pessão tenha valoes difeentes paa elementos de supefície com difeentes oientações nˆ em um ponto qualque do fluido. No entanto, a pessão é uma gandeza escala que depende apenas do ponto onde é medida e não da oientação da supefície. Pascal foi o pimeio a pecebe isto e, po isso, este fato é conhecido como lei de Pascal. 19

20 O enunciado fomal da lei de Pascal é: A pessão em um fluido em epouso é independente da dieção do elemento de supefície sobe o qual ela atua. A segui, faemos uma demonstação da lei de Pascal. Vamos assumi, po hipótese, que a pessão possa depende da oientação da supefície. Consideemos então um elemento de volume de lados infinitesimais no fomato de uma cunha tendo o ponto P onde se mede a pessão em seu cento (veja a figua abaixo). Vamos chama as áeas dos cinco lados do elemento de volume de ds, ds x1, ds x2, ds y e ds z, onde ds x1 é a áea da face da cunha pependicula ao eixo x cuja nomal aponta na dieção positiva de x e ds x2 é a áea da face da cunha pependicula ao eixo x cuja nomal aponta na dieção negativa de x (note que essas duas áeas são iguais, apenas as suas nomais apontam em sentidos opostos). 20

21 Os valoes dessas cinco áeas podem se escitos como ds δxδz/senθ δxδy/cosθ, ds x1 ds x2 (1/2)δyδz, ds y δxδz e ds z δxδy, de maneia que os seus espectivos vetoes elementos de supefície são (em temos de suas componentes catesianas): ds δxδz senθ δxδy cos θ ( 0,senθdS, cos θds ) 0,senθ, cos θ ( 0, δxδz, δxδy) ds ( δyδz,0,0) ds ( δyδ,0,0) x1 x2 z ds y S 0,0, δxδy d z ( 0, δxδz,0) ( ) A foça de supefície total atuando sobe o elemento de volume é dada pela soma das foças de supefície atando sobe suas faces, df pds px ds x1 px2 1,. ( ds x ) p yds y pzds z 1, (17) onde as pessões atuando sobe as cinco faces da cunha foam indicadas po p, p x1, p x2, p y e p z. Substituindo as expessões paa os cinco vetoes elementos de supefície nesta equação, temos que as componentes da foça de supefície total nas dieções x, y, z são e df x 1 2 ( p p ) δyδz x2 x1, (18) df y ( p p) δxδz (19) y,, 21

22 df z ( p p) δxδy. (20) z No equilíbio, essas foças supeficiais devem balancea as foças voluméticas atuando sobe o elemento de volume. Seja f a densidade das foças voluméticas atuando sobe o fluido. Podemos então esceve a foça volumética total atuando sobe o elemento de volume como df fdv fδxδyδz vol. (21) A condição de equilíbio hidostático é a de que as somas das componentes das foças supeficiais e voluméticas nas tês dieções espaciais sejam todas nulas, ou seja: 1 2 df x + f dv 0 x ( p p ) yδz + f δxδyδz 0 δ, (22) x2 x1 x df y + f dv 0 y ( p p) xδz + f δxδyδz 0 y df z δ y (23) + f dv 0 z ( p p) xδy + f δxδyδz 0 z δ. (24) z 22

23 No limite em que o volume do elemento de volume tende a zeo, isto é, quando δx 0, δy 0 e δz 0, os temos com dimensão de volume nas equações acima vão paa zeo mais apidamente que os temos com dimensão de áea. Isto que dize que no limite em que dv 0 as foças voluméticas podem se despezadas em compaação com as foças supeficiais. Isto nos pemite esceve as equações (22) (24) como ( p p ) yδz 0 x2 x1 ( p) xδz 0 p y δ (25) δ (26) ( p) xδy 0 p z δ. (27) Estas equações implicam que p p y p z e p x1 p x2 p x. Até agoa só foi mostado que a pessão no ponto P é a mesma nas dieções y e z, mas pode te um valo difeente na dieção x. Poém, o elemento de volume em foma de cunha podeia te sido desenhado com qualque outa oientação, desde que continuasse contendo o ponto P em seu inteio paa que no limite dv 0 ele tenda ao ponto P. 23

24 Em paticula, o elemento de volume podeia se giado de maneia que a sua face em foma de ampa esteja ao longo da dieção x ou ao longo da dieção z. Em tais casos, a epetição dos cálculos acima nos levaia às condições p p x p z e p y1 p y2 p y e p p x p y e p z1 p z2 p z. Essas condições todas só podem se satisfeitas se a pessão no ponto P fo um escala de valo p. Isto pova a lei de Pascal. Po causa da lei de Pascal, podemos dize que existe um campo escala de pessão em um fluido. Um campo f em um meio contínuo é uma função f(x, y, z, t) das coodenadas espaciais x, y, z e, possivelmente, do tempo t que epesenta o valo de alguma gandeza física em qualque ponto do espaço e em qualque instante do tempo. Quando a gandeza f fo escala falamos de um campo escala; quando ela fo vetoial, falamos de um campo vetoial. Exemplos de campos escalaes são a pessão p(x, y, z, t), a densidade ρ(x, y, z, t) e a tempeatua T(x, y, z, t). Exemplos de campos vetoiais são o campo de velocidades v ( x, y, z, t), o campo gavitacional g ( x, y, z, t) e os campos elético e magnético E ( x, y, z, t) e B ( x, y, z, t). 24

25 Na pova da lei de Pascal feita acima, pudemos despeza as foças voluméticas em elação às foças supeficiais poque estávamos inteessados na pessão em um ponto do fluido e, paa detemina suas popiedades, tomamos o limite em que um elemento de volume do fluido tendia a zeo. De maneia geal, poém, quando se estuda estática dos fluidos não se está inteessado no equilíbio de um ponto do fluido, mas de um volume macoscópico dele. Nosso póximo passo, potanto, seá detemina equações paa o equilíbio hidostático de um volume macoscópico abitáio de um fluido. Vamos considea um volume V abitáio de fluido como o da figua abaixo. A áea supeficial do volume é S. Um elemento de volume é indicado po dv e um veto elemento de supefície po ds. 25

26 Vamos supo que o fluido no inteio do volume esteja sob ação de uma foça volumética cuja densidade é f e sob ação de foças supeficiais devidas ao campo de pessão p no fluido (como o fluido está em equilíbio, as tensões de cisalhamento são nulas). A foça total atuando sobe o volume V é então F total fdv V S pds, (28) onde o cículo sobe a integal de supefície no segundo temo apenas indica que a integal deve se feita pela supefície fechada que encea o volume. A condição de equilíbio hidostático é que a foça total sobe qualque volume de fluido deve se nula, ou seja: V fdv S pds 0. (29) Se esta condição não fo satisfeita exatamente em algum instante de tempo, o fluido deve se move nesse instante. A equação (29) é a chamada foma integal da condição de equilíbio hidostático. 26

27 Paa que as integais na equação (29) possam se esolvidas, é necessáio conhece os campos f ( x, y, z) e p(x, y, z) paa todos os pontos do volume do fluido. Isto nem sempe é fácil ou possível e, nomalmente, é mais conveniente usa uma foma local da condição de equilíbio, válida paa um ponto do fluido ao invés de paa um volume. Paa estabelece uma foma local da condição de equilíbio, consideemos o elemento de volume dv no inteio do volume V na figua acima. Os lados do elemento de volume são dx, dy e dz, de maneia que o seu volume é dv dxdydz. Seja ( x, y, z) f a densidade de foça volumética extena atuando sobe o fluido. Supondo que o elemento de volume é suficientemente pequeno paa que a densidade f não vaie significativamente em seu inteio, podemos toma o valo de f no ponto cental do elemento de volume paa epesenta f po todo o elemento de volume (veja a figua abaixo). 27

28 A foça volumética atuando sobe o volume dv é então fdv fdxdydz, (30) onde o veto f acima atua sobe o ponto cental de dv. Vamos faze nossa análise sepaando os cálculos vetoiais em suas componentes nas dieções x, y e z. Paa isso, vamos pecisa das componentes da foça acima ao longo dessas tês dieções. Elas são: f x dxdydz, f y dxdydz e f z dxdydz. Começando pela análise das foças ao longo da dieção x, a figua anteio nos mosta que a condição de equilíbio das foças ao longo da dieção x é (lembe-se que a foça devida à pessão sobe cada face é df pnˆ ds ) dxdydz f x ( A) p( x + dx) p( x) A 0 Adx + p( x) A p( x + dx) A 0 f x f x No limite em que dx 0, p ( x + dx ) dx p ( x). dp f x dx. (31) 28

29 Este esultado nos diz que a componente x da foça volumética em um dado ponto do fluido é igual à taxa de vaiação da pessão com x nesse ponto. Refazendo a análise acima paa as dieções y e z obtemos esultados similaes: e f y dp dy (32) dp f z. (33) dz Estas tês equações podem se escitas de foma mais compacta como f gad p p onde opeado gadiente, ou nabla, é definido po x, y, z, (34). (35) Lembando das aulas de cálculo, o veto gadiente de p, nomal a supefícies em que a pessão p é constante e aponta no sentido de máxima vaiação positiva da pessão. As supefícies em que p é constante são chamadas de supefícies isobáicas. p, é Note que a equação (34) pode se eescita como f p 0. (36) 29

30 A equação (36) é a chamada foma difeencial da condição de equilíbio hidostático. Ela é uma equação difeencial vetoial que, no equilíbio, deve se válida paa todos os pontos do fluido. Po exemplo, quando f fo a densidade da foça gavitacional, atuando ao longo do eixo z tomado como positivo apontando paa cima, de maneia que f x 0, f y 0 e f z ρg, as equações (31) (33) ou (36) nos dão dp dx dp dy 0 0, (37), (38) dp dz ρ g. (39) As duas pimeias equações acima implicam que, num campo gavitacional, a pessão no inteio do fluido não depende de x e y. A teceia equação, que pode se eescita como dp ρgdz, implica que, num campo gavitacional, a pessão no fluido diminui com a altitude e aumenta com a pofundidade. Esses são os compotamentos com os quais estamos acostumados. 30

31 Vale a pena menciona que o caso do campo gavitacional é um dos casos simples em que a foma integal da condição de equilíbio hidostático (equação 29) pode se esolvida sem apoximações. Isto po causa da simetia do poblema. Como execício paa casa, obtenha a solução da equação (29) supondo que f ρgzˆ e que a pessão só vaia ao longo do eixo z, p p(z). Moste que a solução obtida é idêntica à da equação (39). Um caso paticula da equação (39) ocoe quando a densidade do fluido é constante: ρ constante. Um fluido cuja densidade é constante é chamado de fluido incompessível. Fazendo ρ constante na equação (39), ela pode se facilmente integada em elação a z. Tomando os limites de integação como z 1 e z 2 (z 2 > z 1 ), obtemos p ( z ) p( z ) g( z ) ρ. (40) z1 Se z 1 coesponde à supefície da tea (po exemplo, ao nível do ma) em que a pessão é a pessão atmosféica p 0 e z 2 fo uma altua h acima da supefície, a equação acima implica que p ( h) p ρgh 0, (41) ou seja, a pessão decesce lineamente com a altitude. Obviamente, como o a é um fluido compessível este esultado está eado. 31

32 Notem, po exemplo, que a equação (41) pevê que a pessão diminui lineamente com a altua até chega a zeo paa uma altua h 0 p0 ρg Substituindo os valoes p 0 1 atm, ρ 1,2 kg/m 3 (densidade do a a condições nomais de pessão e tempeatua) e g 9,8 m/s 2, chegamos a h 0 8,6 km. Este valo é um pouco mais baixo do que a altua do Monte Eveest (~8,8 km), o que pova que a equação (41) está eada, pois alpinistas já chegaam ao topo do Monte Eveest sem necessidade de oupas pessuizadas. De qualque maneia, o esultado obtido fonece uma estimativa coeta da odem de gandeza da altitude a pati da qual as popiedades da atmosfea começam a muda em elação às condições na supefície da tea (fim da toposfea).. Po outo lado, aplicando a equação (40) a um líquido incompessível no inteio de um ecipiente e tomando z 1 como a supefície em contato com o a (chamada de supefície live do líquido) e z 2 como estando a uma pofundidade h abaixo da supefície live p( h) p + ρgh, (42) 0 ou seja, a pessão no inteio do líquido aumenta lineamente com a pofundidade. 32

33 A equação (42) é conhecida como lei de Stevin, em homenagem ao engenheio e matemático flamengo Simon Stevin ( ) que estabeleceu expeimentalmente que a pessão no inteio de um líquido não depende da foma do ecipiente, mas apenas da pofundidade. Po exemplo, consideando que a densidade da água salgada do ma é constante e vale ρ ma 1030 kg/m 3, a equação (42) pevê que a cada aumento de h na pofundidade do ma a pessão aumenta po 1 atm, onde h vale h p ρ g ma 1, Pa 3 2 ( 1030 kg/m )( 9,8 m/s ) 5 10,04 m 10 m. (43) Esta é uma boa estimativa paa o aumento eal da pessão à medida que se afunda mais e mais no oceano. Em paticula, paa o fundo do ma, onde h ~ 10 km, a equação acima pevê que a pessão seia de apoximadamente 1000 atm. Na ealidade, a pessão no fundo do oceano é um pouco maio que 1000 atm, o que indica que a densidade da água do ma não é constante (a vaiação de ρ ma ente a supefície e o fundo é de apoximadamente 4,5%). Poém, a hipótese de toma um líquido como a água como um fluido incompessível é muitíssimo melho do que a de tata um gás como o a como um fluido incompessível. 33

34 A foça gavitacional é uma foça consevativa, isto é, ela pode se obtida a pati de uma enegia potencial U (no caso, enegia potencial gavitacional) po F U. (44) Definindo a densidade de enegia potencial gavitacional (enegia potencial gavitacional po unidade de volume) po u, podemos esceve Substituindo (45) em (36), f u. (45) ( u + p) 0 u p 0. (46) Esta equação implica que u + p constante. (47) Assim como se pode pensa em supefícies equipotenciais paa o campo gavitacional, também se pode pensa em supefícies equipotenciais paa o campo de pessão. Estas últimas seiam supefícies onde o valo do potencial p é constante, ou seja, seiam as supefícies isobáicas. Potanto, as supefícies equipotenciais do potencial p são as supefícies isobáicas. A foma difeencial da condição de equilíbio hidostático, f p, 34

35 exige que a densidade de foça volumética seja um campo gadiente 4 paa que haja equilíbio. Como a densidade da foça gavitacional é um campo gadiente (veja a equação 45), é possível a existência de equilíbio hidostático paa um fluido em um campo gavitacional. Lembando das aulas de cálculo de váias vaiáveis, um campo gadiente satisfaz a elação ( Φ ) 0, (48) isto é, o otacional de um campo gadiente é nulo. Potanto, se a foça volumética agindo sobe um fluido tive otacional não nulo, f 0, (49) o fluido nunca podeá esta em equilíbio hidostático. 4 Seja um campo escala Φ(x, y, z) qualque. O gadiente de Φ, Φ, é um campo vetoial chamado de campo gadiente. 35