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- Ângelo Madureira Barreiro
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1 67 /(,'(%,76$9$57()/8; 0$*1e7,& Ao final deste capítulo você deveá se capaz de: ½ Explica a elação ente coente elética e campo magnético. ½ Equaciona a elação ente coente elética e campo magnético, atavés das leis de Biot- Savat e Ampée. ½ Defini fluxo magnético. ½ Defini densidade de fluxo magnético. ½ Pova que não existem cagas magnéticas isoladas ÃÃ,175'8d Nos capítulos anteioes nós estudamos os campos eléticos devido à coentes estacionáias. Neste capítulo iniciaemos o estudo de campos magnéticos povocados po coentes eléticas estacionáias. Em 180 Oested descobiu que a passagem de uma coente elética de intensidade A em um conduto poduz um campo magnético à sua volta, campo este que deveá se cicula, confome a figua 9.1. B B figua Campo devido a uma coente elética em um conduto. A elação ente as dieções do campo magnético e da coente é dada pela ega da mão dieita.
2 68 ÃÃ$Ã/(,Ã'(Ã%,76$9$57 A pati de medições do toque em uma agulha magnética, Jean Baptiste Biot, e Felix Savat descobiam, em 180, que o campo magnético de um pequeno elemento conduto de compimento L m, com uma coente A, confome mostado na figua 9., é: 1 L sen θ = 4π H (A / m) (9.1) H L θ i figua 9. - Campo magnético poduzido po um elemento de conduto Substituindo H po dh e L po dl, chegamos à Lei de Biot-Savat: 1 dl sen θ dh= 4π (A / m) (9.) Em notação vetoial, a equação 9. pode se escita como: onde: 1 ( dl) H= (A / m) (9.) 4π d H (A/m) Veto intensidade de campo magnético (A) Coente elética (m) Veto com magnitude e dieção da distância ente o ponto P e o elemento de coente dl (m) Elemento de conduto, com dieção da coente ÃÃ5HODomÃGHÃ\DWLÃÃ8PDÃ6LPSOLLFDomÃGDÃ/HLÃGHÃ%LWÃ6DYDUW
3 69 O poduto vetoial dl na equação 9. poduz um veto na dieção de dh, que é pependicula ao plano que contém e dl. Na figua 9. e dl estão no plano yz, pependicula à dieção x. Potanto dh está na dieção x. Paa esta condição, temos: dl = dl dl dl a ai dθ = = a x dθ (9.4) onde: $a Veto unitáio na dieção de $a i Veto unitáio na dieção da coente $a x Veto unitáio na dieção x dθ Ângulo subentendido po dl, em adianos. z θ + dl dl θ 1 dθ y x figua 9. - Elemento conduto de coente e ponto P situados no mesmo plano. Assim, paa os casos onde o conduto e o ponto onde se deseja conhece o campo magnético estejam no mesmo plano, a lei de Biot-Savat se simplifica a: dh = dh x dθ = 4π (9.5) Paa um conduto longo, compeendido ente os ângulos θ 1 e θ (linha tacejada na figua 9., nós temos: θ dθ (9.6) H x = 4π θ1
4 70 Esta é uma simplificação da lei de Biot-Savat poposta po V. Pyati na evista EEE-Tansactions on Education, vol E-9, fev. de )L[DQGÃHÃPHPUL]DQGÃ Antes de possegui, efaça as passagens ealizadas nesta seção: 1. Desceva como foi obsevada pela pimeia vez a elação ente coente elética e campo magnético.. Desceva a expeiência de Biot e Savat, paa quantifica a elação ente campo magnético e coente elética.. Fomule a lei de Biot-Savat 4. Obtenha a elação de Pyati. ([HPSOÃ Enconta o campo magnético H A/m a uma distância a m de um fio etilíneo infinitamente longo, pecoido po uma coente A. 6OXom θ H a dl i figua Campo magnético em um ponto, devido a um conduto etilíneo. H= 4 π dθ π π a = cos θ a = cos θ H= 4 1 cos θ = a π H= π a cos θdθ π π a (A / m) ([HPSOÃ (a) Enconta o campo magnético no cento de um anel de aio m, pecoido po uma coente A. (b) Enconte H em um ponto z ao longo do eixo do anel. 6OXom
5 a) b) H = dθ= 4π π 0 1 dlsen θ dh z = cos γ 4π dhz = dl 4π dl=dφ Hz = 4π π 0 dφ o θ=90 cos γ = H z = ( + z ) ( A/ m) z dh z γ dh α dl θ = 90º y x figua Campo magnético no eixo de um anel 5HDoDÃHVWHÃH[HPSOÃ Antes de possegui, efaça o exemplo acima: 1. Faça o ítem a) utilizando a elação de Pyati.. utilizando a lei de Biot-Savat, expesse o difeencial paa o veto intensidade de campo magnético. Leve em conta que apenas a componente segundo o eixo z não se anula.. Substitua coetamente os ângulos. 4. Substitua coetamente o integando, e intege. 5. Expesse o veto intensidade de campo magnético em função de e z. ÃÃ$Ã/(,Ã'(Ã$0e5(
6 90 De acodo com o exemplo 9.1 a intensidade de campo magnético H a uma distância de um fio eto e longo é: H= π onde é a coente que passa pelo conduto. (Wb / m ) (9.7) Se H fo integado ao longo de um caminho L cicula de aio, cicundando o conduto, teemos: H.dL dl l = = π π (9.8) l π H.dL= l (9.9) A equação 9.9 é válida quando se considea qualque caminho fechado L, e independe do meio. Essa elação é conhecida como a /HLÃGHÃ$PSpUH, e diz que: $ÃLQWHJUDOÃGHÃOLQKDÃGÃYHWUÃLQWHQVLGDGHÃGHÃFDPSÃPDJQpWLFÃ H ÃDÃOQJ GHÃXPÃFDPLQKÃHFKDGÃ/ÃpÃLJXDOÃDÃFUUHQWHÃWWDOÃHQYOYLGDÃSUÃHVVH FDPLQK )L[DQGÃHÃPHPUL]DQGÃ Antes de possegui, efaça as passagens ealizadas nesta seção: 5. A pati da expessão paa a intensidade de campo magnético em um ponto distante m de um conduto, obtenha a expessão paa a lei de Ampée. 6. Enuncie a lei de Ampée. ([HPSOÃ Um conduto sólido e cilíndico é pecoido po uma coente A, que se distibui unifomemente sobe a seção cicula do conduto. Enconte expessões paa H dento e foa do conduto. Esboce gaficamente a vaiação de H, em função de, sendo medido a pati do cento do conduto. 6OXom Foa do conduto, H seá:
7 91 H= â φ π (A / m) pois o caminho L engloba toda a coente no conduto. H H figua Conduto cilíndico com coente unifome Paa o inteio do conduto a coente envolvida pelo caminho L seá π = = π (A) e a intensidade de campo magnético gaficamente teemos: H seá: 1 H= â â φ= φ π π (A / m) H(A/m) /π (m) figua Vaiação de H dento e foa do conduto O exemplo 9. envolveu o cálculo do veto intensidade de campo magnético no inteio de um conduto. Paa essas situações a lei de Ampée pode se genealizada, substituindo a coente pela integal de um veto densidade de coente J sobe uma supefície S. Potanto:
8 9 H.dL= l s J.dS (A) (9.10) Essa genealização da lei de Ampée se constitui numa das equações de Maxwell. ([HPSOÃ Considee um conduto cilíndico de aio m, tanspotando uma coente cuja densidade na seção tansvesal é J c = K. (A/m ), onde K é uma constante e é a distância ao cento do conduto. Detemine: 6OXom a) a) - O valo de H no inteio do conduto. b) - O valo de H exteio ao conduto c) - Faze o gáfico H = f() l H.dL = s J.dS A intensidade de campo magnético é constante ao longo do cículo de aio. Potanto: b) H L dl π = 0 0 H.π = π H=µ 0 K K 0 c c K...d.dθ c (T) d l H.dL= (A) H = K π (T) Potanto, dento do conduto o campo magnético vaia com o inveso do quadado da distância, e foa do conduto a vaiação é com o inveso da distância. H(A/m) c foa do conduto, a coente seá a coente total : (m) = K c. (A) figua Vaiação de H dento e foa do conduto ÃÃ)/8;Ã0$*1e7,&Ãφ P Ã(Ã'(16,'$'(Ã'(Ã)/8;Ã0$*1e7,&Ã%
9 9 A passagem de uma coente elética em um conduto poduziá campo em toda a egião em volta do mesmo. Assim, podemos dize que uma supefície de áea A póxima ao conduto é atavessada po uma quantidade de fluxo magnético φ m, como pode se visto pela figua 9.8. φ i S figua fluxo magnético atavessando uma supefície A. Assim, podemos defini a densidade de fluxo magnético (ou indução magnética) B como sendo : φ m B= A (9.11) Na equação 9.8 assume-se que as linhas de campo magnético são pependiculaes a A. De uma foma mais genéica nós temos (fig. 9.9): onde: φm = B.A cos α (9.1) φ m (Wb) fluxo magnético atavés de A B (Wb/m ) magnitude da densidade de fluxo magnético B. α ad ângulo ente a nomal à áea A e a dieção de B. Se B não é unifome sobe a áea consideada, o poduto da equação 9.8 deve se substituído po uma integal de supefície: φ m = Bcos α ds (9.1) B θ A
10 94 figua Fluxo magnético atavessando uma áea A A equação 9.1 pode se escita como um poduto escala. Assim: φ m = B.dS (9.14) A elação ente o veto intensidade de campo magnético, H magnético ( ou veto indução magnética) B, é dada po : onde µ (Wb.A/m) é a pemeabilidade magnética do meio., e o veto densidade de fluxo B= µ H (9.15) ÃÃ)OX[Ã0DJQpWLFÃ6EUHÃXPDÃ6XSHUtFLHÃ)HFKDGDÃÃ/HLÃGHÃ*DXVVÃSDUDÃÃ0DJQHWLVP As linhas de fluxo de campos eléticos estáticos iniciam e teminam em cagas eléticas. Po outo lado, as linhas de fluxo de campos magnéticos são contínuas, isto é fecham-se em si mesmas. sto significa também que não existem cagas magnéticas isoladas. Esta é uma difeença fundamental ente campos eléticos e campos magnéticos. Paa desceve a natueza contínua do campo magnético, costuma-se dize que a densidade de fluxo B é solenoidal (figua 9.10) Uma vez que o fluxo magnético é contínuo, a mesma quantidade de fluxo que enta em uma supefície fechada deve deixá-lo. Em outas palavas, o fluxo líquido que atavessa uma supefície fechada é nulo. Matematicamente isso pode se expesso como: B.dS= 0 s (9.16) S N figua Linhas de fluxo fechando-se em si mesmas - um campo solenoidal Aplicando sobe a equação 9.1 o teoema da divegência teemos:. B= 0 (9.17) As equações 9.16 e 9.17 descevem a natueza contínua do fluxo magnético. Ambas são membos de um gupo de equações chamadas equações de Maxwell.
11 95 )L[DQGÃHÃPHPUL]DQGÃ Antes de possegui, efaça as passagens ealizadas nesta seção: 1. que é fluxo magnético? Desceva intuitivamente.. Expesse matematicamente o fluxo magnético que passa po uma supefície abeta.. Pove que não existem cagas magnéticas isoladas (compae com a eletostática) (;(5&Ë&,6 1)- Moste que o campo magnético devido a um elemento de coente finito mostado na figua abaixo é dado po: H= (sen α1 sen α) âφ 4π α 1α P figua 1 - figua do poblema 1 ) - Se B = xâ x + 5â y + â z, enconte o fluxo magnético que atavessa as supefície de um volume limitado pelos planos x = 1 m, x = 6 m, y = 0, y = 4 m, z = 1 m e z = 7 m. ) - Duas bobinas ciculaes com 500 mm de aio e 60 espias cada uma são montadas otogonalmente ente sí, com o objetivo de neutaliza o campo magnético da tea em seu cento comum. Uma bobina é hoizontal e a outa vetical. Enconte a coente em cada bobina, se o campo magnético da tea na posição em que elas estão é de 1 Gauss ( 10-4 T), a um ângulo vetical de 60º com espeito a tea, e um ângulo hoizontal de 15º a oeste da dieção note. 4) - Tês enolamentos simples com 1 m de aio estão colocados a 1 m um do outo, com os seus eixos coincidindo com o eixo z. Se todos os são pecoidos na mesma dieção, faça
12 96 um gáfico nomalizado da vaiação de B (Bmax = 1), ao longo d eixo z, com o ponto inicial a 1 m do pimeio enolamento, e o ponto final a um meto do teceio enolamento. 5) - Um fio flexível de compimento L m é dobado em um (a) cículo, (b) tiângulo equiláteo e (c) um quadado. Enconte o valo de B no cento de cada configuação. 6) - Um conduto etilíneo conduz uma coente de 4 ma. Uma espia cicula de 1 mm de aio conduz uma coente de 6 A. o eixo da espia coincide com o conduto etilíneo. Enconte B no plano da espia, a uma distância de 600 mm do conduto. 7) - Nas configuações abaixo, cada conduto conduz uma coente Ampées. Qual é o valo da integal do veto intensidade de campo magnético H em cada caso? (a) (b) (c) 8) - Um conduto cilindico de aio 0.0 m possui um campo magnético inteno: 5 1. H (4,77 10 ) a A / m φ 10 = Qual é a coente total no conduto? 9) - Em coodenadas catesianas a egião -b z b m. supota uma densidade de coente constante J = J 0 â y (A/m ) (figua abaixo). Use a lei de Ampée paa obte H em todo o espaço. z b b x. figua - figua do poblema
13 97 10) - Um cabo coaxial com conduto inteno de aio a m, conduto exteno com aio inteno b m e aio exteno c m, é pecoido po uma coente A unifomemente distibuída (as dieções em cada conduto são opostas ente si). Moste que paa b c m : 1. c H= â φ π c b
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