Sistemas de Referência Diferença entre Movimentos Cinética. EESC-USP M. Becker /58

Transcrição

1 SEM4 - Aula 2 Cinemática e Cinética de Patículas no Plano e no Espaço Pof D Macelo ecke SEM - EESC - USP

2 Sumáio da Aula ntodução Sistemas de Refeência Difeença ente Movimentos Cinética EESC-USP M ecke 29 2/58

3 ntodução Cinemática:estuda os movimentos dos copos (não suas causas) Cinética ou Dinâmica: estuda os movimentos focando suas causas e oigem Análise baseada na geometia do sistema mecânico 3 Leis de Newton nécia Vaiação da Quantidade de Movimento Linea Ação e Reação EESC-USP M ecke 29 3/58

4 Sumáio da Aula ntodução Sistemas de Refeência Difeença ente Movimentos Cinética EESC-USP M ecke 29 4/58

5 Sistema de Refeência necial ase vetoial com oigem pé-definida Veto Posição z OA x i + y j + z k A Amplitude do veto nas dieções dos vesoes x k i O OA j y OA x y z EESC-USP M ecke 29 5/58

6 Sistema de Refeência necial Veto Velocidade O veto velocidade absoluta é a deivada do veto posição (epesentado no sistema inecial) v A d ( ) OA d d d ( x ) x ( y ) ( z ) x& y& z& v A x& i + y& j + z& k EESC-USP M ecke 29 6/58

7 Sistema de Refeência necial Veto Aceleação O veto aceleação absoluta é a 2 a deivada do a veto posição (epesentado no sistema inecial) A a A d 2 2 ( ) OA d d d ( x ) ( y ) ( z ) && x i + && y j + && x && y && z && z k EESC-USP M ecke 29 7/58

8 Sistema de Refeência Móvel Sistema de Refeência Móvel: Pode facilita a epesentação de deteminados movimentos complexos (dividindo-os em movimentos mais simples que se somam paa compo o movimento absoluto) Sistema Móvel com anslação Pua Sistema Móvel com Rotação Pua Matiz de ansfomação de Coodenadas Relação ente os sistemas de efeência que viabiliza a passagem de um sistema móvel paa o inecial e vicevesa Qq Movimento é uma composição desses dois! EESC-USP M ecke 29 8/58

9 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando Sistema necial: (x,y,z), oigem O Sistema Móvel: (x,y,z ), oigem A z k OA z k A { } A j y i x Cusoes de ambos sistemas pemanecem sempe paalelos! i, j, k i j k,, {} i O j y x EESC-USP M ecke 29 9/58

10 Sistema de Refeência Móvel Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando Assim: i i k j k j s s s s EESC-USP M ecke 29 /58

11 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando Dado um veto: Posição de A no Sistema necial z z + O OA A k {} i x O j O OA k A { } A j y i x y Posição de no Sistema necial Posição de elativa a A no Sistema Móvel EESC-USP M ecke 29 /58

12 {} Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando k z i O Paa que a soma seja possível é necessáio que j o veto seja epesentado no sistema inecial: O OA z k A A { } A j y i x y A A x EESC-USP M ecke 29 2/58

13 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando Paa calcula a velocidade absoluta: Deiva-se o veto posição com elação ao tempo No sistema necial: v d d ( ) ( + ) O d d OA A ( ) + ( ) + ( ) OA va + v A A v A + v A EESC-USP M ecke 29 3/58 d A

14 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel ansladando Paa calcula a aceleação absoluta: Deiva-se o veto velocidade com elação ao tempo No sistema necial: a d 2 2 ( ) ( + ) O aa + a A d 2 2 a A OA + a A A EESC-USP M ecke 29 4/58

15 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Sistema necial: (x,y,z), oigem O Sistema Móvel: (x,y,z ), oigem A z k OA z k A { } A j y i x Cusoes de ambos sistemas deixam de se paalelos e passam a mante uma elação que depende do ângulo {} i O j y x EESC-USP M ecke 29 5/58

16 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Supondo que o sistema móvel gie em tono de z : z k OA z k A { } A j y i x ϖ & ( t) & ϖ && ( t) {} i O j y x EESC-USP M ecke 29 6/58

17 Sistema de Refeência Móvel Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Pojetando-se os cusoes do sistema móvel paa o inecial (foma maticial): i s c i x y i j O i j x y {} { } k j i c s s c k j i s s s s EESC-USP M ecke 29 7/58

18 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Como o deteminante de é sempe unitáio: y y s s j j i x {} { O i } x s s EESC-USP M ecke 29 8/58

19 Sistema de Refeência Móvel z Sistema Móvel Giando z k Supondo que o sistema móvel gie em tono de y : c s s c ϖ &(t) k i x {} { O i } x EESC-USP M ecke 29 9/58

20 Sistema de Refeência Móvel z Sistema Móvel Giando z k Supondo que o sistema móvel gie em tono de x : c s s c ϖ & (t) k j y {} { O j } y EESC-USP M ecke 29 2/58

21 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Deve-se obseva que a matiz de tansfomação depende do tempo! {} { } EESC-USP M ecke 29 2/58

22 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Dado um veto: Posição de A no Sistema necial z k {} i x O j O OA z k A { } A j y i x y + O OA Posição de no Sistema necial A Posição de elativa a A no Sistema Móvel EESC-USP M ecke 29 22/58

23 {} Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando k z i O Paa que a soma seja possível é necessáio que j o veto seja epesentado no sistema inecial: O OA z k A A { } A j y i x y A A x EESC-USP M ecke 29 23/58

24 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Paa calcula a velocidade absoluta: Deiva-se o veto posição com elação ao tempo No sistema necial: v d d v ( ) ( + ) O A ( ) ( ) + ( ) A + OA d OA d ϖ + A + d v ( ) A A A EESC-USP M ecke 29 24/58

25 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Assim: v v A + ϖ + ( ) A va v v + ϖ A A + v A EESC-USP M ecke 29 25/58

26 Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Paa calcula a aceleação absoluta: Deiva-se o veto velocidade com elação ao tempo No sistema necial: a 2 d 2 d d ( ) ( + ) O d 2 2 d OA A d ( ) ( ) ( ) + + OA A A d [ ( ) ] v + ϖ + v A A EESC-USP M ecke 29 26/58 A

27 Sistema de Refeência Móvel Sistema de Refeência Móvel Sistema Móvel Giando Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) A A A d d v d a ϖ ϖ + + ( ) ( ) ( ) ( ) A A A d d d d 2 2 ϖ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A A A A A a v v a a & ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ EESC-USP M ecke 29 27/58

28 Execício magine que um pistão hidáulico com uma massa m em sua extemidade gie com velocidade angula em elação ao eixo Z (inecial) Um sistema móvel de efeência X Y Z, solidáio ao pistão gia tb com uma velocidade angula Obtenha os vetoes posição, velocidade e aceleação do ponto nos sistemas inecial e móvel Y Y Z Z X X EESC-USP M ecke 29 28/58

29 Execício 2 magine o disco pincipal giando com velocidade angula ω constante Um disco secundáio D é montado a uma distância b em elação ao cento de otação do disco pincipal sobe o supote C (fixo no disco pincipal) O cento do disco secundáio enconta-se a uma altua c em elação ao disco pincipal e sua otação p é constante Deseja-se calcula a aceleação absoluta de um ponto A no disco secundáio, exatamente no instante em que o e o ponto A enconta-se na posição vetical em elação ao disco secundáio EESC-USP M ecke 29 29/58

30 Execício 2 Figua EESC-USP M ecke 29 3/58

31 Execício 3 magine uma placa montada sobe um eixo otativo Nesta placa constói-se um asgo onde uma patícula A, conectada a uma mola, executa um movimento etilíneo O eixo gia com uma velocidade angula (t) e uma aceleação angula (t) A patícula executa movimentos oscilatóios etilíneos s(t) dento do asgo O asgo é constuído na placa com um ângulo de inclinação β (fixo) Detemine os vetoes de velocidade e aceleação absoluta do ponto A EESC-USP M ecke 29 3/58

32 Execício 3 Figua EESC-USP M ecke 29 32/58

33 Execício 4 O sistema mecânico mostado na figua é composto pela estutua A, pelo oto, pelo baço com massa despezível C e pela massa concentada D ês sistemas de efeência devem se utilizados, sendo o o necial, o 2 o, fixo no oto, e o 3 o, 2 solidáio ao baço C A velocidade angula do oto é β [ad/s], vaiando com uma taxa β [ad/s 2 ] Em um dado instante os ângulos β e ϕ são difeentes de o, e a otação e aceleação do sistema baço-massa pontual é dada po ϕ e ϕ Obtenha os vetoes posição, velocidade e aceleação absoluta da massa pontual em D EESC-USP M ecke 29 33/58

34 Execício 4 Figua YY β β O Y 2 R O X 2 X X No instante epesentado XX e YY ϕ ϕ ϕ C L D A EESC-USP M ecke 29 34/58

35 Sumáio da Aula ntodução Sistemas de Refeência Difeença ente Movimentos Cinética EESC-USP M ecke 29 35/58

36 Difeenças ente Movimentos Movimentos Planos Caacteizados po otações consecutivas em tono dos mesmos eixos (Z, Z, Z 2, ) Assim: n- n n EESC-USP M ecke 29 36/58

37 Difeenças ente Movimentos As matizes de ansfomação têm a seguinte estutua: cos -sen sin cos s s n cos n -sen n sin n cos n n s n n- s EESC-USP M ecke 29 37/58

38 Difeenças ente Movimentos ansfomação de Coodenadas da base inecial { } paa a última base móvel { n }: n s s c n s n c -s n c n -s s c c( + + n ) s( + + n ) -s( + + n ) c( + + n ) EESC-USP M ecke 29 38/58

39 Difeenças ente Movimentos As velocidades angulaes absolutas no sistema inecial { } seão: ω + ω ω n + 2 n- + + n- n n EESC-USP M ecke 29 39/58

40 Difeenças ente Movimentos Assim, obseva-se que em movimentos planos, as otações ocoem sempe no mesmo eixo, podendo se somadas dietamente Caso as otações, 2,, n sejam constantes, as espectivas aceleações angulaes seão nulas! EESC-USP M ecke 29 4/58

41 Difeenças ente Movimentos Movimentos i-dimensionais Neste caso, as otações ocoem sucessivamente em eixos difeentes (pe: Z, X, Z 2, ) Assim: EESC-USP M ecke 29 4/58

42 Difeenças ente Movimentos As matizes de ansfomação: c -s s c s s 2 c 2 -s 2 s 2 c 2 2 s 2 s 3 c 3 -s 3 s 3 c 3 3 s 3 2 s EESC-USP M ecke 29 42/58

43 Difeenças ente Movimentos As velocidades angulaes absolutas no sistema inecial { } seão: 2 c ω ω s ω c + 3 s s 2 2 s - 3 c s c 2 EESC-USP M ecke 29 43/58

44 Difeenças ente Movimentos Assim, obseva-se neste exemplo que em movimentos 3-D, emboa as otações fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas móveis), quando vistas no sistema necial, sugem temos em Y Mesmo que as otações, 2,, n sejam constantes, as espectivas aceleações angulaes, vistas no sistema inecial, NÃO seão nulas (Apesa de, 2,, n seem nulas) EESC-USP M ecke 29 44/58

45 Difeenças ente Movimentos As aceleações angulaes absolutas no sistema inecial { } seão: ω d ω ω 2 d ω 2 2 s 2 c EESC-USP M ecke 29 45/58

46 Difeenças ente Movimentos ω 3 d ω 3 2 s + 3 c s s c 2 2 c + 3 s s c c s 2 As aceleações angulaes absolutas dos sistemas 2 e 3 apaecem pois os vetoes velocidade angula vaiam de dieção EESC-USP M ecke 29 46/58

47 Sumáio da Aula ntodução Sistemas de Refeência Difeença ente Movimentos Cinética EESC-USP M ecke 29 47/58

48 Cinética Foca causas e oigem de movimentos aseia-se nas 3 Leis de Newton: Si saac Newton ( ) 727) Pimeia Lei de Newton ( Pincípio da nécia):"um móvel tende a pemanece em epouso ou em movimento etilíneo e unifome se a esultante das foças que atuam sobe ele fo nula" Segunda Lei de Newton (Pincípio Fundamental): "Se um copo estive sujeito a uma esultante não nula, esta causaá uma aceleação popocional à sua intensidade" eceia Lei de Newton (Pincípio da Ação e Reação): "Paa cada foça de ação coesponde uma foça de eação com as seguintes caacteísticas :mesma dieção; sentidos contáios; e mesma intensidade EESC-USP M ecke 29 48/58

49 Cinética Pimeia Lei de Newton (Pincípio da nécia): Se nenhuma foça extena fo aplicada sob uma patícula, esta manteá sua quantidade de movimento linea constante J A m v A c te EESC-USP M ecke 29 49/58

50 Cinética Segunda Lei de Newton (Vaiação da Quantidade de Movimento Linea): A Quantidade de Movimento Linea de uma patícula só pode se alteada mediante a aplicação de foças extenas n Σ i F i d J A d m v A m v A + m v A EESC-USP M ecke 29 5/58

51 Cinética Consideando que a vaiação de massa seja nula: n Σ FF d J m v A + m i v A i n Σ i F i J A m a A ou n Σ i n F i m n a A EESC-USP M ecke 29 5/58

52 Cinética eceia Lei de Newton (Pincípio da Ação e Reação): ona possível a constução de Diagamas de Copo Live 2 a e 3 a Leis juntas tonam possível obte um conjunto de equações esponsável po desceve o movimento do copo ao longo do tempo e obte as foças EESC-USP M ecke 29 52/58

53 Cinética Equações de Movimento: Equações Difeenciais de 2 a Odem Lineaes Não Lineaes x(t) fç(x(t); x(t)) Condições niciais de Movimento x(); x() EESC-USP M ecke 29 53/58

54 Execício A patícula a segui desloca-se sobe um cano giando com velocidade angula constante ω Pede-se paa detemina a equação de movimento da patícula 2 ω EESC-USP M ecke 29 54/58

55 Execício Sistemas de coodenadas 2 Y 2 Z 2 Y Y 2 x(t) A Z ω O Z X 2 X X EESC-USP M ecke 29 55/58

56 Execício O sistema mecânico mostado na figua é composto pela estutua A, pelo oto, pelo conjunto baço-mola com massa despezível C e pela massa concentada D ês sistemas de efeência devem se utilizados, sendo o o necial, o 2 o, fixo no oto, e o 3 o, 2 solidáio ao conjunto baço-mola C A velocidade angula do oto é β [ad/s], vaiando com uma taxa β [ad/s 2 ] Em um instante genéico t, os ângulos β e ϕ são difeentes de o, e a otação do sistema baço-mola é dada po ϕ e ϕ Calcule: (a) as matizes de tansfomação de coodenadas dos sistemas móveis paa o inecial e vice-vesa; (b) uma expessão analítica paa a velocidade angula absoluta da base 2 epesentando-a no sistema de efeência 2 ; EESC-USP M ecke 29 56/58

57 Continuação (c) Em um dado instante de tempo, o baço C é tavado no ponto O e impedido de gia, ficando na posição ϕ Detemine uma expessão analítica paa a aceleação absoluta da massa no sistema móvel 2 ; (d) Calcule as componentes da foça nomal ente massa e baço uma mola com constante de elasticidade k e despezando-se o atito ente a patícula e o baço; (e) Obtenha uma expessão analítica paa o movimento da massa D no sistema móvel de efeência assumindo-se como condições iniciais de movimento: baço tavado em O, L() e L() EESC-USP M ecke 29 57/58

58 Execício Figua YY No instante epesentado XX e YY β β O Y 2 R O ϕ ϕ ϕ X 2 C L(t) L X X D A EESC-USP M ecke 29 58/58