7.2 Aplicações da lei de Biot-Savart e a unidade ampère

Transcrição

1 7. Aplicações da lei de iot-savat e a unidade ampèe Vamos utilia a lei de iot-savat, na foma válida paa fios finos, paa calcula o campo magnético geado po coente paa alguns casos simples. D C Exemplo 1: Espia etangula e fio eto. Pimeiamente analisaemos uma malha etangula como aquela das expeiências das figuas A figua 7..1 mosta este tipo de malha, junto com um sistema de coodenadas catesianas e com um de coodenadas cilíndicas. Fig Espia etangula com um sistema de coodenadas cilíndicas. Uma coente nesta espia gea um campo magnético, cujo valo é a soma de quato contibuições A, C, CD, DA geadas pelos quato lados coespondentes do etângulo. Vamos calcula a contibuição do lado A: O poduto vetoial é facilmente calculado: ˆ ( ˆ + ˆ ˆ) ( + ( ) ) d A (, ϕ,) = / 4π 1 d A (,,) ˆ / 4 1 ϕ = ϕ π + ( ( ) ) (7..1) (7..) Já vimos este tipo de integal na seção 1.6 na hoa de calcula o campo elético geado po um palito unifomemente caegado. Esta integal pode se calculada com uma substituição tigonomética. A figua 7.. ilusta a intepetação geomética desta α cot α = /. A difeencial da nova substituição; ( ) vaiável de integação se elaciona com a difeencial da vaiável oiginal da seguinte foma dα = ( sen α) d Fig. 7.. ntepetação geomética da substituição de vaiáveis de cot α = /. integação ( ) Ciando mais dois fatoes de no numeado do integando obtemos com o denominado um belo ( sen α ). Então tudo fica muito simples: x A ϕ 1 ϕ y 1 α α1 5

2 Então temos d A (, ϕ,) = ϕ ˆ = / 4π 1 A ( + ( ) ) ( sen α) ( sen α) α α π α1 α1 = ϕˆ dα = ϕˆ sen α dα = 4π 4 = ϕ α α 4π (,,) { } ˆ cos cos 1 1 ϕ = ϕˆ 4π ( ) + ( 1 ) + (7..) (7..4) As contibuições dos outos tês lados da espia podem se calculadas com o mesmo método. Poém, paa cada um destes cálculos, um sistema de coodenadas específico deve se usado. Po exemplo, paa a contibuição do lado C deve-se usa um sistema de coodenadas cilíndicas com o segmento C no eixo deste sistema. Na hoa de soma as quato contibuições, isto esulta numa bela complicação geomética com quato vetoes básicos ˆϕ A C CD DA difeentes. Somente no cento do etângulo a situação é simples. Neste ponto os quato vetoes básicos coincidem. Há ainda uma outa possibilidade de escapa da taefa ádua de te que foma uma combinação linea dos quato vetoes ˆϕ A C CD DA. Podemos considea um etângulo infinitamente gande. Paa os módulos das contibuições C, CD e DA vale,,, C CD DA 4πC 4πCD 4πDA Nestas desigualdades, C, (7..5) CD e DA são as distâncias do ponto onde calculamos o valo do campo até as etas definidas pelos espectivos paes de pontos C, CD e DA. Então se mandamos os vétices do etângulo paa o infinito, as contibuições dos lados C, CD e DA tendem a eo. Neste caso obtemos o campo magnético geado po um fio eto infinitamente compido somente com a contibuição do lado A:, ϕ = lim, ϕ, (7..6) ( ) ( ) 1 O limite da expessão em colchetes na (7..4) vale. Então obtemos paa o campo de um fio infinito: A ϕ = ϕ π (, ) ˆ (7..7) Então a lei de iot-savat ealmente esultou numa dependência do tipo 1/, de acodo com o esultado expeimental. Notamos o fato cuioso de que no denominado apaece justamente o compimento de aco de um cículo completo de aio. Na seção 7.4 entendeemos este fato melho. 54

3 Fig. 7.. Fios paalelos com coente. Está macado um segmento no fio cujo compimento iguala a distância ente os fios. O esultado (7..7) tem uma aplicação impotante. magine dois fios etos muito compidos esticados paalelamente. njetamos uma coente de mesmo módulo nos dois fios. A igualdade dos módulos da coente pode se gaantida de foma muito simples usando a coente que sai de um fio paa alimenta o outo. sto é especialmente simples usando coentes fluindo em sentidos contáios. A figua 7.. mosta um aanjo deste tipo. No limite de fios infinitamente compidos, a A coente que sobe no fio A gea um campo magnético no local do fio que é dado pela fómula (7..7). Com este campo podemos calcula a foça magnética que atua sobe o fio. em, na vedade não fa sentido fala da foça sobe o fio, pois com um fio infinitamente compido esta seá simplesmente infinitamente gande. Mas podemos calcula a foça que atua sobe uma pate de compimento l do fio. Paa não intoduimos mais um paâmeto na expeiência, vamos escolhe o compimento consideado igual à distância. Com a fómula (6.6.1) e com l = ẑ obtemos paa esta foça F = ( ˆ ) ϕˆ π (7..8) A nossa escolha de considea a foça sobe um pedaço de compimento igual à distância dos fios leva a um cancelamento do paâmeto. O poduto vetoial ( ẑ) ϕ ˆ é igual ao ˆ. Então o esultado é F = ˆ π (7..9) Pecebemos que o único paâmeto que pode se escolhido na expeiência e que influencia no módulo desta foça é a coente. sto pemite defini um padão de coente que é unicamente atelado aos padões da mecânica. Os padões da mecânica que pemitem defini as unidades de todas as gandeas da mecânica são os padões de compimento, de duação tempoal e de massa. Com estes podemos defini a unidade Newton. Então podemos agoa defini uma unidade de coente que não é mais baseada numa quantidade de matéia depositada numa eletólise, mas que tem uma ligação dieta com a mecânica. Já que a teoia eletomagnética é uma teoia das foças e potanto uma que complementa a mecânica, paece uma escolha acional basea um padão de coente na unidade Newton. esta escolhe os detalhes. Uma possível escolha natual seia defini uma unidade de coente de tal foma que a coente = 1unidade de coente na expeiência descita esulte na foça F = ˆ1N. Mas não se usa esta unidade de coente po duas aões: A pimeia é que este valo de coente seia gigantesco. E a segunda é que é bom te uma unidade que não fique muito longe daquela antiga unidade que ea definida pela taxa de deposição de pata numa eletólise. Po esta aão se adotou desde 1948 como unidade Ampèe aquela coente que na expeiência descita esultaia numa foça de 7 7 F = ˆ 1 N. O valo 1 N é um valo simples, ou seja, não possui um númeo enome de dígitos que pecisam se decoados, e po sote leva a um valo de 55

4 coente que fica aoavelmente póximo do antigo ampèe, que é a coente que deposita 1,118 mg de pata po segundo numa eletólise de pata. Então temos a definição de ampèe válida desde 1948: 1 A é a coente que povoca num segmento de compimento de um fio eto infinitamente compido de diâmeto despeível uma foça de 7 1 N quando este fio com esta coente estive paalelamente posto numa distância do cento de um fio eto infinitamente compido que também leva este mesmo valo de coente estacionáia. Natualmente não podemos ealia esta idealiação de fios infinitos, mas a pati desta definição pode-se calcula uma foça paa uma situação expeimental ealista que pemite estabelece um padão de coente. Com esta definição de Ampèe a constante de popocionalidade fica com o seguinte valo: 7 1 N π = (7..1) A Nos cálculos do eletomagnetismo usaemos gealmente as unidades volt, ampèe, meto e segundo. Temos J = N m = VAs. Então podemos substitui o newton pelo 1 VAs m e obtemos Vs = π (7..11) A m É inteessante ve como se encaixa esta definição da unidade ampèe nos desenvolvimentos modenos da física. Os tês padões básicos da mecânica eam definidos de tal foma que eles se elacionassem de foma simples com os objetos elevantes da vida humana: o meto ea definido de tal foma que a cicunfeência da 7 Tea tenha 4 1 m, o segundo é uma duação tal que um dia tenha 4 6 6s e o quilogama é a massa de um copo de 1 m de água. Mas, como uma compaação de uma distância com a cicunfeência da Tea não pode se efetuada com gande pecisão ciou-se uma baa mética cujo compimento coesponde apoximadamente à distância da ideia oiginal. O mesmo acontece com o quilogama. Um lito de água não consegue se epoduido com gande pecisão. Então se ciou um bloco metálico que epesenta a massa de um quilogama 1. A física modena touxe a possibilidade de melhoa a qualidade dos padões de tempo e de distância enomemente. Hoje se define o segundo como a duação de um deteminado númeo de oscilações de um deteminado tipo de átomo numa deteminada tansição ente níveis quânticos. sto pemite uma epodutibilidade do padão de tempo na faixa de uma pate em 1 15 e os especialistas estão tabalhando paa melhoa isto chegando numa pecisão de uma pate em Com a Teoia da elatividade ficou clao que distâncias espaciais podem se medidas com elógios. Coespondentemente o padão de meto se tonou simplesmente 1 O intenational pototype kilogam é um cilindo de 9,17 mm altua e 9,17 mm de diâmeto feito de 9% (massa) de Platina e 1% (massa) de ídio. Este padão foi ciado em

5 desnecessáio; o segundo já é um padão de distância espacial. O meto pode simplesmente se definido como 1m = 1s / Ficou ainda o antigo quilogama. Mas, pela física quântica, em pincípio o padão de massa se tonou tão desnecessáio quanto o padão de distância. Na teoia quântica se pecebe que um valo de massa coesponde de foma única a uma deteminada 1 fequência de oscilação. Então s já é um padão de massa. Mas, paa massas macoscópicas, a fequência coespondente é tão elevada que ela não pode se medida. Po esta aão um padão macoscópico de massa continua um objeto extemamente útil. Mas aquele antigo padão de quilogama feito com um bloquinho de uma liga de platina e iídio, que fica guadado em Pais, é uma penúia. Átomos difundem paa dento deste bloco e a massa não fica constante. Seia muito desejável pode atela quanticamente 1 um padão macoscópico de massa ao s. sto é de fato possível invetendo o espíito da definição do ampèe que acabamos de fomula. A ideia desta definição ea de amaa o padão da coente nos padões da mecânica. Mas podemos fae o inveso. esulta que existem fenômenos quânticos que pemitem estabelece padões muito pecisos das gandeas eléticas. Já vimos que o efeito Hall quântico pemite a ealiação de um padão muito peciso de esistência elética. Há um outo efeito quântico, o efeito Josephson, que pemite elaciona uma difeença de potencial elético de foma muito pecisa com uma fequência de oscilação. Então pode-se-ia defini o ampèe de foma quântica e usa a definição dada acima não como do ampèe, mas como uma definição da unidade newton. Depois se pode defini o quilogama a pati do newton. Atualmente gandes esfoços são feitos no sentido de aumenta a pecisão dos pocedimentos da ealiação destes padões. É bem possível que no futuo póximo a definição de quilogama seá mudada. Neste novo esquema um quilogama seia aquela massa que pecisa de 1 N paa povoca uma aceleação de 1ms, e nesta definição 1 N seia dado pela seguinte definição: 1 N é a foça que atua num segmento de compimento de um fio eto infinitamente compido de diâmeto despeível quando este fio com uma 7 coente de,5 1 A estive paalelamente posto numa distância do cento de um fio eto infinitamente compido que também leva este mesmo valo de coente estacionáia. Nesta definição, o ampèe seia uma unidade mais básica do que o newton e 1 A seia definido atavés de um pocedimento expeimental que envolve o efeito Hall quântico e o efeito Josephson. Na pática, esta definição de quilogama não usa litealmente esta definição com uma foça magnética ente dois fios, mas uma combinação de uma expeiência com foça magnética e uma com uma eletomotância magnética. No capítulo 8 desceveemos mais detalhes desta medida. Exemplo : Anel Fig Coente ciculando num anel com sistema de coodenadas com o plano xy paalelo ao plano do anel e com o eixo como eixo de simetia do anel. x ϕ y 57

6 Depois deste passeio pelas possibilidades fantásticas da física modena, voltaemos aos exemplos de aplicação da lei de iot-savat. O póximo exemplo é uma espia cicula. Neste caso a integal da lei de iot-savat paa um ponto genéico esulta numa integal elíptica, algo complicado que não vamos discuti aqui. Mas paa pontos no eixo de simetia da espia a integação é ainda simples, e vamos considea somente estes pontos. Então imagine um anel conduto de aio no qual cicula uma coente. Vamos usa um sistema de coodenadas de tal foma que o anel fique paalelo ao plano x-y com o eixo de coodenada passando pelo cento do anel. sto significa que os pontos do anel numa descição po coodenadas cilíndicas têm a foma, ϕ, com [, ] ϕ π e = constant. Escolho o sentido positivo da coente no mesmo sentido dos vetoes ϕ ˆ. Vamos desceve a cuva do anel de foma paamética usando o ângulo ϕ como paâmeto de cuva. Quando avançamos com ϕ um valo infinitesimal δϕ geamos um veto infinitesimal de deslocamento δ l = ϕˆ δϕ. Então a integal da lei de iot-savat paa um ponto no eixo é ( ) π ϕ ˆ ˆ ˆ ˆ ( x =, y =, ) = dϕ / 4π (( ) + ) Com ϕ ˆ ˆ = ˆ e ϕ ˆ ˆ = ˆ obtemos duas integais: (7..1). π π (,, ) = / ( ) ˆ ˆ dϕ + dϕ 4π (7..1). (( ) ) + = = π Então o esultado é = ˆ (,, ) (( ) + ) É inteessante ve o compotamento desta função paa gandes distâncias do anel: (,, ) / (7..14) ˆ (7..15) << Se multiplicamos em cima e embaixo po π, obtemos no numeado a áea da espia. O valo da áea multiplicado po e pelo veto unitáio ẑ esulta justamente no veto de dipolo magnético da espia. Então podemos esceve o esultado na foma m (,, ) (7..16) << π Olhem somente este esultado! A analogia com o dipolo elético não se estinge à fómula do toque. Compae este esultado com a fómula (1.5.16), a qual epito aqui expessando a antiga constante de popocionalidade k da eletostática pelo 1/ 4πε : 1 p E (,, ) (7..17) d << d πε d 58

7 Paa tona a antiga fómula (1.5.16) ainda mais paecida com a (7..16) pemiti que o dipolo estivesse foa da oigem numa altua d do eixo. Pode-se mosta que esta analogia vale não apenas paa o compotamento assintótico do campo no eixo, mas paa qualque ponto suficientemente longe da espia. Na seção. calculamos o campo de um dipolo elético num ponto genéico. O esultado ea (( p ) ) ( p ) 1 p p E ( ) = 4 5 πε p p (7..18) Pode-se mosta que o campo magnético de uma espia cicula de aio com veto dipolo magnético m cujo cento se enconta na posição m tem assintoticamente a foma do campo de dipolo: (( ) ) m m m ( ) 5 ( m ) << m 4π (7..19). m m Exemplo : Solenoide cilíndico O teceio exemplo é uma extensão do exemplo do anel. No luga de um único anel vamos imagina muitos anéis empilhados. Na pática se ealia esta configuação de foma apoximada enolando fio com uma fina camada de veni densamente num tubo. A todo igo isto não é exatamente um empilhamento de anéis, mas podemos imagina que o pequeno deslocamento de um diâmeto de fio não faça muita difeença. A figua 7..5 mosta uma imagem deste tipo de aanjo. Os técnicos chamam este tipo de objeto de solenoide ou, mais pecisamente, de solenoide cilíndico. Fig Solenoide fomado po um aame de cobe enveniado densamente enolado num tubo de PVC. Pode-se-ia calcula o valo do campo num ponto do eixo de simetia somando muitos temos do tipo da fómula (7..14) com divesos valoes de. Mas é ainda mais pático se usamos uma apoximação contínua. No luga de um anel feito po uma espia do enolamento vamos usa um anel feito de um intevalo infinitesimal δ que leva uma coente δ i = n δ sendo n a densidade de espias e a coente injetada no solenoide. Se o solenoide tem N espias unifomemente enoladas num compimento c, a densidade de espias é n = N / c. Com esta apoximação contínua, o valo do campo no ponto com coodenadas,, é a integal b n (,, ) = ˆ d / a (( ) + ) (7..). a e b são as coodenadas do início e fim do solenoide. De novo encontamos uma integal do tipo palito unifomemente caegado, que pode se calculada com uma 59

8 substituição tigonomética de vaiáveis: ( ) ( ) cot α = /. A figua 7..6 mosta a intepetação geomética desta substituição. Com esta substituição obtemos b n d (,, ) = ˆ = / a (( ) + ) αb n n = ˆ sen d cos cos α α = α α αa ( ) ˆ { ( b ) ( a )} (7..1) Este esultado se edu a uma expessão especialmente simples quando tomamos o limite b, a paa desceve apoximadamente o campo na pate cental de um solenoide muito compido ( c >> ). Neste limite o fato dos cossenos cancela o do denominado: solenoide infinitamente compido,, n ( ) = ˆ (7..) Fig lustação da substituição de vaiáveis ( ) ( ) cot α = /. b αb α αa a Execícios Fig 7..7 Espia composta de tês acos ciculaes. x y E 7..1: Uma espia condutoa que leva uma coente consiste de tês acos ciculaes de aio como mostado na figua Os acos ficam nos planos xy, y e x e se conectam ente si nos eixos de coodenadas. Calcule o campo magnético geado na oigem de coodenadas. Esceva o esultado em foma vetoial. Fig obinas de Helmholt E 7..: Hemann von Helmhot inventou um aanjo de bobinas que podu um campo magnético aoavelmente unifome dento de um deteminado volume. Este aanjo consiste em dois anéis paalelos cuja distância é igual ao aio dos anéis e com a mesma coente fluindo nos anéis no mesmo sentido como mosta a figua (a) Moste que as deivadas x / -/ y 6

9 /, / e / da componente do campo magnético são eo no cento do aanjo, isto é, na oigem do sistema de coodenadas da figua. (b) Calcule o valo do campo geado neste ponto paa o caso de = 1 A e = cm. E 7..: Há um aanjo de anéis paecido com o aanjo das bobinas de Helmholt. A difeença está no sentido da coente e na distância dos anéis. Neste aanjo, conhecido como bobinas de Maxwell, a coente dos dois anéis tem o mesmo módulo, mas sentidos opostos e a distância dos anéis vale. Moste que no cento do aanjo,, =, /, / =, / =. vale ( ) E 7..4: Um disco de aio gia em tono do seu eixo de simetia com velocidade angula ω. O disco é feito de um mateial isolante e uma densidade supeficial unifome de caga elética σ foi depositada neste disco. A caga em movimento giatóio gea um campo magnético. Calcule os valoes deste campo paa pontos no eixo de otação do disco. E 7..5: Com a definição da unidade ampèe dada nesta seção, a caga elementa tem o 19 valo de e = 1, (5) 1 A s. A massa atômica da pata vale 7 17,868() Da. Um Dalton tem a massa de 1,66594() 1 kg. Calcule quanta massa de pata é depositada duante um segundo numa eletólise de pata com uma coente de 1 A. Compae este valo com a massa de pata da antiga definição de Coulomb válida ente 194 e