( ) ( ) ( ) Agora podemos invocar a simetria de rotação e de translação e escrever

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1 7.5 Aplicações da lei de Ampèe paa distibuições de coente com simetia De foma muito semelhante do uso de simetia com a lei de Gauss, pode-se detemina o campo magnético geado po uma distibuição de densidade de coente altamente simética usando a lei de Ampèe. omeçaemos com um exemplo com simetia cilíndica. Suponha que exista no espaço uma densidade estacionáia de coente que, em coodenadas cilíndicas, aponte paa a dieção e que dependa apenas da coodenada adial: j = j (7.5.1) ˆ Um exemplo desta situação seia uma coente fluindo num aame cilíndico infinitamente compido com uma densidade de coente unifome dento do aame. j teia um valo constante paa aios menoes do que o aio Neste caso, a função ( ) do fio e teia o valo eo paa aios maioes. Mas podemos também pensa em funções mais sofisticadas. O gupo de opeações de simetia desta configuação é um pouco meno do que o gupo de simetia do cilindo unifomemente caegado, que estudamos na eletostática. Temos as otações em volta do eixo, as tanslações na dieção e planos especulaes que contêm o eixo. Mas em contaste com o caso da eletostática, os planos especulaes pependiculaes ao eixo não epesentam simetias, pois uma eflexão neste tipo de plano iia invete o sentido da coente. Vamos esceve o campo magnético usando as coodenadas cilíndicas expessando o B,, ˆ, ˆ, ˆ. valo do campo ( ) na base associada B B B B ˆ (7.5.2) (,, ) = (,, ) ˆ( ) + (,, ) ˆ ( ) + (,, ) Fiemos algo análogo com o campo elético na eletostática. Naquela ocasião agumentamos que as componentes e do campo tinham que se eo po causa de simetias especulaes. Mas cuiosamente aqui a conclusão que se pode tia da simetia especula é difeente. Isto se deve ao fato de que o campo magnético é um campo pseudovetoial. Imagine um dado ponto P com valoes de coodenadas, e. A eflexão no plano que contém o ponto P e o eixo de coodenadas é uma opeação de simetia da configuação. Esta opeação mapeia o ponto P em si mesmo; P P. B,, não deve sofe nenhuma alteação nesta eflexão. onsequentemente o veto ( ) Na seção 6.3 vimos que pseudovetoes paalelos ao plano especula sofem uma toca de sinal na eflexão neste plano, enquanto pseudovetoes pependiculaes ficam inalteados. onsequentemente, concluímos que aqui as componentes B e B são necessaiamente eo. Repae que pecisamos aqui somente de um plano especula paa elimina logo duas componentes de B. om o veto E pecisamos de dois planos paa mosta que duas componentes eam nulas. Então com este agumento de simetia especula chegamos ao esultado de que o campo magnético deve te a foma B,, = B,, ˆ (7.5.3). ( ) Agoa podemos invoca a simetia de otação e de tanslação e esceve 382

2 B (,, ) = B ( ) ˆ ( ) (7.5.4). Então a simetia edu a taefa de calcula o campo à deteminação de uma única. Na aplicação da lei de Gauss tivemos que escolhe B função, a sabe, a função ( ) neste ponto uma supefície Gaussiana apopiada. Aqui temos que escolhe um caminho fechado apopiado. Estes caminhos fechados usados na lei de Ampèe são também chamados de espias ampeianas. omo no caso da lei de Gauss, a escolha tem que se uma que pemita calcula a integal mesmo não conhecendo a função incógnita. Aqui a escolha apopiada da espia ampeiana é bem óbvia. Paa obte infomação aceca do, vamos escolhe um cículo de aio no plano xy e com cento no eixo B valo ( ). Neste caso temos 2π B dl = B ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) d = B ( ) 2π (7.5.5). cículo = const. Agoa podemos aplica a lei de Ampèe neste esultado: 2π B j ds j d d Então temos o esultado = 1 ( ) 2π = µ = µ ( ) ˆ ˆ (7.5.6) cículo = = µ B j d (,, ) = ˆ ( ) ( ) = 1 (7.5.7) Resta somente o cálculo da integal paa cada dada função j ( ). omo exemplo, consideamos o caso do fio cilíndico de aio R que tanspota uma coente I com densidade de coente unifome. Neste caso temos j ( ) I 2 paa R = π R paa > R Inseindo esta distibuição no esultado (7.5.7) obtemos (7.5.8) 2 µ I paa R B (,, ) ˆ ( ) = R 2π I paa > R (7.5.9) x y Pecebemos que o campo cesce lineamente com dento do fio e foa do fio ele coincide com o campo de um fio fino que calculamos antes com a lei de Biot-Savat. O póximo exemplo é uma coente supeficial ciculando na supefície de um tubo infinitamente compido como indicado na figua Na ealidade esta coente flui numa camada de espessua não nula. Mas paa fins de simplificação podemos imagina uma camada infinitamente fina e desceve este tipo de coente como coente supeficial com uma densidade linea de coente Λ. Isto significa que num segmento do tubo de compimento c cicula uma coente de Λ c. Na pática este tipo de 383

3 configuação se ealiaia de foma apoximada com um solenoide compido. No caso do solenoide, a densidade linea de coente seia a coente I, que se injetou no aame enolado, multiplicado pela densidade linea n das espias; Λ = n I. Paa o caso de tubo cicula já calculamos o campo magnético paa pontos no eixo de simetia. om a lei de Biot-Savat encontamos na seção o esultado solenoide infinitamente compido B,, = ˆ µ n I (7.5.1) ( ) Agoa podemos genealia este esultado com a ajuda da lei de Ampèe e podemos calcula o campo paa pontos foa do eixo de simetia. O pimeio passo é a aplicação da simetia do poblema. Obviamente esta configuação de coente tem simetia especula paa planos pependiculaes ao eixo. om uma ealiação da configuação com um solenoide, esta simetia existe apenas de foma apoximada, pois a imagem especula de uma espia esulta numa espia de quialidade oposta como mosta a figua Fig Espelhamento de coente (a) num fio de solenóide e (b) num tubo ideal com coente supeficial ciculando em volta do tubo. Mas vamos aceita esta simetia especula mesmo no caso de um solenoide assumindo um fio muito fino de tal foma que o avanço das espias possa se despeado. O campo magnético geado deve te a mesma simetia. Então as componentes x e y deste pseudoveto, que mudaiam de sinal nesta opeação especula, têm que se nulas. Então o campo magnético deve te a foma B x, y, = ˆ B x, y, (7.5.11) Além disso, a configuação de coentes tem simetia de tanslação na dieção. onsequentemente nada pode depende de. Então temos B x, y = ˆ B x, y (7.5.12) Fig ote do cilindo de coentes com espia ampeiana dento do cilindo. O lado AB da espia etangula fica no eixo de simetia do cilindo. d B P A D Pimeiamente vamos considea um ponto P dento do solenoide. A figua mosta um cote do tubo que contém o ponto P e o eixo de simetia do tubo. Uma espia ampeiana etangula que passa pelo ponto P está desenhada. O lado AB de compimento d fica no eixo de simetia do cilindo, o ponto P está no segmento de eta D. A coente está indicada com flechas entando no plano do desenho no lado dieito e saindo do desenho no lado esquedo. I No caminho A até B conhecemos o campo pelo cálculo com a lei de Biot-Savat. Os caminhos de B até e de D até A não contibuem poque os deslocamentos da integação são pependiculaes ao veto B. omo o campo não depende de as integais se eduem a simples multiplicações. Então temos 384

4 (, ) ˆ ( ˆ ) B dl = µ n I d + B x y d (7.5.13) ABDA Esta integal deve se igual à coente que atavessa a espia ampeiana multiplicada po µ. Mas obviamente não há coente nenhuma que atavessa esta espia. Então segue B dl = µ n I d + B ( x, y) ˆ ( ˆ d ) = ABDA (7.5.14) (P dento do tubo) Desta igualdade obtemos o valo da componente do campo paa um ponto genéico dento do tubo: ( ) B x, y = µ n I (P dento do tubo) (7.5.15) Agoa vamos fae a mesma análise paa um ponto foa do cilindo. A figua mosta a coespondente espia ampeiana que agoa atavessa a paede do cilindo. d B A I P D Fig ote do cilindo de coentes com espia ampeiana que atavessa a paede do cilindo. A expessão da integal de caminho em temos dos valoes do campo é exatamente a mesma do caso anteio. O que muda é o valo da coente que atavessa a espia. Este é Λ d. consequentemente temos B dl = µ n I d + B x, y ˆ ˆ d = µ n I d ABDA (P foa do tubo) Então paa pontos foa do cilindo segue ( ) (7.5.16) B x, y =. Podemos junta estes esultados e esceve o campo magnético de foma completa incluindo o veto unitáio: B x y (, ) ˆ µ n I (P dento do tubo) = (P foa do tubo) (7.5.17) Este é um esultado impotante. Apendemos uma maneia de cia, pelo menos apoximadamente, um volume com campo magnético constante. Dento de um solenoide muito compido na egião longe das beiadas do enolamento, espeamos enconta um campo magnético unifome. Além disso, o valo do mesmo é descito po uma fómula muito simples. Po último consideaemos uma coente que flui na supefície de um tooide. Um tooide é uma foma geomética voluma finita com simetia de otação com um dado eixo de otação e simetia de eflexão com planos contendo este eixo e que possui um buaco no luga do eixo, isto é, algum cilindo infinitamente compido, cujo eixo de simetia coincide com o eixo de simetia do tooide, não petence ao tooide. É fácil podui um tooide: pegue um disco cicula e aba um fuo no cento do disco. Pneus e cetos tipos de bolos em foma de osca são exemplos de tooides. Vamos considea uma coente na supefície de um tooide que possua a mesma simetia do tooide. 385

5 Na pática pode-se ealia esta configuação de foma apoximada injetando uma coente I num fio densamente enolado no tooide como mosta a figua Na figua o enolamento não é muito denso paa pode ve os fios individualmente. A figua mosta uma fotogafia deste tipo de solenoide tooidal. Esta configuação de solenoide tem popiedades inteessantes e a indústia fabica tais solenoides apesa do fato de que o pocesso de enola tal tipo de bobina é muito mais oneoso do que o enola de um solenoide cilíndico. Paa enola uma bobina cilíndica basta oda o cilindo na fente do caetel de fio com uma extemidade do fio peso na supefície do cilindo. Paa enola um solenoide tooidal, tem-se que passa o caetel de fio inúmeas vees atavés do buaco cental do tooide. Mesmo assim a indústia b enfenta esta dificuldade a poque as popiedades deste tipo de solenoide têm gandes vantagens. Se você abi uma fonte de alimentação de um h computado de mesa, você encontaá dento dela algumas bobinas deste tipo. I Fig Esboço de uma bobina tooidal com algumas indicações da coente macadas com setas vemelhas. Fig Fotogafia de uma bobina tooidal ligada numa fonte que injeta 2,25 A no enolamento da bobina. Uma sonda Hall foi intoduida no inteio da bobina atavés de uma fenda. O leito deve ignoa uma segunda bobina cilíndica que apaece na imagem. Esta seá usada numa futua expeiência. No caso de uma densidade supeficial de coente ou no caso de um enolamento infinitamente denso e unifome a coente teia uma pefeita simetia de otação e de espelhamentos em planos contendo o eixo de simetia otacional. om os mesmos agumentos usados no caso do fio infinito concluímos que estes elementos de simetia especula excluem componentes e do campo: B,, = B,, ˆ (7.5.18) ( ) Nesta fómula o sistema de coodenadas cilíndicas usa o eixo de simetia otacional do B,, não pode tooide como eixo. A simetia de otação implica que a função ( ) 386

6 depende de. Mas, difeentemente do caso do fio infinito, aqui não temos simetia de tanslação e esta função pode depende de. Então temos B,, = B, ˆ (7.5.19) ( ) Resta detemina a função incógnita B (, ) Ampèe. Paa conhece o valo de B (, ). Esta taefa é esolvida com a lei de, usaemos como espia ampeiana o cículo de aio que fica na altua. A integal de linha vale 2π B dl = B (, ) ˆ ( ) ˆ ( ) d = B (, ) 2π (7.5.2) cículo = const. om a lei da Ampèe sabemos que a expessão B (, ) 2π é igual a = 1 µ vees a coente que atavessa o cículo de integação. Este valo da coente depende do pa de valoes de,. Se o ponto consideado fica foa do tooide a coente que atavessa o cículo de integação é eo. Se o caminho de integação fica dento do tooide, este valo da coente é o valo que passa nos fios que sobem na chaminé cental do toóide. Se temos N B espias enoladas no D tooide e se o fio h D tanspota uma coente A A I, a coente que enta na contabilidade da lei a de Ampèe é N I. A, B Fig Bobina tooidal vista de cima (imagem da esqueda) e em cote lateal (imagem da dieita). Quato espias ampeianas ciculaes (A-D) são epesentadas em aul. Apenas a espia A fica dento do tooide e tem coente passando pela supefície associada ao caminho de integação. O inteio do tooide é mostado hachuado no cote. A figua mosta uma bobina tooidal com quato linhas de integação. A linha A é a única que fica dento do tooide. Paa cículos de integação no inteio (como o exemplo A), B (, ) 2π vale µ N I. Paa cículos extenos (exemplos B, e D) temos B (, ) 2π =. Então podemos conclui que B (,, ) b µ N I ˆ ( ) paa pontos dento do tooide = 2π (7.5.21) paa pontos foa do tooide As figuas 7.5.6, e mostam medidas do campo magnético. Na figua a sonda Hall está numa posição com coodenada adial um pouco maio que na figua oespondentemente temos um campo mais intenso na figua de acodo com a fómula (7.5.21) que pevê uma dependência decescente com. Foa do tooide se mede de fato o valo eo como é pevisto pelo esultado (7.5.21). 387

7 Este valo nulo foa do tooide é justamente o ponto que tona esta configuação inteessante paa a indústia de eletônica. Veemos num capítulo futuo que é inteessante cia campo magnético não nulo em deteminados dispositivos. Mas este campo podeia petuba cicuitos eletônicos na viinhança. om a configuação tooidal o campo não nulo pode se essencialmente limitado a um volume bem definido. Falei essencialmente, pois futuamente veemos que coentes não estacionáias numa bobina tooidal geam de fato também petubação foa do tooide, mas em meno intensidade. Fig Medida do campo magnético numa posição no inteio peto da boda extena do tooide. Fig Medida do campo magnético num ponto exteno da bobina tooidal. É inteessante compaa o esultado da bobina tooidal com aquele do solenoide cilíndico. Na figua assumimos um pefil etangula do copo tooidal com um aio da chaminé intena a e um aio exteno b e uma altua h. Se mandamos a e N paa infinito mantendo b a constante e também N / a constante, obtemos um esultado que se paece com a fómula do campo do solenoide infinitamente compido. Paa qualque valo de ente a e b temos no limite lim a N 2π = n = densidade de espias (7.5.22) om isto a fómula do campo dento do tooide se tansfoma na fómula do campo dento do solenoide cilíndico infinitamente compido. Isto ea de se espea. Note, no entanto, que o pefil da bobina não pecisa se edondo como supusemos com o nosso cálculo do cilindo. Então ganhamos atavés deste limite logo uma genealiação do esultado paa cilindos não edondos. 388

8 Execícios: E 7.5.1: Use agumentos de simetia e a lei de Ampèe paa calcula o campo magnético geado pela densidade de coente 2 2 x + y j ( x, y) = ˆ j exp 2 (7.5.23) 2 a Nesta fómula x, y e são coodenadas catesianas, a é uma distância positiva e j uma constante medida em ampèe po meto quadado. E 7.5.2: Use agumentos de simetia e a lei de Ampèe paa calcula o campo magnético geado pela densidade de coente j = xˆ j (7.5.24) com uma função pa ( isto é uma função que satisfa j ( ) = j ( ) paa todo ). E 7.5.3: Seja,, um sistema de coodenadas cilíndicas e sejam ˆ ( ), ˆ ( ) e ẑ os vetoes básicos associados a este sistema. onsidee uma densidade de coente da seguinte foma: j,, = ˆ j, + ˆ j, (7.5.25) (a) Use agumentos de simetia e o fato de que os valoes do campo magnético são pseudovetoes, paa detemina quais das componentes do campo magnético na base ˆ, ˆ, ˆ são nulos. (b) Suponha que no plano xy vale (,) e j (,) j = A 2π sen paa R = R paa > R Nesta fómula A e R são constantes positivas. alcule o campo magnético no plano xy. E 7.5.4: Agumentos de simetia pemitem às vees tia conclusões exatas mesmo sem te conhecimento dos detalhes de uma teoia. Não apendemos ainda como funciona a geação de campo magnético em situações não estacionáias. Mas mesmo assim, o leito pode usa agumentos de simetia e detemina o campo magnético geado pelo seguinte tipo de densidade de coente não estacionáia: j (, θ,, t) = j (, t) ˆ ( θ, ) (7.5.26). Nesta fómula,, B, θ,? θ são coodenadas esféicas. Quanto vale ( ) E 7.5.5: Esceva os pontos de destaque desta seção. 389