1ªAula do cap. 10 Rotação

Transcrição

1 1ªAula do cap. 10 Rotação Conteúdo: Copos ígidos em otação; Vaiáveis angulaes; Equações Cinemáticas paa aceleação angula constante; Relação ente Vaiáveis Lineaes e Angulaes; Enegia Cinética de Rotação e Momento de Inécia. Refeência: Halliday, David; Resnick, Robet & Walke, Jeal. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6 a. ed. ou cap. 10 da 7ª ed. Rio de Janeio: LTC. Tiple, Paul. Física, Vol 1 cap a. ed. Rio de Janeio: LTC, 000.

2 O copo ígido O copo ígido é aquele no qual a distância ente duas patículas quaisque é fixa! A A = ( xa, ya, z A) = x, y, z ) B ( B B B θ Ângulo de otação B ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) A B A B A B = estamos inteessados em estuda a otação de um copo ígido em tono de um eixo fixo

3 O copo ígido estamos inteessados em estuda a otação de um copo ígido em tono de um eixo fixo ẑ po conveniência vamos fixa esta dieção ao longo do eixo ẑ o eixo de otação não pecisa se um dos eixos de simetia do copo xˆ θ ŷ

4 Vaiáveis otacionais a linha de efeência é pependicula ao eixo de otação e fixa ao copo. O seu deslocamento define o ângulo de otação do copo ígido. ẑ o sentido da otação é dado pela ega da mão dieita. xˆ Linha de efeência Δθ ŷ

5 Vaiáveis otacionais cada ponto do copo ígido executa movimento cicula Em geal as otações em um plano podem se facilmente descitas po um ângulo e um intevalo de tempo. Considee o compimento S do segmento de um cículo (aco) contido em ângulo θ. Se o cículo tem um aio, o compimento de sua cicunfeência é dado po L = π. t θ t 1 a) S θ S = θ o b) θ 1 x Relação 1 ad = 57,3 o ou π ad = 360 o.

6 Vaiáveis otacionais =(x, y) Velocidade tangencial Veto velocidade v, no MCU, tem módulo constante, sendo tangente a tajetóia em cada ponto. Δθ = Δs = π = π ad = π v = distância pecoida tempo gasto t Unidade: m/s v Δθ = = Δt O tempo necessáio paa pecoe uma volta completa, chama-se peíodo do movimento. O inveso do peíodo é a feqüência do movimento. ω

7 Vaiáveis otacionais A velocidade angula média (ω) do copo, no intevalo ente t 1 e t, é definida como a azão ente o deslocamento angula dθ = θ - θ 1, e o intevalo de tempo dt = t -t 1 : ω = Δθ Δt ω = π T ω = π A coodenada angula que desceve a posição de um copo na tajetóia cicula (MCU) pode se dada po: θ = θ o + ω t Em uma volta completa o ângulo é π ad.: Δs π Δθ = = = π ad F

8 Vaiáveis otacionais Um copo ígido giando em tono de um eixo fixo possui apenas duas possibilidades de otação: no sentido hoáio (-) ou anti-hoáio (+). O sentido do veto velocidade angula é dado pela ega da mão dieita: " Posiciona-se a mão dieita abeta com os dedos maioes no mesmo sentido da otação do disco. Então, o polega indicaá o sentido do veto velocidade angula." Eixo Z z Eixo d moto ω ω = Δθ Δt

9 Vaiáveis otacionais V 1 = πr 1 T V = πr T ω 1 = ω = π T T 1 = T e f 1 = f

10 Vaiáveis otacionais Exemplo Cálculo da velocidade angula da Tea em tono do seu eixo A Tea completa uma evolução a cada 3h56min (dia sideal). O módulo da sua velocidade angula é ad 6,8 ad ω = π = = 7, dia s ad s ω e a sua dieção aponta paa o note ao longo do eixo de otação.

11 Vaiáveis otacionais Velocidade Angula Instantânea: A velocidade angula instantânea ω é definida como o limite de ω paa o qual dt tende 0 dt apoxima-se de zeo : ω = lim Δθ Δt -0 Δt dθ = dt Unidade: É o adiano po segundo ( 1ad/s). Outas unidades: otações po minuto (.p.m.) ou 1.p.s. = π ad/s.

12 Vaiáveis otacionais Foça no Movimento Cicula A foça que age e modifica a dieção da velocidade de um copo é chamada foça centípeta. Qualque tipo de foça pode funciona como foça centípeta. Exemplo: Lua gia em tono da Tea devido à inteação gavitacional.

13 Vaiáveis otacionais ac = v = ω aceleação angula média é definida como: α = Δω Δt A unidade de aceleação angula é 1 ad/s = 1/s. aceleação angula instantânea a é definida como limite desta azão quando Δt tende a zeo : α = lim Δω Foça centípeta povoca a aceleação centípeta no Movimento Cicula.v = d θ Δt -0 Δt dt v = ω

14 Vaiáveis otacionais Pincipais Equações Movimento com aceleação linea constante a = constante v = vo + at Movimento com aceleação angula constante α = constante w = wo + α t x (t)= xo + vot + 1/ at θ(t) = θo + wo t + 1/ α t v = v0 + α (x x0 ) ω = ω0 + α (θ θ0 θ ( t) x( t), ω( t) v( t) e α( t) a( t) Relação ente Vaiáveis Lineaes e Angulaes: v = w a t = α a c = v / = w = w v )

15 Vaiáveis otacionais no espaço: cada ponto do copo ígido executa movimento cicula módulo do veto posição do ponto = =(x, y, z) ẑ θ ρ ρ distância do ponto ao eixo de otação ρ = ρ = sin θ xˆ ϕ s ŷ distância pecoida pelo ponto s = ρ ϕ ϕ = ângulo de otação em adianos Repesentação θ = ângulo de otação no plano

16 Vaiáveis otacionais no espaço: O deslocamento angula Δ ϕ = ϕ ϕ 1 Esta vaiável tem módulo ( Δϕ ), dieção ( ẑ ) e sentido (ega da mão dieita) a ela associados ẑ ϕ 1 ρ ŷ xˆ ϕ Δϕ Δϕ Seá um veto?

17 Δϕ Seá um veto? Na figua abaixo aplicam-se dois deslocamentos angulaes de 90º a um livo inicialmente na hoizontal; pimeio a otação em tono do eixo x e depois a otação em elação ao y. Invete-se os deslocamentos angulaes no segundo caso, isto é, pimeio otação em y depois em x. O livo acaba chegando a difeentes oientações no final. Potanto, a soma de dois deslocamentos angulaes depende da odem em que é efetuada, eliminando a possibilidade de eles seem vetoes. exemplo Δϕ não é um veto! otações sucessivas de um livo pag. 08.

18 Lembando, paa as vaiáveis lineaes... O cálculo de x(t) a pati de v(t) t x x 0 = t 0 v()dt t O cálculo de v(t) a pati de a(t) v v 0 = t t 0 a()dt t Resumo dos Conceitos Poblema dieto, x(t) (deivada) v(t) v(t) (deivada) a(t) Poblema inveso a(t) (integal) v(t) v(t) (integal) x(t) Newton

19 Deslocamento angula Δϕ( t) = ϕ( t+δt) ϕ( t) Velocidade angula (escala) média Δ ω = ϕ Δt Vaiáveis otacionais no espaço: Velocidade angula instantânea (veto) xˆ zˆ nˆ ω ρ ϕ(t) ϕ ( t + Δt) Δϕ(t) ŷ ω = lim0 Δt Δϕ Δt = dϕ dt

20 Vaiáveis otacionais no espaço: Deslocamento angula Δϕ( t ) Velocidade angula instantânea (veto) ω= lim Δ t 0 Δϕ Δt = dϕ dt Deslocamento angula Δϕ obtido atavés da ω velocidade angula: xˆ ω ϕ(t) zˆ nˆ ρ ϕ ( t + Δt) Δϕ(t) ϕ(t ) ϕ(t ) = Δϕ = ω(t) dt 1 t t 1 ŷ

21 Vaiáveis otacionais no espaço: Vaiação da velocidade angula Δω = ω( t+δt) ω( t) Aceleação angula média Aceleação angula instantânea A aceleação angula instantânea é um veto paalelo a // Vaiação da velocidade angula: α = v Δ α = ω Δt Δω lim = Δt Δt 0 dω dt ( t ) ω( t ) = Δω = α( t ) dt 1 ω t t 1 ω

22 Enegia Cinética na Rotação Refeência: Halliday, David; Resnick, Robet & Walke, Jeal. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6 a. ed. Ou Vol 1. cap. 10 da 7ª ed. Rio de Janeio: LTC. Tiple, Paul. Física, Vol 1 cap a. ed. Rio de Janeio: LTC, 000.

23 Enegia Cinética na Rotação A Enegia cinética total de um copo em otação é a soma das enegia cinéticas de todas as patículas que constituem o copo. enegia cinética tanslacional enegia cinética otacional K t = 1/ mv (otação) K =?

24 Enegia Cinética na Rotação Enegia cinética de tanslação K t = 1/ mv substituindo v = w cada patícula m do copo K = 1/ m(w) K = 1/ ( Σm ) w A gandeza Σm é denominada Inécia à otação - momento de inécia I = Σ m Momento de Inécia enegia cinética tanslacional enegia cinética otacional K t = 1/ mv (otação) K = 1/ I w

25 Exemplo: Quato patículas de massa m, estão ligadas po hastes de massa despezível fomando um etângulo de lados a e b. O sistema gia em tono de um eixo no plano da figua. Calcula o momento de inécia, nas situações apesentadas.

26 Momento de Inécia: I = Σ m = m m + m m 4 4 I = m a + m a + m a + m a = 4ma I = 4ma

27 Momento de Inécia: I = Σ m = m m + m m 4 4 I = m 0 + m 0 + m (a) + m (a) = 8ma I = 8ma

28 Anel homogêneo de massa M e densidade linea λ λ = Cálculo do Momento de Inécia: M dm = M R/ dϕ π R π R/ dϕ dl = R dϕ π R M Ao I = R dm = R dϕ = MR π 0 Cilindo ou Disco homogêneo de massa M e densidade supeficial σ σ M M = dm = π d π R / π R / d R I R = dm = 0 M R d = M R 4 4 R 0 = 1 MR ds = π d

29 Momento de inécia I = 5 MR I 7 = 5 MR I = 3 MR

30 Ve tabela 11. pag. 13 Halliday 6ª ed.

31 Casca esféica

32 Esfea sólida

33 Ao em tono do eixo cental

34 Haste fina em tono do do eixo que passa pelo cento, pependicula ao compimento

35 Baa cicula em elação ao eixo tansvesal pela ponta.

36 O teoema dos eixos paalelos Lista 0 execício) I = I + Mh CM a) Calcule o momento de inécia de uma baa delgada de feo de m de compimento e 8,7 kg de massa, em tono de um eixo pependicula à baa e localizado a 30 cm do cento da baa. b) O momento de inécia é uma gandeza escala ou vetoial e qual sua unidade? CM. h

37 O tabalho e Enegia cinética no deslocamento angula Δ W = 1 I ω f 1 I ω i O tabalho total é igual à vaiação da enegia cinética de otação.