APOSTILA. AGA Física da Terra e do Universo 1º semestre de 2014 Profa. Jane Gregorio-Hetem. CAPÍTULO 4 Movimento Circular*

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1 48 APOSTILA AGA Física da Tea e do Univeso 1º semeste de 014 Pofa. Jane Gegoio-Hetem CAPÍTULO 4 Movimento Cicula* 4.1 O movimento cicula unifome 4. Mudança paa coodenadas polaes 4.3 Pojeções do movimento cicula 4.4 Resumo das expessões paa o movimento cicula Ente as aplicações do movimento cicula temos as evidências de movimentos da Tea. A otação pode se demonstadas pelos efeitos da foça de Coiolis, ilustada no movimento da mesa giatóia (à esqueda). O movimento de tanslação é evidenciado pela abeação anual da luz, efeito semelhante à composição de movimentos de uma pessoa e da queda da chuva (à dieita). *Baseado no livo Mecânica (A. Hetem & I.G. Hetem, 013, em impessão)

2 49 Movimento Cicula Nesta categoia de movimento o copo desceve um cículo ou um aco de cículo, com elação a um ponto estático, que é o cento do cículo. Veemos neste capítulo as divesas aplicações do movimento cicula unifome e do movimento aceleado no espaço bidimensional. 4.1 O movimento cicula unifome O uso das popiedades vetoiais nos conceitos de física tem sua maio impotância nas definições de velocidade e aceleação aplicadas ao movimento cicula com otação constante. Adotando a oigem do sistema de efeência como sendo o cento da tajetóia cicula, temos o veto posição com módulo constante, que coesponde ao aio do cículo. Na Fig. 4.1 temos a tajetóia cicula de um copo que se enconta na posição inicial P1 e se desloca paa a posição P, mantendo sempe a mesma distância com elação ao cento, no ponto A. Figua 4.1. Movimento de um copo patindo do ponto P1 e chegando a P em uma tajetóia cicula com cento no ponto A e aio.

3 50 po: Se o intevalo de tempo adotado é muito pequeno, a velocidade instantânea é dada e o ângulo coespondente a este movimento vale: Neste caso, o veto velocidade deve se pependicula ao veto, como mosta a Fig. 4., indicando uma alteação na dieção da velocidade confome o copo se desloca de P 1 paa P. Paa deduzimos a vaiação da velocidade em função do tempo, dada po v = v(t+ t) v(t) na foma tigonomética, a bissetiz do ângulo θ é adotada como efeencial. Figua 4. Mudanças na dieção do veto velocidade. A linha tacejada indica a bissetiz do ângulo θ, utilizada como efeencial paa detemina a vaiação da velocidade v. As componentes da velocidade nas dieções adial (i ou ) ) e tansvesal (i t ou θ ) ) podem se espectivamente expessas po v, que tende a afasta o copo da oigem e v t, que po sua vez compensa esse movimento, levando o copo a se apoxima da oigem. Desta foma, a distância (que é o aio do cículo) pemanece constante.

4 51 Podemos então esceve v pela expessão Esse esultado indica que somente a componente adial da velocidade sofe vaiação, enquanto que a tansvesal fica constante. Como paa intevalos de tempo cada vez menoes temos vaiações angulaes também menoes, e lembando que paa ângulos muito pequenos o valo do seno pode se apoximado ao valo do pópio ângulo, podemos expessa a aceleação instantânea po: v lim = t t 0 v lim = t θ 0 vsen lim t θ 0 ( θ ) i v θ = i t Lembando que chegamos a. Esta é a chamada aceleação centípeta, atuando na dieção adial, mas no sentido contáio.

5 5 Exemplo 4.1. Detemine o módulo da aceleação centípeta de um copo que segue uma tajetóia cicula com 50 cm de aio e velocidade de m/s. Solução: O módulo do veto aceleação no movimento cicula é dado po Assim, obtemos a = 8 m s -. Exemplo 4.. Detemine o módulo da aceleação centípeta esultante da atação gavitacional da Tea sobe a Lua. Como a excenticidade da óbita da Lua é pequena (0,0549) podemos adota um movimento cicula como boa apoximação. O peíodo obital da Lua é de 7,3 dias e a distância Tea-Lua é 0,0057 UA. Solução: Lembando que 1 UA equivale a 149,6 milhões de km, temos que o aio da óbita é 3,8447 x 10 8 m e o peíodo obital é,3604 x 10 6 s. Desta foma, a velocidade obital é v Lua = 103,4 m s -1. Aplicando-se esse valo à expessão v =, obtemos a =0,007 m s -. a Você sabia?**

6 53 **Extaído do livo Mecânica (A. Hetem & I.G.Hetem, 013, em pepaação) 4. Passagem paa coodenadas polaes Lembando que o no movimento cicula unifome ilustado na Fig. 4.1, duante o intevalo de tempo t o copo deslocou-se po um ângulo θ ao longo de sua tajetóia, podemos defini a velocidade angula, que coesponde à taxa de vaiação angula da posição do copo em elação ao cento do cículo: A velocidade angula ω é dada em unidades de ad/s (adianos po segundo). A dieção dessa velocidade coincide com o eixo de otação, como pode se visto na Fig. 4.3, e o sentido da otação está elacionado com o veto ω pela ega da mão dieita.

7 54 Figua 4.3 Taxa de vaiação angula da posição do copo em elação ao cento, definindo a velocidade angula ω. A dieção do veto ω define o sentido da otação pela ega da mão dieita. A definição vetoial da velocidade angula ω é expessa po onde i a é o veso na dieção axial do movimento. Em conjunto com os vesoes das dieções adial (i ) e tansvesal ou tangencial (i t ), temos uma base otonomal que seviá de sistema de efeência nos nossos estudos sobe otação, confome ilustado na Fig Figua 4.4 Sistema de efeência e vesoes utilizados paa indica dieção e sentido do veto deslocamento (), da velocidade cicula (v) e da velocidade angula (ω). Consideando que o veto posição é dado po = i, e que, paa um dado instante, a vaiação angula é dada po: ω=dθ/dt, podemos expessa a vaiação da posição em função do tempo, po:, ou seja a velocidade cicula tem a dieção tangencial.

8 55 Em módulo, esta velocidade é dada po v = ω. No caso paticula de uma tajetóia cicula com aio = 1, podemos esceve a a aceleação a = dv/dt como sendo a vaiação no tempo do veso i : Po outo lado, a vaiação tempoal de θ também implica em uma vaiação em i t e a expessão neste caso fica semelhante ao o que foi definido acima, a menos do sinal: Apesa de e ω apesentaem valoes constantes, concluímos que tanto i como i t vaiam no tempo. Isso implica na pesença de uma aceleação que tem o papel de afeta as dieções destes dois vetoes. Paa detemina esta aceleação patimos da vaiação de i t e lembamos da definição da aceleação centípeta: A pati da vaiação da velocidade na dieção tansvesal, podemos acescenta essa segunda componente ao veto aceleação: Em esumo, a aceleação pode se decomposta nas seguintes expessões:

9 56 Exemplo 4.3. Detemina a velocidade angula do objeto do Exemplo 4.1. Solução: Lembando que v = ω, temos ω = v /. Ou seja, ω =4 ad s -1. Exemplo 4.4. Detemina a velocidade angula obital da Lua. Solução: Neste caso podemos aplica dietamente a definição de velocidade angula paa θ π ad um peíodo obital completo: ω = = = 0,3, ou seja ω=, ad s -1. t 7,3 dia 4.3 Pojeções do movimento cicula De acodo com a Fig. 4.5, podemos adota as elações tigonométicas paa expessa o movimento cicula de foma pojetada no plano catesiano, cujas componentes de deslocamento são dadas po: Figua 4.5 Pojeções do movimento cicula no plano catesiano Consideando a vaiação no tempo do veto (t), concluímos que as pojeções x e y compotam-se como uma cossenóide e uma senóide, espectivamente. A Fig. 4.6 ilusta como esse movimento é obsevado do ponto de vista de cada um dos eixos.

10 57 Figua 4.6 O movimento cicula pojetado no sistema catesiano. Exemplo 4.5. Um copo gia a 3m do cento de coodenadas com velocidade de 0,6m/s. Consideando que no instante t=0s o mesmo estava sobe o eixo das abscissas, detemine as pojeções sobe os eixos catesianos quando t=1s. Solução: A velocidade angula é ω=v/ = 0, ad/s. Calculando o seno e o cosseno de 0, ad e aplicando-os nas expessões das pojeções espectivamente de x e y temos x =,9 m e y =0,6 m. 4.4 Resumo das expessões do movimento cicula (adaptado de Mecânica Cuso de Física Básica, de M. Nussenzveig) Considee na Fig. 4.1 o veto deslocamento que desceve o movimento ente os pontos P1 e P. O aco S coespondente a esse deslocamento é expesso po s = θ, onde θ é positivo no sentido hoáio e medido em adianos.

11 58 Intoduzimos os vesoes i paa indica a dieção adial do movimento e i t paa o movimento tansvesal ou tangencial. Esses vesoes também são comumente epesentados espectivamente po ˆ eθˆ. Note que ao contáio de i e j, os vesoes do movimento cicula não são fixos e mudam de dieção confome a patícula desceve sua tajetóia. A velocidade instantânea é dada po v = v i t = v θˆ e também po v = ds/dt. O peíodo do movimento é o tempo paa completa uma volta: T π = e v consequentemente a fequência ν é o inveso do peíodo ν = 1 / T na unidade de s -1. Apenas note que a leta gega ν (lê-se ni ) pode se confundida com a leta v, que em dento das fómulas em nossa apostila apaece em itálico ( ν v = v ). A fequência infoma o númeo de otações po unidade de tempo. Po exemplo, paa uma fequência de ν=0,5s -1 temos um peíodo de T = s. A expessão da lei hoáia paa o deslocamento do ponto paa um dado aco do cículo é s = s 0 + v (t-t 0 ). Podemos escevela na foma angula, a pati de s = θ, que nos leva a é θ = θ 0 + ω (t-t 0 ), onde ω = v / é a velocidade angula, que também pode se escita como ω = dθ/dt. O módulo da velocidade angula pode se expesso a pati π de T =, que leva a v ω = π em unidades de ad/s. T Po exemplo, o ponteio dos segundos de um elógio completa uma volta em T = 1 min. Sua velocidade angula é π ω = que esulta em ~0,1 ad/s. 60 A expessão da velocidade na foma v = ω indica que a velocidade linea cesce lineamente com a distância ao cento, sendo nula no cento e máxima na boda do cículo. Escevendo na foma vetoial temos v = ω i t = ω θˆ.

12 59 Emboa no movimento cicula unifome a velocidade seja constante em módulo, sua dieção é vaiável, ou seja a aceleação não é nula. Seu módulo é dado po v a = ω v = ω =. O efeito combinado dos vetoes nas dieções adial e tangencial, esulta em uma aceleação com dieção adial, mas em sentido contáio ao do veto, v sendo expessa po: a a iˆ = = a ˆ = ω ˆ = ˆ, que é a aceleação centípeta, cuja denominação é devida ao fato de aponta paa o cento da tajetóia cicula. Podemos calcula dessa foma, a mesma aceleação centípeta da Lua estimada no 3 exemplo 4.: 4 π a = ω =,710 m s. T Paa deteminamos sepaadamente os dois fatoes que contibuem paa v, epesentamos as componentes da aceleação: a = a iˆ + a iˆ = a ˆ + a θˆ tangencial, dadas espectivamente po: a dθ = ω = dt v = t t t, centípeta e d θ dv d θ a t = α = =, onde α foi definida como a acelaação angula α =. dt dt dt O movimento cicula unifomemente aceleado tem α = constante. As condições d = θ dt iniciais são dadas pela velocidade angula ω ( t ) e o ângulo θ 0 = θ(t 0 ). A lei 0 t 0 hoáia paa esse movimento seá: θ = θ 0 + ω (t-t 0 ) + ½ α (t-t 0 ), e a velocidade angula instanânea ω(t) = ω 0 + α(t-t 0 ). Da mesma foma como foi apesentado no caso do movimento etilíneo unifome [v = v 0 a (x-x 0 )], podemos expessa a velocidade em função da posição angula, em vez do tempo ω = ω 0 + α(θ-θ 0 ).